ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінки 113–120

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 1–592 · 68 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

Сторінка 113

§ 11. Квадратична функція Quadratic Function

Завдання 1

Перетин графіка з віссю абсцис

Чи перетинає графік функції $y = 5 x^{2} + x + 3$ вісь абсцис?

Розв’язання

Прирівнюємо функцію до нуля: $5 x^{2} + x + 3 = 0$ .
Знаходимо дискримінант за формулою $D = b^{2} - 4 a c$ , де $a = 5, b = 1, c = 3$ : $D = 1^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 1 - 60 = - 59$ .
Оскільки $D < 0$ , рівняння не має дійсних коренів, отже, графік не перетинає вісь абсцис.

Відповідь:

Не перетинає.

Завдання 2

Знаходження параметра та нулів функції

Графік функції $y = 2 x^{2} - 7 x + p$ перетинає вісь ординат у точці з координатою $y = 5$ . Потрібно знайти точки перетину з віссю абсцис.

Розв’язання

Точка перетину з віссю ординат має координати $(0; 5)$ . Підставимо $x = 0$ і $y = 5$ у рівняння функції: $5 = 2 \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0 + p$ , звідси $p = 5$ .
Отримуємо повне рівняння функції: $y = 2 x^{2} - 7 x + 5$ . Знайдемо нулі, розв'язуючи рівняння $2 x^{2} - 7 x + 5 = 0$ .
Обчислимо дискримінант: $D = (- 7)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$ . Корені: $x_{1} = \frac{7 - 9}{4} = \frac{7 - 3}{4} = 1$ , $x_{2} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{7 + 3}{4} = 2, 5$ .

Відповідь:

У точках $(1; 0)$ і $(2, 5; 0)$ .

Сторінка 114

Завдання 3

Побудова графіка квадратичної функції

Побудувати графік функції $y = 2 x^{2} - 4 x - 3$ . Графіком є парабола з гілками, спрямованими вгору.

Розв’язання

Знаходимо координати вершини параболи: абсциса $x_{v} = - \frac{- 4}{2 \cdot 2} = 1$ . Підставляємо $x = 1$ у рівняння функції, щоб знайти ординату: $y_{v} = 2 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 - 3 = 2 - 4 - 3 = - 5$ . Вершина має координати $(1; - 5)$ .
Знаходимо точку перетину з віссю $O y$ (поставляємо $x = 0$ ): $y = 2 \cdot 0^{2} - 4 \cdot 0 - 3 = - 3$ . Точка має координати $(0; - 3)$ .
Знаходимо точки перетину з віссю $O x$ , розв'язуючи рівняння $2 x^{2} - 4 x - 3 = 0$ . Дискримінант $D = (- 4)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3) = 16 + 24 = 40$ . Корені: $x_{1, 2} = \frac{4 \pm 40}{4} = \frac{4 \pm 2 10}{4} = 1 \pm \frac{10}{2}$ . Оскільки $10 \approx 3, 16$ , то $x_{1} \approx 1 + 1, 58 = 2, 58$ і $x_{2} \approx 1 - 1, 58 = - 0, 58$ .
Знаходимо симетричні точки відносно осі параболи $x = 1$ : якщо взяти точку з $x = - 1$ , то $y = 2 (- 1)^{2} - 4 (- 1) - 3 = 2 + 4 - 3 = 3$ . Точка $(- 1; 3)$ , симетрична їй точка $(3; 3)$ .
Наносячи на координатну площину точки $(1; - 5)$ , $(0; - 3)$ , $(- 1; 3)$ , $(3; 3)$ та інші, сполучаємо їх плавною лінією у вигляді параболи.

Відповідь:

Графік — парабола з вершиною в точці $(1; - 5)$ , що проходить через точки $(0; - 3)$ , $(- 1; 3)$ та інші, симетричні відносно прямої $x = 1$ .

Сторінка 115

Завдання 527

Порівняння графіків квадратичних функцій

Чим різняться графіки функцій $y = a x^{2} + b x + c$ і $y = a x^{2}$ ?

Розв’язання

Графік функції $y = a x^{2}$ — це парабола з вершиною в початку координат $(0; 0)$ .
Графік функції $y = a x^{2} + b x + c$ — це парабола, вершина якої знаходиться в іншій точці (координати якої залежать від коефіцієнтів $b$ і $c$ ).
Отже, основна різниця полягає в тому, що графік першої функції зсунутий відносно графіка другої, а вершина не знаходиться в початку координат.

Відповідь:

Графіки відрізняються положенням вершини параболи (для $y = a x^{2}$ вершина в $(0; 0)$ ) та загальним зсувом графіка відносно осей координат.

Завдання 528

Умови положення параболи щодо осей

За якої умови графік функції $y = a x^{2} + b x + c$ : а) напрямлений гілками вгору; б) напрямлений гілками вниз; в) дотикається до осі абсцис; г) перетинає вісь абсцис?

Розв’язання

Для напрямлення гілок вгору необхідно, щоб коефіцієнт при $x^{2}$ був додатним ( $a > 0$ ).
Для напрямлення гілок вниз необхідно, щоб коефіцієнт при $x^{2}$ був від'ємним ( $a < 0$ ).
Якщо парабола дотикається до осі абсцис, рівняння має один корінь, тобто дискримінант дорівнює нулю ( $D = 0$ ).
Якщо парабола перетинає вісь абсцис у двох різних точках, дискримінант додатний ( $D > 0$ ).

Відповідь:

а) $a > 0$ ; б) $a < 0$ ; в) $D = 0$ ; г) $D > 0$ .

Завдання 529

Знаходження абсциси вершини параболи

Знайди абсцису вершини параболи $y = x^{2} - 6 x + 4$ . Варіанти відповідей: А –3, Б 3, В –2, Г 6.

Розв’язання

У функції $y = x^{2} - 6 x + 4$ коефіцієнти такі: $a = 1$ , $b = - 6$ .
Підставимо значення у формулу: $x_{0} = - \frac{- 6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$ .

Відповідь:

Б 3

Завдання 530

Знаходження нулів функцій

а) $y = 2 x^{2}$ ; б) $y = x^{2} - 7 x$ ; в) $y = x^{2} - 9$ .

Розв’язання

а) Прирівнюємо $2 x^{2}$ до нуля: $2 x^{2} = 0 \Rightarrow x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0$ .
б) Виділяємо спільний множник $x$ : $x (x - 7) = 0$ . Отже, $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 7$ .
в) Це різниця квадратів: $(x - 3) (x + 3) = 0$ . Отже, $x_{1} = 3$ , $x_{2} = - 3$ .

Відповідь:

а) $x = 0$ ; б) $x_{1} = 0, x_{2} = 7$ ; в) $x_{1} = 3, x_{2} = - 3$ .

Завдання 531

Розгадування ребуса

На зображенні (мал. 11.6) показані літери, які потрібно прочитати за допомогою карток-підказок. Літери «Б», «П» та «Я» утворюють слово.

Розв’язання

На малюнку навколо картопліни видно літери «Б», «П» та «Я».
Складання цих літер дає слово «БПЯ». Однак, оглядаючи уважно зображення в контексті шкільних підручників, часто такі ребуси мають відповісти на питання типу «Що це?» або є частиною іншого завдання (наприклад, про картоплю). Але якщо розглядати лише літери: Б, П, Я.
Примітка: У тексті завдання 531 написано «Розгадай ребус». На малюнку видно картоплину та літери Б, П, Я. Це може бути абревіатура або частина іншого контексту, але без додаткових пояснень підручника точне слово неможливо визначити лише за зображенням. Однак, якщо це стандартний ребус, можливо, треба читати літери в порядку: Б-П-Я (БПЯ). Але найімовірніше, це частина завдання на уважність або асоціацію. Давайте припустимо, що потрібно просто назвати літери.

Відповідь:

Літери Б, П, Я (слово «БПЯ» або відповідь залежить від контексту, який не повністю чіткий без додаткових пояснень підручника, але літери на зображенні — Б, П, Я).

Завдання 532

Кількість точок перетину параболи з віссю

x

Парабола задана рівнянням $y = x^{2} - 3 x + 4$ . Потрібно визначити кількість точок перетину цієї параболи з віссю абсцис.

Розв’язання

У рівнянні $y = x^{2} - 3 x + 4$ коефіцієнти такі: $a = 1$ , $b = - 3$ , $c = 4$ .
Обчислимо дискримінант: $Δ = (- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = - 7$ .
Оскільки $Δ < 0$ , рівняння $x^{2} - 3 x + 4 = 0$ не має дійсних коренів, отже, парабола не перетинає вісь $x$ .

Відповідь:

В жодної.

Завдання 533

Точка перетину з віссю ординат

Знайти точку, в якій парабола $y = 5 x^{2} - 6 x + 9$ перетинає вісь $y$ .

Розв’язання

Підставимо $x = 0$ у рівняння функції: $y = 5 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + 9$ .
Обчислимо значення: $y = 0 - 0 + 9$ , отже $y = 9$ .

Відповідь:

Точка $(0; 9)$ (варіант В).

Завдання 534

Аналіз графіка квадратичної функції

За графіком функції $y = a x^{2} + b x + c$ (мал. 11.7) знайти: а) область визначення; б) знак коефіцієнта $a$ ; в) координати вершини; г) область значень; д) нулі функції; е) найменше значення; є) проміжки зростання та спадання; ж) проміжки додатних і від'ємних значень.

Розв’язання

Область визначення: $x \in (- \infty; + \infty)$ .
Гілки направлені вгору, отже $a > 0$ (знак плюс).
Вершина параболи знаходиться в точці $(1; - 1)$ (абсциса 1, ордината -1).
Область значень: $y \in [- 1; + \infty)$ .
Нулі функції (перетин з віссю $x$ ): точки $(0; 0)$ та $(2; 0)$ .
Найменше значення (ордината вершини): $- 1$ .
Функція спадає на проміжку $(- \infty; 1]$ і зростає на проміжку $[1; + \infty)$ .
Значення додатні при $x < 0$ та $x > 2$ ; від'ємні при $0 < x < 2$ .

Відповідь:

а) $(- \infty; + \infty)$ ; б) $a > 0$ ; в) $(1; - 1)$ ; г) $[- 1; + \infty)$ ; д) $x_{1} = 0, x_{2} = 2$ ; е) $- 1$ ; є) зростає $[1; + \infty)$ , спадає $(- \infty; 1]$ ; ж) додатні $(- \infty; 0) \cup (2; + \infty)$ , від'ємні $(0; 2)$ .

Завдання 535

Гра «Вершина параболи

Один учень називає число $k$ , інший має записати координати вершини параболи $y = (x + k)^{2}$ . Потім ролі міняються.

Розв’язання

Запишемо функцію у загальному вигляді зручної форми: $y = (x - (- k))^{2} + 0$ .
Порівняємо з формулою вершини $y = a (x - x_{v})^{2} + y_{v}$ . Тут $x_{v} = - k$ і $y_{v} = 0$ .
Отже, координати вершини: $(- k; 0)$ .

Відповідь:

Координати вершини параболи дорівнюють $(- k; 0)$ .

Сторінка 116

Завдання 536

Координати вершини параболи

Записати координати вершини для функцій: а) $y = (x - 3)^{2}$ ; б) $y = 2 (3 - x)^{2}$ ; в) $y = (x - 5)^{2} + 2$ ; г) $y = 2 (5 - x)^{2} - 3$ ; ґ) $y = 2 (x + 1)^{2} + 1$ ; д) $y = - 2 (x - 1)^{2} - 3$ .

Розв’язання

Для а) форма $y = a (x - x_{0})^{2} + y_{0}$ , де $x_{0} = 3, y_{0} = 0$ . Вершина $(3; 0)$ .
Для б) перетворимо $2 (3 - x)^{2}$ на $2 (- (x - 3))^{2} = 2 (x - 3)^{2}$ . Тут $x_{0} = 3, y_{0} = 0$ . Вершина $(3; 0)$ .
Для в) форма очевидна: $x_{0} = 5, y_{0} = 2$ . Вершина $(5; 2)$ .
Для г) перетворимо $2 (5 - x)^{2}$ на $2 (- (x - 5))^{2} = 2 (x - 5)^{2}$ . Тут $x_{0} = 5, y_{0} = - 3$ . Вершина $(5; - 3)$ .
Для ґ) форма очевидна: $x_{0} = - 1, y_{0} = 1$ . Вершина $(- 1; 1)$ .
Для д) форма очевидна: $x_{0} = 1, y_{0} = - 3$ . Вершина $(1; - 3)$ .

Відповідь:

а) $(3; 0)$ ; б) $(3; 0)$ ; в) $(5; 2)$ ; г) $(5; - 3)$ ; ґ) $(- 1; 1)$ ; д) $(1; - 3)$ .

Завдання 537

Координати вершини параболи (загальний вигляд)

Знайти координати вершини для функцій: а) $y = x^{2} + 4 x - 5$ ; б) $y = 2 x^{2} - 6 x + 3$ ; в) $y = x^{2} - 4 x$ ; г) $y = x^{2} - 4$ .

Розв’язання

а) $a = 1, b = 4$ . $x_{v} = - \frac{4}{2 \cdot 1} = - 2$ . $y_{v} = (- 2)^{2} + 4 (- 2) - 5 = 4 - 8 - 5 = - 9$ . Вершина $(- 2; - 9)$ .
б) $a = 2, b = - 6$ . $x_{v} = - \frac{- 6}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1, 5$ . $y_{v} = 2 (1, 5)^{2} - 6 (1, 5) + 3 = 2 (2, 25) - 9 + 3 = 4, 5 - 9 + 3 = - 1, 5$ . Вершина $(1, 5; - 1, 5)$ .
в) $a = 1, b = - 4$ . $x_{v} = - \frac{- 4}{2 \cdot 1} = 2$ . $y_{v} = 2^{2} - 4 (2) = 4 - 8 = - 4$ . Вершина $(2; - 4)$ .
г) $a = 1, b = 0$ . $x_{v} = - \frac{0}{2 \cdot 1} = 0$ . $y_{v} = 0^{2} - 4 = - 4$ . Вершина $(0; - 4)$ .

Відповідь:

а) $(- 2; - 9)$ ; б) $(1, 5; - 1, 5)$ ; в) $(2; - 4)$ ; г) $(0; - 4)$ .

Завдання 538

Координати вершини параболи (загальний вигляд)

Знайти координати вершини для функцій: а) $y = x^{2} - 10 x - 7$ ; б) $y = - 3 x^{2} + 12 x - 5$ ; в) $y = x^{2} + 6 x$ ; г) $y = 2 - x^{2}$ .

Розв’язання

а) $a = 1, b = - 10$ . $x_{v} = - \frac{- 10}{2 \cdot 1} = 5$ . $y_{v} = 5^{2} - 10 (5) - 7 = 25 - 50 - 7 = - 32$ . Вершина $(5; - 32)$ .
б) $a = - 3, b = 12$ . $x_{v} = - \frac{12}{2 \cdot ( - 3 )} = - \frac{12}{- 6} = 2$ . $y_{v} = - 3 (2)^{2} + 12 (2) - 5 = - 12 + 24 - 5 = 7$ . Вершина $(2; 7)$ .
в) $a = 1, b = 6$ . $x_{v} = - \frac{6}{2 \cdot 1} = - 3$ . $y_{v} = (- 3)^{2} + 6 (- 3) = 9 - 18 = - 9$ . Вершина $(- 3; - 9)$ .
г) $a = - 1, b = 0$ (оскільки $y = - x^{2} + 2$ ). $x_{v} = - \frac{0}{2 \cdot ( - 1 )} = 0$ . $y_{v} = 2 - 0^{2} = 2$ . Вершина $(0; 2)$ .

Відповідь:

а) $(5; - 32)$ ; б) $(2; 7)$ ; в) $(- 3; - 9)$ ; г) $(0; 2)$ .

Завдання 539

Знаходження функції за вершиною параболи

Потрібно обрати функцію, графік якої є параболою з вершиною в точці $(- 2; 0)$ . Варіанти відповідей: А) $y = x^{2} - 2$ , Б) $y = (x - 2)^{2}$ , В) $y = (x + 2)^{2}$ , Г) $y = - 2 x^{2}$ , Д) $y = x^{2} + 2$ .

Розв’язання

Запишемо загальний вигляд рівняння параболи з вершиною в точці $(- 2; 0)$ : $y = a (x - (- 2))^{2} + 0$ , що спрощується до $y = a (x + 2)^{2}$ .
Оскільки це стандартна парабола без зміни напрямку гілок (варіанти А, Б, В, Д мають коефіцієнт $a = 1$ ), припустимо $a = 1$ . Отримуємо рівняння $y = (x + 2)^{2}$ .
Перевіримо варіанти: у варіанті В маємо саме таке рівняння. У варіантах А, Б, Д вершина знаходиться в інших точках ( $0; - 2$ ), $(2; 0)$ , $(0; 2)$ .

Відповідь:

Завдання 540

Побудова графіків квадратичних функцій

Побудувати графіки для наборів функцій: а) $y = 2 x^{2}$ , $y = 0, 5 x^{2}$ , $y = 2 x^{2} + 1$ ; б) $y = - 2 x^{2}$ , $y = - 0, 5 x^{2}$ , $y = - 0, 5 x^{2} - 2$ .

Розв’язання

Частина а):
- Для $y = 2 x^{2}$ : вершина $(0; 0)$ , гілки вгору, ширша за $y = x^{2}$ .
- Для $y = 0, 5 x^{2}$ : вершина $(0; 0)$ , гілки вгору, вузьша за $y = x^{2}$ (ширша).
- Для $y = 2 x^{2} + 1$ : вершина $(0; 1)$ , гілки вгору, це графік функції $y = 2 x^{2}$ , зсунутий на 1 одиницю вгору.
Частина б):
- Для $y = - 2 x^{2}$ : вершина $(0; 0)$ , гілки вниз.
- Для $y = - 0, 5 x^{2}$ : вершина $(0; 0)$ , гілки вниз, ширша за $y = - x^{2}$ .
- Для $y = - 0, 5 x^{2} - 2$ : вершина $(0; - 2)$ , гілки вниз, це графік функції $y = - 0, 5 x^{2}$ , зсунутий на 2 одиниці вниз.

Відповідь:

Графіки побудовані за описаними властивостями (вершини та напрямлення гілок).

Завдання 541

Перетворення квадратичних тричленів у повний квадрат

Дати відповідність або перетворити вирази, щоб побачити їх як повні квадрати: а) $y = (x - 1)^{2}$ ; б) $y = x^{2} - 2 x + 1$ ; в) $y = x^{2} - 6 x + 9$ ; г) $y = x^{2} + 4 x + 4$ .

Розв’язання

Приклади а) і б): Вираз $y = (x - 1)^{2}$ вже є у вигляді повного квадрата. Розкриємо дужки у $y = x^{2} - 2 x + 1$ : $(x - 1)^{2} = x^{2} - 2 x + 1$ . Це одна й та сама функція, вершина якої $(1; 0)$ .
Приклади в) і г): Перевіримо $y = x^{2} - 6 x + 9$ . Коефіцієнт при $x$ дорівнює $- 6$ , половина цього числа $- 3$ , квадрат якого $9$ . Отже, $y = (x - 3)^{2}$ . Вершина $(3; 0)$ .
Перевіримо $y = x^{2} + 4 x + 4$ . Коефіцієнт при $x$ дорівнює $4$ , половина $2$ , квадрат $4$ . Отже, $y = (x + 2)^{2}$ . Вершина $(- 2; 0)$ .

Відповідь:

а) $y = (x - 1)^{2}$ ; б) $y = (x - 1)^{2}$ ; в) $y = (x - 3)^{2}$ ; г) $y = (x + 2)^{2}$ .

Завдання 542

Нулі функцій та точка перетину з віссю OY

а) $y = x (x - 2)$ ; б) $y = 2 x^{2} - 6 x$ ; в) $y = x^{2} - 3 x + 2$ ; г) $y = 3 x^{2} - 4 x + 1$ .

Розв’язання

а) Розв'язуємо $x (x - 2) = 0$ . Отримуємо корені $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 2$ . Точка перетину з віссю $O y$ : при $x = 0$ , $y = 0$ .
б) Розв'язуємо $2 x (x - 3) = 0$ . Корені: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 3$ . Точка перетину з віссю $O y$ : при $x = 0$ , $y = 0$ .
в) Розв'язуємо $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ (корені $1, 2$ ). При $x = 0$ , $y = 2$ . Точка $(0; 2)$ .
г) Розв'язуємо $3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ ( $D = 16 - 12 = 4$ , корені $\frac{4 \pm 2}{6}$ , тобто $1, \frac{1}{3}$ ). При $x = 0$ , $y = 1$ . Точка $(0; 1)$ .

Відповідь:

а) нулі: $0, 2$ ; точка з віссю $O y$ : $(0; 0)$ . б) нулі: $0, 3$ ; точка з віссю $O y$ : $(0; 0)$ . в) нулі: $1, 2$ ; точка з віссю $O y$ : $(0; 2)$ . г) нулі: $\frac{1}{3}, 1$ ; точка з віссю $O y$ : $(0; 1)$ .

Завдання 543

Нулі функцій та точка перетину з віссю OY (продовження)

а) $y = x (x + 5)$ ; б) $y = x^{2} - 2$ ; в) $y = x^{2} - 2 x - 3$ ; г) $y = 2 x^{2} - 5 x + 2$ .

Розв’язання

а) Розв'язуємо $x (x + 5) = 0$ . Корені: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = - 5$ . При $x = 0$ , $y = 0$ . Точка $(0; 0)$ .
б) Рівняння $x^{2} - 2 = 0$ має корені $\pm 2$ . При $x = 0$ , $y = - 2$ . Точка $(0; - 2)$ .
в) Розв'язуємо $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ . Корені: $- 1, 3$ . При $x = 0$ , $y = - 3$ . Точка $(0; - 3)$ .
г) Розв'язуємо $2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ ( $D = 25 - 16 = 9$ , корені $\frac{5 \pm 3}{4}$ , тобто $2, \frac{1}{2}$ ). При $x = 0$ , $y = 2$ . Точка $(0; 2)$ .

Відповідь:

а) нулі: $0, - 5$ ; точка з віссю $O y$ : $(0; 0)$ . б) нулі: $2, - 2$ ; точка з віссю $O y$ : $(0; - 2)$ . в) нулі: $- 1, 3$ ; точка з віссю $O y$ : $(0; - 3)$ . г) нулі: $\frac{1}{2}, 2$ ; точка з віссю $O y$ : $(0; 2)$ .

Завдання 544

Побудова графіків квадратичних функцій

а) $y = x^{2} - 2 x + 5$ ; б) $y = x^{2} + 6 x + 3$ ; в) $y = x^{2} + 2 x + 4$ ; г) $y = - x^{2} - 8 x - 10$ .

Розв’язання

а) $y = (x - 1)^{2} + 4$ . Вершина $M (1; 4)$ , гілки вгору ( $a > 0$ ). Нулів немає ( $D < 0$ ). Перетин з віссю $O y$ : $(0; 5)$ .
б) $y = (x + 3)^{2} - 6$ . Вершина $M (- 3; - 6)$ , гілки вгору. Нулі: $- 3 \pm 6$ . Перетин з віссю $O y$ : $(0; 3)$ .
в) $y = (x + 1)^{2} + 3$ . Вершина $M (- 1; 3)$ , гілки вгору. Нулів немає ( $D < 0$ ). Перетин з віссю $O y$ : $(0; 4)$ .
г) $y = - (x + 4)^{2} - 2$ . Вершина $M (- 4; - 2)$ , гілки вниз ( $a < 0$ ). Нулів немає ( $D < 0$ ). Перетин з віссю $O y$ : $(0; - 10)$ .

Відповідь:

а) вершина $(1; 4)$ , парабола відкрита вгору, нулів немає. б) вершина $(- 3; - 6)$ , парабола відкрита вгору, нулі існують. в) вершина $(- 1; 3)$ , парабола відкрита вгору, нулів немає. г) вершина $(- 4; - 2)$ , парабола відкрита вниз, нулів немає.

Завдання 545

Знайди координати вершини параболи та побудуй її

а) $y = x^{2} - 2 x - 8$ ;
б) $y = x^{2} - 4 x - 2$ ;
в) $y = x^{2} + 6 x + 5$ ;
ґ) $y = - x^{2} - 10 x - 27$ .

Розв’язання

Пункт а) $y = x^{2} - 2 x - 8$ . Знайдемо абсцису вершини: $x_{0} = - \frac{- 2}{2 \cdot 1} = 1$ . Обчислимо ординату: $y (1) = 1^{2} - 2 \cdot 1 - 8 = - 9$ . Вершина: $(1; - 9)$ .
Пункт б) $y = x^{2} - 4 x - 2$ . Абсциса вершини: $x_{0} = - \frac{- 4}{2 \cdot 1} = 2$ . Ордината: $y (2) = 2^{2} - 4 \cdot 2 - 2 = - 6$ . Вершина: $(2; - 6)$ .
Пункт в) $y = x^{2} + 6 x + 5$ . Абсциса вершини: $x_{0} = - \frac{6}{2 \cdot 1} = - 3$ . Ордината: $y (- 3) = (- 3)^{2} + 6 \cdot (- 3) + 5 = 9 - 18 + 5 = - 4$ . Вершина: $(- 3; - 4)$ .
Пункт ґ) $y = - x^{2} - 10 x - 27$ . Абсциса вершини: $x_{0} = - \frac{- 10}{2 \cdot ( - 1 )} = - 5$ . Ордината: $y (- 5) = - (- 5)^{2} - 10 \cdot (- 5) - 27 = - 25 + 50 - 27 = - 2$ . Вершина: $(- 5; - 2)$ .

Відповідь:

а) $(1; - 9)$ ;
б) $(2; - 6)$ ;
в) $(- 3; - 4)$ ;
ґ) $(- 5; - 2)$ .

---

Завдання 546

Запиши координати вершини параболи

а) $y = (x - 1)^{2} + 2$ ;
б) $y = (x + 2)^{2} + 1$ .

Розв’язання

Пункт а) Рівняння має вигляд $y = (x - 1)^{2} + 2$ . Це відповідає формулі з $x_{0} = 1$ та $y_{0} = 2$ . Отже, вершина знаходиться в точці $(1; 2)$ .
Пункт б) Рівняння має вигляд $y = (x + 2)^{2} + 1$ . Запишемо це як $y = (x - (- 2))^{2} + 1$ . Тут $x_{0} = - 2$ та $y_{0} = 1$ . Вершина знаходиться в точці $(- 2; 1)$ .

Відповідь:

а) $(1; 2)$ ;
б) $(- 2; 1)$ .

---

Завдання 547

Запиши координати вершини параболи

а) $y = (x + 4)^{2} + 2$ ;
б) $y = (x - 2)^{2} - 3$ .

Розв’язання

Пункт а) Рівняння $y = (x + 4)^{2} + 2$ можна переписати як $y = (x - (- 4))^{2} + 2$ . Тут $x_{0} = - 4$ , а $y_{0} = 2$ . Вершина має координати $(- 4; 2)$ .
Пункт б) Рівняння $y = (x - 2)^{2} - 3$ вже у зручному вигляді. Тут $x_{0} = 2$ , а $y_{0} = - 3$ . Вершина має координати $(2; - 3)$ .

Відповідь:

а) $(- 4; 2)$ ;
б) $(2; - 3)$ .

Завдання 548

Побудова параболи виділенням квадрата двочлена

а) $y = x^{2} + 4 x + 5$ ; б) $y = x^{2} - 6 x + 5$ .

Розв’язання

а) $y = x^{2} + 4 x + 5$ . Виділяємо квадрат двочлена: $y = (x^{2} + 4 x + 4) - 4 + 5 = (x + 2)^{2} + 1$ . Вершина: $(- 2; 1)$ .
б) $y = x^{2} - 6 x + 5$ . Виділяємо квадрат двочлена: $y = (x^{2} - 6 x + 9) - 9 + 5 = (x - 3)^{2} - 4$ . Вершина: $(3; - 4)$ .

Відповідь:

а) $y = (x + 2)^{2} + 1$ , вершина $(- 2; 1)$ ; б) $y = (x - 3)^{2} - 4$ , вершина $(3; - 4)$ .

Завдання 549

Побудова параболи виділенням квадрата двочлена

а) $y = x^{2} - 2 x - 1$ ; б) $y = 1 + 4 x + x^{2}$ .

Розв’язання

а) $y = x^{2} - 2 x - 1$ . Виділяємо квадрат двочлена: $y = (x^{2} - 2 x + 1) - 1 - 1 = (x - 1)^{2} - 2$ . Вершина: $(1; - 2)$ , гілки вгору.
б) $y = x^{2} + 4 x + 1$ . Виділяємо квадрат двочлена: $y = (x^{2} + 4 x + 4) - 4 + 1 = (x + 2)^{2} - 3$ . Вершина: $(- 2; - 3)$ , гілки вгору.

Відповідь:

а) $y = (x - 1)^{2} - 2$ , вершина $(1; - 2)$ ; б) $y = (x + 2)^{2} - 3$ , вершина $(- 2; - 3)$ .

Завдання 550

Аналіз графіків квадратичних функцій

На мал. 11.8, а, б дано графіки квадратичних функцій. Знайди для кожної з них за графіком: а) знак дискримінанта; б) знак першого коефіцієнта; в) координати вершини параболи; г) нулі функції; ґ) проміжки, на яких функція зростає, спадає.

Розв’язання

а) Знак дискримінанта: оскільки параболи перетинають вісь абсцис у двох різних точках, то $D > 0$ для обох графіків.
б) Знак коефіцієнта $a$ : гілки обох парабол спрямовані вгору, отже $a > 0$ .
в) Координати вершини: точні координати неможливо визначити без чіткого зображення сітки, але зазвичай це точка мінімуму між перетинами з віссю $x$ .
г) Нулі функції: це абсциси точок перетину графіків із віссю $x$ (наприклад, для а) $x_{1} \approx - 0.8$ , $x_{2} \approx 1.5$ ; для б) $x_{1} \approx 0.5$ , $x_{2} \approx 2.2$ — точні значення залежать від масштабу малюнка).
ґ) Проміжки: функція спадає на проміжку $(- \infty; x_{вершини}]$ і зростає на проміжку $[x_{вершини}; + \infty)$ , де $x_{вершини}$ — абсциса вершини.

Відповідь:

а) $D > 0$ ; б) $a > 0$ ; в) координати беруться з малюнка (точка мінімуму); г) нулі — точки перетину з віссю $x$ ; ґ) спадає до вершини, зростає після вершини. (Для точного розв'язання потрібне чітке зображення малюнків).

Сторінка 117

Завдання 551

Аналіз графіка функції за малюнком

Виконати аналіз графіка на Мал. 11.8, в (парабола, що відкрита вниз, має вершину приблизно в точці $(2; 2)$ і перетинає вісь $x$ у точках близько $0, 5$ та $3, 5$ , а вісь $y$ — у точці $(0; - 2)$ ).

Розв’язання

За графіком (Мал. 11.8, в) бачимо, що парабола відкрита вниз, отже $a < 0$ . Вершина має координати $(2; 2)$ , тому $x_{0} = 2$ , $y_{0} = 2$ .
Точки перетину з віссю $x$ (нули функції) лежать між $0, 5$ та $3, 5$ . Оскільки симетричні відносно прямої $x = 2$ , нулі це $1, 5$ і $2, 5$ (або близько цих значень за малюнком).
Точка перетину з віссю $y$ має координату $c = - 2$ .

Відповідь:

Вершина $(2; 2)$ ; нулі функції приблизно $x_{1} \approx 1, 5$ , $x_{2} \approx 2, 5$ ; коефіцієнт $a < 0$ ; точка перетину з віссю $y$ : $(0; - 2)$ .

Завдання 552

Знаходження коефіцієнтів квадратичної функції

Точка $M (3; 5)$ є вершиною параболи $y = x^{2} + m x + n$ . Знайти: а) коефіцієнти $m$ і $n$ ; б) точки перетину графіка з віссю $y$ .

Розв’язання

Знайдемо абсцису вершини за формулою: $x_{0} = - \frac{m}{2 \cdot 1} = - \frac{m}{2}$ . Оскільки точка $M (3; 5)$ — вершина, то $- \frac{m}{2} = 3$ , звідки $m = - 6$ .
Підставимо координати точки $M (3; 5)$ та знайдене значення $m$ у рівняння функції: $5 = 3^{2} + (- 6) \cdot 3 + n \Rightarrow 5 = 9 - 18 + n \Rightarrow 5 = - 9 + n$ , звідки $n = 14$ .
Отже, функція має вигляд $y = x^{2} - 6 x + 14$ . Точка перетину з віссю $y$ знаходимо при $x = 0$ : $y = 0^{2} - 6 \cdot 0 + 14 = 14$ .

Відповідь:

а) $m = - 6$ , $n = 14$ ; б) графік перетинає вісь $y$ в точці $(0; 14)$ .

Завдання 553

Аналіз параболи з від'ємним коефіцієнтом при x^2

Точка $A (- 2; 1)$ є вершиною параболи $y = - x^{2} + m x + n$ . Знайти: а) коефіцієнти $m$ і $n$ ; б) точки перетину графіка з віссю $x$ .

Розв’язання

Знайдемо $m$ через абсцису вершини: $x_{0} = \frac{m}{2} = - 2$ , звідки $m = - 4$ .
Підставимо координати точки $A (- 2; 1)$ у рівняння функції з знайденим $m$ : $1 = - (- 2)^{2} + (- 4) \cdot (- 2) + n \Rightarrow 1 = - 4 + 8 + n \Rightarrow 1 = 4 + n$ , звідки $n = - 3$ .
Функція має вигляд $y = - x^{2} - 4 x - 3$ . Для знаходження точок перетину з віссю $x$ розв'яжемо рівняння $- x^{2} - 4 x - 3 = 0$ , або $x^{2} + 4 x + 3 = 0$ . Корені: $(x + 1) (x + 3) = 0$ , отже $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = - 3$ .

Відповідь:

а) $m = - 4$ , $n = - 3$ ; б) графік перетинає вісь $x$ у точках $(- 1; 0)$ та $(- 3; 0)$ .

Завдання 554

Знаходження коефіцієнтів за двома точками

Графік функції $y = x^{2} + p x + q$ проходить через точки $P (1; 4)$ та $Q (- 1; 10)$ . Знайти значення $p$ і $q$ .

Розв’язання

Підставимо координати точки $P (1; 4)$ у формулу функції: $4 = 1^{2} + p \cdot 1 + q$ , що спрощується до $p + q = 3$ .
Підставимо координати точки $Q (- 1; 10)$ у формулу функції: $10 = (- 1)^{2} + p \cdot (- 1) + q$ , що спрощується до $- p + q = 9$ .
Складемо систему рівнянь: ${p + q = 3 - p + q = 9$ . Додамо перше і друге рівняння, щоб виключити $p$ : $(p - p) + (q + q) = 3 + 9$ , звідки $2 q = 12$ , отже $q = 6$ .
Знайдемо $p$ з першого рівняння: $p + 6 = 3$ , звідки $p = - 3$ .

Відповідь:

$p = - 3, q = 6$ .

Завдання 555

Знаходження коефіцієнтів квадратичної функції

Графік функції $y = x^{2} + b x + c$ проходить через точки $B (2; 7)$ та $C (- 2; 11)$ . Знайти значення $b$ і $c$ .

Розв’язання

Підставимо координати точки $B (2; 7)$ : $7 = 2^{2} + b \cdot 2 + c$ , що дає $4 b + c = 3$ (після віднімання 4 від обох частин).
Підставимо координати точки $C (- 2; 11)$ : $11 = (- 2)^{2} + b \cdot (- 2) + c$ , що дає $- 2 b + c = 7$ (після віднімання 4 від обох частин).
Складемо систему: ${4 b + c = 3 - 2 b + c = 7$ . Віднімемо друге рівняння від першого: $(4 b - (- 2 b)) + (c - c) = 3 - 7$ , тобто $6 b = - 4$ , звідки $b = - \frac{2}{3}$ .
Знайдемо $c$ з другого рівняння: $- 2 \cdot (- \frac{2}{3}) + c = 7$ , тобто $\frac{4}{3} + c = 7$ . Отже, $c = 7 - \frac{4}{3} = \frac{17}{3}$ .

Відповідь:

$b = - \frac{2}{3}, c = \frac{17}{3}$ .

Завдання 556

Знаходження нулів функції за точкою перетину з віссю Y

Графік функції $y = x^{2} - 5 x + c$ перетинає вісь $y$ в точці $A (0; 4)$ . Потрібно знайти, у яких точках графік перетинає вісь $x$ .

Розв’язання

Знайдемо $c$ : оскільки графік проходить через точку $(0; 4)$ , підставимо $x = 0$ і $y = 4$ у формулу: $4 = 0^{2} - 5 \cdot 0 + c$ , звідки $c = 4$ .
Запишемо рівняння для знаходження нулів: $x^{2} - 5 x + 4 = 0$ .
Розв'яжемо квадратне рівняння, розкладемо вираз на множники: $(x - 1) (x - 4) = 0$ .
Знайдемо корені: $x_{1} = 1$ і $x_{2} = 4$ . Це координати точок перетину з віссю $x$ .

Відповідь:

Графік перетинає вісь $x$ у точках $(1; 0)$ та $(4; 0)$ .

Завдання 557

Перетин графіка з віссю

x

Графік функції $y = x^{2} - 3 x + c$ перетинає вісь $y$ в точці $A (0; 3)$ . Потрібно визначити, чи перетинає графік вісь $x$ .

Розв’язання

Оскільки графік проходить через точку $A (0; 3)$ , підставимо $x = 0$ і $y = 3$ у рівняння: $3 = 0^{2} - 3 \cdot 0 + c$ , звідки $c = 3$ .
Отримуємо повне рівняння функції: $y = x^{2} - 3 x + 3$ . Розглянемо відповідне квадратне рівняння для знаходження перетину з віссю $x$ : $x^{2} - 3 x + 3 = 0$ .
Знайдемо дискримінант: $D = (- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = - 3$ . Оскільки $D < 0$ , рівняння не має дійсних коренів.

Відповідь:

Графік функції вісь $x$ не перетинає.

Завдання 558

Аналіз профілю перевалу

Профіль дороги описується функцією $h (x) = - 0, 5 x^{2} + 4 x + 120$ , де $h (x)$ — висота над рівнем моря (м), а $x$ — відстань від початку ділянки (км). Потрібно знайти: а) форму перевалу; б) координати найвищої точки.

Розв’язання

Коефіцієнти функції: $a = - 0, 5$ , $b = 4$ , $c = 120$ . Оскільки $a < 0$ , перевал має форму гори (вершина є найвищою точкою).
Знайдемо координату $x$ вершини: $x_{0} = - \frac{4}{2 \cdot ( - 0 , 5 )} = - \frac{4}{- 1} = 4$ .
Знайдемо висоту в цій точці ( $y_{0}$ ): підставимо $x = 4$ у функцію: $h (4) = - 0, 5 \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 + 120 = - 0, 5 \cdot 16 + 16 + 120 = - 8 + 16 + 120 = 128$ .

Відповідь:

а) Перевал має форму гори (парабола розкривається вниз); б) найвища точка знаходиться на відстані $4 км$ від початку ділянки і має висоту $128 м$ .

Завдання 559

Дослідження траєкторії м'яча

Висота м'яча описується формулою $h (t) = - 5 t^{2} + 20 t + 2, 5$ . Потрібно знайти: а) тип траєкторії; б) час падіння на землю; в) максимальну висоту.

Розв’язання

а) Оскільки коефіцієнт при $t^{2}$ від'ємний ( $a = - 5$ ), траєкторія м'яча — це частина параболи, розкритої вниз (м'яч летить вгору і падає вниз).
б) Знайдемо час падіння, розв'язавши рівняння $- 5 t^{2} + 20 t + 2, 5 = 0$ . Помножимо на $- 2$ , щоб позбутися десяткового дробу: $10 t^{2} - 40 t - 5 = 0$ , або скоротимо на $5$ : $2 t^{2} - 8 t - 1 = 0$ . Знайдемо дискримінант: $D = (- 8)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1) = 64 + 8 = 72$ . Корені: $t = \frac{8 \pm 72}{4} = \frac{8 \pm 6 2}{4} = 2 \pm \frac{3 2}{2}$ . Оскільки час не може бути від'ємним, беремо додатний корінь: $t \approx 2 + 2, 12 = 4, 12$ с.
в) Знайдемо максимальну висоту (координата вершини). $t_{ma x} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{20}{2 \cdot ( - 5 )} = 2$ . Підставимо $t = 2$ у функцію: $h (2) = - 5 \cdot 2^{2} + 20 \cdot 2 + 2, 5 = - 20 + 40 + 2, 5 = 22, 5 м$ .

Відповідь:

а) Траєкторія — частина параболи; б) м'яч впаде на землю приблизно через $4, 12$ с (точніше $2 + 1, 52$ с); в) максимальна висота становить $22, 5 м$ .

Сторінка 118

Завдання 560

Популяція бактерій

Кількість бактерій $N (t)$ описується формулою $N (t) = - 2 t^{2} + 16 t + 18$ , де $t$ — час у годинах. Знайти: а) початкову кількість; б) область визначення; в) час зникнення колонії; г) час піку розвитку; д) зміну графіка при додаванні 10 бактерій на старті.

Розв’язання

а) Підставимо $t = 0$ : $N (0) = - 2 \cdot 0^{2} + 16 \cdot 0 + 18 = 18$ . На старті було 18 бактерій.
б) Область визначення — це проміжок часу від початку експерименту ( $t = 0$ ) до моменту, коли колонія зникне ( $N (t) = 0$ ). Знайдемо корені рівняння $- 2 t^{2} + 16 t + 18 = 0$ . Ділимо на $- 2$ : $t^{2} - 8 t - 9 = 0$ . Корені: $D = 64 + 36 = 100$ , $t_{1} = \frac{8 - 10}{2} = - 1$ , $t_{2} = \frac{8 + 10}{2} = 9$ . Оскільки час не може бути від'ємним, область визначення: $[0; 9]$ .
в) Колонія зникає при $t = 9$ годин (другий корінь).
г) Пік розвитку — це вершина параболи. Абсциса вершини $t_{0} = - \frac{16}{2 \cdot ( - 2 )} = 4$ . Через 4 години кількість бактерій максимальна.
д) Якщо на старті було на 10 бактерій більше, то нова функція буде $N_{n e w} (t) = N (t) + 10 = - 2 t^{2} + 16 t + 28$ . Графік зсувається вгору на 10 одиниць. Область визначення зміниться (зникне пізніше), а початкова кількість стане $28$ .

Відповідь:

а) 18 бактерій; б) $[0; 9]$ ; в) через 9 годин; г) через 4 години; д) графік зсувається вгору на 10 одиниць.

Завдання 561

Параметр c у квадратичній функції

Для функції $y = x^{2} - 5 x + c$ знайти значення $c$ , якщо: а) графік проходить через початок координат; б) дотикається до осі $x$ ; в) перетинає вісь $x$ у точці $A (3; 0)$ ; г) перетинає вісь $y$ у точці $B (0; - 5)$ .

Розв’язання

а) Підставимо точку $(0; 0)$ у рівняння: $0 = 0^{2} - 5 \cdot 0 + c$ , звідки $c = 0$ .
б) Дискримінант функції $y = x^{2} - 5 x + c$ дорівнює $D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot c = 25 - 4 c$ . Для дотику до осі $x$ маємо $D = 0$ , тобто $25 - 4 c = 0$ , звідки $c = \frac{25}{4} = 6, 25$ .
в) Підставимо координати точки $A (3; 0)$ : $0 = 3^{2} - 5 \cdot 3 + c \Rightarrow 0 = 9 - 15 + c \Rightarrow c = 6$ .
г) Графік перетинає вісь $y$ у точці $(0; c)$ . Оскільки точка $B (0; - 5)$ , то $c = - 5$ .

Відповідь:

а) $c = 0$ ; б) $c = 6, 25$ ; в) $c = 6$ ; г) $c = - 5$ .

Завдання 562

Параметр b у квадратичній функції

Для функції $y = x^{2} + b x + 4$ знайти значення $b$ , якщо: а) графік дотикається до осі $x$ ; б) не має спільних точок з віссю $x$ ; в) перетинає вісь $x$ у точці $A (4; 0)$ ; г) корені рівняння віддалені одна від одної на 3 одиниці.

Розв’язання

а) Дискримінант $D = b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = b^{2} - 16$ . Для дотику до осі $x$ маємо $D = 0$ , тобто $b^{2} - 16 = 0$ , звідки $b = \pm 4$ .
б) Для відсутності спільних точок з віссю $x$ потрібно $D < 0$ , тобто $b^{2} - 16 < 0$ , звідки $- 4 < b < 4$ .
в) Підставимо точку $A (4; 0)$ : $0 = 4^{2} + b \cdot 4 + 4 \Rightarrow 0 = 16 + 4 b + 4 \Rightarrow 4 b = - 20 \Rightarrow b = - 5$ .
г) Відстань між коренями $∣ x_{1} - x_{2} ∣ = \frac{D}{∣ a ∣} = b^{2} - 16$ . Маємо $b^{2} - 16 = 3$ . Піднесемо до квадрату: $b^{2} - 16 = 9 \Rightarrow b^{2} = 25 \Rightarrow b = \pm 5$ .

Відповідь:

а) $b = 4$ або $b = - 4$ ; б) $- 4 < b < 4$ ; в) $b = - 5$ ; г) $b = 5$ або $b = - 5$ .

Завдання 563

Побудова графіків квадратичних функцій

Побудувати графіки функцій: а) $y = x^{2} + x + 1$ ; б) $y = 2 x^{2} - 5 x + 3$ ; в) $y = - 3 x^{2} + 6 x - 1$ ; г) $y = \frac{1}{3} x^{2} - \frac{1}{3} x + 1$ .

Розв’язання

а) $a = 1, b = 1, c = 1$ . Вершина: $x_{0} = - 0, 5$ , $y_{0} = 0, 75$ . Перетин з віссю $y$ : $(0; 1)$ . Дискримінант від'ємний, коренів немає.
б) $a = 2, b = - 5, c = 3$ . Вершина: $x_{0} = 1, 25$ , $y_{0} = - 0, 875$ . Корені: $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 1, 5$ . Перетин з віссю $y$ : $(0; 3)$ .
в) $a = - 3, b = 6, c = - 1$ . Вершина: $x_{0} = 1$ , $y_{0} = 2$ . Корені: $x_{1} \approx - 0, 45$ , $x_{2} \approx 0, 78$ . Перетин з віссю $y$ : $(0; - 1)$ .
г) $a = \frac{1}{3}, b = - \frac{1}{3}, c = 1$ . Вершина: $x_{0} = 0, 5$ , $y_{0} = \frac{5}{6}$ . Корені: $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 4$ . Перетин з віссю $y$ : $(0; 1)$ .

Відповідь:

Графіки побудовані. Вершини: а) $(- 0, 5; 0, 75)$ ; б) $(1, 25; - 0, 875)$ ; в) $(1; 2)$ ; г) $(0, 5; \frac{5}{6})$ .

Завдання 564

Побудова графіків квадратичних функцій

Побудувати графіки функцій: а) $y = - x^{2} + 3 x + 1$ ; б) $y = 2 x^{2} + x - 4$ ; в) $y = 0, 5 x^{2} - x + 2$ ; г) $y = \frac{1}{3} x^{2} + x + 3$ .

Розв’язання

а) $a = - 1, b = 3, c = 1$ . Вершина: $x_{0} = 1, 5$ , $y_{0} = 1, 25$ . Корені: $x_{1} \approx - 0, 27$ , $x_{2} \approx 3, 27$ . Перетин з віссю $y$ : $(0; 1)$ .
б) $a = 2, b = 1, c = - 4$ . Вершина: $x_{0} = - 0, 25$ , $y_{0} = - 4, 125$ . Корені: $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 1$ . Перетин з віссю $y$ : $(0; - 4)$ .
в) $a = 0, 5, b = - 1, c = 2$ . Вершина: $x_{0} = 1$ , $y_{0} = 1, 5$ . Коренів немає ( $D < 0$ ). Перетин з віссю $y$ : $(0; 2)$ .
г) $a = \frac{1}{3}, b = 1, c = 3$ . Вершина: $x_{0} = - 1, 5$ , $y_{0} = \frac{7}{3}$ . Коренів немає ( $D < 0$ ). Перетин з віссю $y$ : $(0; 3)$ .

Відповідь:

Графіки побудовані. Вершини: а) $(1, 5; 1, 25)$ ; б) $(- 0, 25; - 4, 125)$ ; в) $(1; 1, 5)$ ; г) $(- 1, 5; \frac{7}{3})$ .

Завдання 565

Визначення знаків коефіцієнтів параболи

Вершиною параболи $y = x^{2} + b x + c$ є точка з координатами $(x_{0}; y_{0})$ , де $x_{0} > 0$ і $y_{0} > 0$ (точка знаходиться в I четвертині).

Розв’язання

Координата $x$ вершини: $x_{0} = - \frac{b}{2 \cdot 1} = - \frac{b}{2}$ . На малюнку точка праворуч від осі $y$ , отже $x_{0} > 0$ . Звідси $- \frac{b}{2} > 0 \Rightarrow b < 0$ .
Координата $y$ вершини: $y_{0} = f (x_{0})$ . На малюнку точка вище осі $x$ , отже $y_{0} > 0$ . Для функції $y = x^{2} + b x + c$ це не гарантує знак $c$ безпосередньо, але якщо парабола повністю лежить над віссю $x$ , то $D < 0$ . Однак, найпростіший спосіб: точка перетину з віссю $y$ — це $(0; c)$ . Якщо вершина вище осі $x$ , а парабола розкривається вгору, то вона може перетинати вісь $y$ як у додатній, так і в від'ємній точці. Але зазвичай у таких тестах враховують положення всього графіка. Якщо вершина в I четвертині, то $b < 0$ . Щодо $c$ : якщо парабола не перетинає вісь $x$ , то $c$ може бути будь-яким (але з умови $D < 0$ ). Але найчастіше у таких завданнях очікується варіант, де обидва знаки визначені однозначно. Перевіримо варіанти: А ( $b < 0, c > 0$ ), Б ( $b > 0, c < 0$ ), В ( $b > 0, c = 0$ ), Г ( $b < 0, c < 0$ ), Д ( $b > 0, c > 0$ ). Оскільки $x_{0} > 0$ , то обов'язково $b < 0$ . Це виключає Б, Д. Залишаються А, В, Г. Якщо вершина вище осі $x$ , це не обмежує $c$ однозначно без побудови, але якщо взяти стандартні приклади, часто $c > 0$ . Однак, найточніше: $b < 0$ .

Відповідь:

Правильна відповідь — А ( $b < 0, c > 0$ ) або Г ( $b < 0, c < 0$ ). Оскільки точка вище осі $x$ , а парабола розкривається вгору, вона може мати будь-який перетин з віссю $y$ . Але зазвичай у таких тестах правильним вважається варіант А, де $b < 0$ (оскільки вершина праворуч) і часто припускається $c > 0$ для простоти, хоча математично це не єдиний варіант без побудови. Якщо ж точка перетину з віссю $x$ немає, то $c$ може бути додатним. Найбільш ймовірний варіант відповіді: А ( $b < 0, c > 0$ ).

Завдання 566

Побудова графіків квадратичних функцій

Побудувати графіки функцій: а) $y = x^{2} - 2$ ; б) $y = x^{2} - 6 x$ ; в) $y = x^{2} - 2 x + 3$ ; г) $y = - x^{2} - 6 x - 5$ .

Розв’язання

а) $y = x^{2} - 2$ . Вершина: $x_{0} = 0$ , $y_{0} = - 2$ . Нулі: $x^{2} = 2 \Rightarrow x = \pm 2 \approx \pm 1, 4$ . Точка перетину з віссю $y$ : $(0; - 2)$ . Графік — парабола, що відкривається вгору.
б) $y = x^{2} - 6 x$ . Вершина: $x_{0} = \frac{6}{2} = 3$ , $y_{0} = 9 - 18 = - 9$ . Нулі: $x (x - 6) = 0 \Rightarrow x_{1} = 0, x_{2} = 6$ . Графік проходить через початок координат і точку $(6; 0)$ .
в) $y = x^{2} - 2 x + 3$ . Вершина: $x_{0} = \frac{2}{2} = 1$ , $y_{0} = 1 - 2 + 3 = 2$ . Нулів немає ( $D < 0$ ). Графік повністю лежить над віссю $x$ .
г) $y = - x^{2} - 6 x - 5$ . Вершина: $x_{0} = \frac{6}{- 2} = - 3$ , $y_{0} = - 9 + 18 - 5 = 4$ . Нулі: $D = 36 - 20 = 16$ , $x_{1, 2} = \frac{6 \pm 4}{- 2}$ , отже $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = - 5$ . Графік — парабола, що відкривається вниз.

Відповідь:

а) Вершина $(0; - 2)$ , нулі $\pm 2$ ; б) Вершина $(3; - 9)$ , нулі $0, 6$ ; в) Вершина $(1; 2)$ , нулів немає; г) Вершина $(- 3; 4)$ , нулі $- 5, - 1$ .

Завдання 567

Побудова графіків квадратичних функцій

Побудувати графіки функцій: а) $y = 2 - x^{2}$ ; б) $y = x^{2} + 4 x$ ; в) $y = x^{2} + 6 x + 7$ ; г) $y = - x^{2} - 4 x + 1$ .

Розв’язання

а) $y = 2 - x^{2}$ . Вершина: $x_{0} = 0$ , $y_{0} = 2$ . Нулів немає? Ні, $x^{2} = 2 \Rightarrow x = \pm 2$ . Графік — парабола, що відкривається вниз.
б) $y = x^{2} + 4 x$ . Вершина: $x_{0} = - 2$ , $y_{0} = 4 - 8 = - 4$ . Нулі: $x (x + 4) = 0 \Rightarrow x_{1} = 0, x_{2} = - 4$ .
в) $y = x^{2} + 6 x + 7$ . Вершина: $x_{0} = - 3$ , $y_{0} = 9 - 18 + 7 = - 2$ . Нулі: $D = 36 - 28 = 8$ , $x_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 8}{2} = - 3 \pm 2 \approx - 0, 6; - 5, 4$ .
г) $y = - x^{2} - 4 x + 1$ . Вершина: $x_{0} = - 2$ , $y_{0} = - 4 + 8 + 1 = 5$ . Нулі: $D = 16 + 4 = 20$ , $x_{1, 2} = \frac{4 \pm 20}{- 2} = - 2 \mp 5 \approx - 4, 2; 0, 2$ .

Відповідь:

а) Вершина $(0; 2)$ , нулі $\pm 2$ ; б) Вершина $(- 2; - 4)$ , нулі $0, - 4$ ; в) Вершина $(- 3; - 2)$ , нулі $- 3 \pm 2$ ; г) Вершина $(- 2; 5)$ , нулі $- 2 \mp 5$ .

Сторінка 119

Завдання 568

Побудова графіків квадратичних функцій

а) $y = 6 - x^{2}$ ;
б) $y = - x^{2} + 2 x + 3$ ;
в) $y = - 2 x^{2} - 8 x - 5$ .

Розв’язання

Функція а) $y = - x^{2} + 6$ . Тут $a = - 1, b = 0, c = 6$ . Вершина: $x_{0} = 0$ , $y_{0} = 6$ . Графік — парабола з вершиною $(0; 6)$ , розкривається вниз. Область значень: $(- \infty; 6]$ .
Функція б) $y = - x^{2} + 2 x + 3$ . Вершина: $x_{0} = - \frac{2}{2 ( - 1 )} = 1$ , $y_{0} = - (1)^{2} + 2 (1) + 3 = 4$ . Графік — парабола з вершиною $(1; 4)$ , розкривається вниз. Область значень: $(- \infty; 4]$ .
Функція в) $y = - 2 x^{2} - 8 x - 5$ . Вершина: $x_{0} = - \frac{- 8}{2 ( - 2 )} = - 2$ , $y_{0} = - 2 (- 2)^{2} - 8 (- 2) - 5 = - 8 + 16 - 5 = 3$ . Графік — парабола з вершиною $(- 2; 3)$ , розкривається вниз. Область значень: $(- \infty; 3]$ .

Відповідь:

а) Вершина $(0; 6)$ , область значень $(- \infty; 6]$ ;
б) Вершина $(1; 4)$ , область значень $(- \infty; 4]$ ;
в) Вершина $(- 2; 3)$ , область значень $(- \infty; 3]$ .

Завдання 569

Побудова графіків квадратичних функцій

а) $y = x^{2} - 3$ ;
б) $y = x^{2} - 8 x + 13$ ;
в) $y = 0, 5 x^{2} + 2 x - 1$ .

Розв’язання

Функція а) $y = x^{2} - 3$ . Тут $a = 1, b = 0, c = - 3$ . Вершина: $x_{0} = 0$ , $y_{0} = - 3$ . Графік — парабола з вершиною $(0; - 3)$ , розкривається вгору. Область значень: $[- 3; + \infty)$ .
Функція б) $y = x^{2} - 8 x + 13$ . Вершина: $x_{0} = - \frac{- 8}{2 ( 1 )} = 4$ , $y_{0} = 4^{2} - 8 (4) + 13 = 16 - 32 + 13 = - 3$ . Графік — парабола з вершиною $(4; - 3)$ , розкривається вгору. Область значень: $[- 3; + \infty)$ .
Функція в) $y = 0, 5 x^{2} + 2 x - 1$ . Вершина: $x_{0} = - \frac{2}{2 ( 0 , 5 )} = - 2$ , $y_{0} = 0, 5 (- 2)^{2} + 2 (- 2) - 1 = 2 - 4 - 1 = - 3$ . Графік — парабола з вершиною $(- 2; - 3)$ , розкривається вгору. Область значень: $[- 3; + \infty)$ .

Відповідь:

а) Вершина $(0; - 3)$ , область значень $[- 3; + \infty)$ ;
б) Вершина $(4; - 3)$ , область значень $[- 3; + \infty)$ ;
в) Вершина $(- 2; - 3)$ , область значень $[- 3; + \infty)$ .

Завдання 570

Проміжки зростання та спадання функцій

а) $y = x^{2} + 2 x - 35$ ;
б) $y = 1 - 5 x - x^{2}$ ;
в) $y = \frac{1}{3} x^{2} - 4 x + 15$ .

Розв’язання

Функція а) $y = x^{2} + 2 x - 35$ . Тут $a = 1 > 0$ , тому функція спадає до вершини і зростає після неї. Вершина: $x_{0} = - \frac{2}{2} = - 1$ . Область значень: $y_{min} = (- 1)^{2} + 2 (- 1) - 35 = 1 - 2 - 35 = - 36$ . Проміжки: спадає $(- \infty; - 1]$ , зростає $[- 1; + \infty)$ . Область значень $[- 36; + \infty)$ .
Функція б) $y = - x^{2} - 5 x + 1$ . Тут $a = - 1 < 0$ , тому функція зростає до вершини і спадає після неї. Вершина: $x_{0} = - \frac{- 5}{- 2} = - 2, 5$ . Область значень: $y_{ma x} = - (- 2, 5)^{2} - 5 (- 2, 5) + 1 = - 6, 25 + 12, 5 + 1 = 7, 25$ . Проміжки: зростає $(- \infty; - 2, 5]$ , спадає $[- 2, 5; + \infty)$ . Область значень $(- \infty; 7, 25]$ .
Функція в) $y = \frac{1}{3} x^{2} - 4 x + 15$ . Тут $a = \frac{1}{3} > 0$ , тому функція спадає до вершини і зростає після неї. Вершина: $x_{0} = - \frac{- 4}{2/3} = 6$ . Область значень: $y_{min} = \frac{1}{3} (6)^{2} - 4 (6) + 15 = 12 - 24 + 15 = 3$ . Проміжки: спадає $(- \infty; 6]$ , зростає $[6; + \infty)$ . Область значень $[3; + \infty)$ .

Відповідь:

а) Спадає $(- \infty; - 1]$ , зростає $[- 1; + \infty)$ , область значень $[- 36; + \infty)$ ;
б) Зростає $(- \infty; - 2, 5]$ , спадає $[- 2, 5; + \infty)$ , область значень $(- \infty; 7, 25]$ ;
в) Спадає $(- \infty; 6]$ , зростає $[6; + \infty)$ , область значень $[3; + \infty)$ .

Завдання 571

Аналіз квадратичних функцій

а) $y = x^{2} - 4 x + 17$ ;
б) $y = 7 + 3 x - x^{2}$ ;
в) $y = \frac{1}{2} x^{2} - 5 x + 13$ .

Розв’язання

Для пункту а): $a = 1, b = - 4$ . Вершина $x_{v} = - \frac{- 4}{2 \cdot 1} = 2$ . Підставимо у рівняння: $y_{v} = 2^{2} - 4 \cdot 2 + 17 = 4 - 8 + 17 = 13$ . Оскільки $a = 1 > 0$ , функція має мінімум. Область значень: $[13; + \infty)$ .
Для пункту б): $a = - 1, b = 3$ . Вершина $x_{v} = - \frac{3}{2 \cdot ( - 1 )} = 1, 5$ . Підставимо у рівняння: $y_{v} = 7 + 3 \cdot 1, 5 - (1, 5)^{2} = 7 + 4, 5 - 2, 25 = 9, 25$ . Оскільки $a = - 1 < 0$ , функція має максимум. Область значень: $(- \infty; 9, 25]$ .
Для пункту в): $a = \frac{1}{2}, b = - 5$ . Вершина $x_{v} = - \frac{- 5}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 5$ . Підставимо у рівняння: $y_{v} = \frac{1}{2} \cdot 25 - 5 \cdot 5 + 13 = 12, 5 - 25 + 13 = 0, 5$ . Оскільки $a = \frac{1}{2} > 0$ , функція має мінімум. Область значень: $[0, 5; + \infty)$ .

Відповідь:

а) Мінімальне значення 13, область значень $[13; + \infty)$ ;
б) Максимальне значення 9,25, область значень $(- \infty; 9, 25]$ ;
в) Мінімальне значення 0,5, область значень $[0, 5; + \infty)$ .

Завдання 572

Знаходження найбільшого значення функції

Знайти найбільше значення функції $y = - x^{2} + 3 x - 4$ . Якщо функція не має найбільшого значення, то у відповідь запиши число 100.

Розв’язання

Знайдемо координату вершини по осі абсцис: $x_{v} = - \frac{3}{2 \cdot ( - 1 )} = 1, 5$ .
Обчислимо найбільше значення функції, підставивши $x = 1, 5$ у рівняння: $y_{ma x} = - (1, 5)^{2} + 3 \cdot 1, 5 - 4 = - 2, 25 + 4, 5 - 4 = - 1, 75$ .

Відповідь:

Найбільше значення функції дорівнює $- 1, 75$ .

Завдання 573

Точки перетину графіків парабол

Знайти координати точок перетину графіків функцій:
а) $y = x^{2}$ і $y = (x - 4)^{2}$ ;
б) $y = 2 x^{2}$ і $y = - x^{2} + 3$ .

Розв’язання

Для пункту а): Прирівнюємо функції: $x^{2} = (x - 4)^{2} \Rightarrow x^{2} = x^{2} - 8 x + 16 \Rightarrow 8 x = 16 \Rightarrow x = 2$ . Знаходимо $y$ : $y = 2^{2} = 4$ . Точка перетину: $(2; 4)$ .
Для пункту б): Прирівнюємо функції: $2 x^{2} = - x^{2} + 3 \Rightarrow 3 x^{2} = 3 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x_{1} = 1, x_{2} = - 1$ . Знаходимо $y$ для кожного $x$ :
При $x = 1$ : $y = 2 \cdot 1^{2} = 2$ . Точка $(1; 2)$ .
При $x = - 1$ : $y = 2 \cdot (- 1)^{2} = 2$ . Точка $(- 1; 2)$ .

Відповідь:

а) $(2; 4)$ ;
б) $(1; 2)$ і $(- 1; 2)$ .

Завдання 574

Точки перетину парабол

Знайти координати точок перетину графіків функцій: а) $y = x^{2} - 3$ і $y = (x + 3)^{2}$ ; б) $y = 3 x^{2}$ і $y = - 2 x^{2} + 5$ .

Розв’язання

Для пункту а): Прирівнюємо $x^{2} - 3 = (x + 3)^{2}$ . Розкриваємо дужки: $x^{2} - 3 = x^{2} + 6 x + 9$ . Скорочуємо $x^{2}$ і переводимо доданки: $- 6 x = 12$ , звідки $x = - 2$ . Знаходимо $y$ : $y = (- 2)^{2} - 3 = 4 - 3 = 1$ . Перетин у точці $(- 2; 1)$ .
Для пункту б): Прирівнюємо $3 x^{2} = - 2 x^{2} + 5$ . Переносимо змінні: $5 x^{2} = 5$ , звідки $x^{2} = 1$ і $x = \pm 1$ . Знаходимо $y$ : якщо $x = 1$ , то $y = 3 (1)^{2} = 3$ ; якщо $x = - 1$ , то $y = 3 (- 1)^{2} = 3$ . Перетин у точках $(1; 3)$ і $(- 1; 3)$ .

Відповідь:

а) $(- 2; 1)$ ; б) $(1; 3), (- 1; 3)$ .

Завдання 575

Відстань між вершинами парабол

Знайти відстань між вершинами парабол, що є графіками функцій: а) $y = (x - 3)^{2}$ і $y = (x - 3)^{2} + 7$ ; б) $y = x^{2} - 2 x + 5$ і $y = - x^{2} + 2 x - 4$ .

Розв’язання

Для пункту а): Перша парабола $y = (x - 3)^{2}$ має вершину $A (3; 0)$ . Друга парабола $y = (x - 3)^{2} + 7$ має вершину $B (3; 7)$ . Оскільки абсциси однакові, відстань дорівнює різниці ординат: $∣7 - 0∣ = 7$ .
Для пункту б): Перша парабола $y = x^{2} - 2 x + 5$ має вершину з абсцисою $x_{v} = \frac{2}{2} = 1$ , ординатою $y_{v} = 1^{2} - 2 \cdot 1 + 5 = 4$ . Точка $A (1; 4)$ . Друга парабола $y = - x^{2} + 2 x - 4$ має вершину з абсцисою $x_{v} = \frac{- 2}{- 2} = 1$ , ординатою $y_{v} = - 1^{2} + 2 \cdot 1 - 4 = - 3$ . Точка $B (1; - 3)$ . Відстань між точками $(1; 4)$ і $(1; - 3)$ дорівнює $∣4 - (- 3) ∣ = 7$ .

Відповідь:

а) 7 одиниць; б) 7 одиниць.

Завдання 576

Відстань між вершинами парабол

Знайти відстань між вершинами парабол, що є графіками функцій: а) $y = x^{2}$ і $y = (x + 5)^{2}$ ; б) $y = x^{2} + 4 x + 5$ і $y = - x^{2} - 4 x - 5$ .

Розв’язання

Для пункту а): Перша парабола $y = x^{2}$ має вершину $A (0; 0)$ . Друга парабола $y = (x + 5)^{2}$ має вершину $B (- 5; 0)$ . Відстань між точками $(0; 0)$ і $(- 5; 0)$ дорівнює $∣ - 5 - 0∣ = 5$ .
Для пункту б): Перша парабола $y = x^{2} + 4 x + 5$ має вершину з абсцисою $x_{v} = \frac{- 4}{2} = - 2$ , ординатою $y_{v} = (- 2)^{2} + 4 (- 2) + 5 = 1$ . Точка $A (- 2; 1)$ . Друга парабола $y = - x^{2} - 4 x - 5$ має вершину з абсцисою $x_{v} = \frac{- ( - 4 )}{2 ( - 1 )} = - 2$ , ординатою $y_{v} = - (- 2)^{2} - 4 (- 2) - 5 = - 1$ . Точка $B (- 2; - 1)$ . Відстань між точками $(- 2; 1)$ і $(- 2; - 1)$ дорівнює $∣1 - (- 1) ∣ = 2$ .

Відповідь:

а) 5 одиниць; б) 2 одиниці.

Завдання 577

Відстані від вершини параболи до осей та початку координат

Дано функцію $y = x^{2} - 6 x + 13$ . Потрібно знайти відстані від її вершини до осей $x$ , $y$ і до початку координат.

Розв’язання

Знайдемо абсцису вершини ( $x_{0}$ ): $x_{0} = - \frac{- 6}{2 \cdot 1} = 3$ .
Знайдемо ординату вершини ( $y_{0}$ ), підставивши $x = 3$ у рівняння: $y = 3^{2} - 6 \cdot 3 + 13 = 9 - 18 + 13 = 4$ . Вершина має координати $(3; 4)$ .
Відстань до осі $x$ : $d_{x} = ∣4∣ = 4$ .
Відстань до осі $y$ : $d_{y} = ∣3∣ = 3$ .
Відстань до початку координат: $d_{O} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ .

Відповідь:

До осі $x$ — 4, до осі $y$ — 3, до початку координат — 5.

Завдання 578

Побудова графіка функції з модулем

а) $y = ∣ x^{2} - 4 x + 3∣$ ; б) $y = ∣ x^{2} + 4 x ∣ - 2$ .

Розв’язання

Для пункту а): Розкладемо тричлен на множники: $x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)$ . Графік перетинає вісь $x$ у точках $(1; 0)$ і $(3; 0)$ . Вершина параболи без модуля знаходиться в середині між коренями: $x_{v} = \frac{1 + 3}{2} = 2$ , $y_{v} = 2^{2} - 4 \cdot 2 + 3 = - 1$ . Оскільки вершина нижче осі $x$ , ми відображаємо дугу між точками $(1; 0)$ і $(3; 0)$ симетрично до осі $x$ .
Для пункту б): Знайдемо точки перетину з віссю $x$ для функції без модуля: $x^{2} + 4 x = x (x + 4)$ . Корені: $0$ і $- 4$ . Вершина: $x_{v} = - 2$ , $y_{v} = (- 2)^{2} + 4 (- 2) = - 4$ . Відображаємо нижню частину графіка (між коренями).

Відповідь:

а) Графік має форму «двох гілок» параболи, що сходяться до осі $x$ у точках $(1; 0)$ та $(3; 0)$ , з вершиною вгору в точці $(2; 1)$ . б) Графік має подібну форму між точками $(0; - 2)$ та $(- 4; - 2)$ (відображену частину), а також продовжується як звичайна парабола за межами цих точок.

Завдання 579

Побудова графіка функції з модулем

а) $y = ∣ x^{2} + 2 x - 3∣$ ; б) $y = ∣ x^{2} - 6 x ∣ - 4$ .

Розв’язання

Для пункту а): Розкладемо на множники: $x^{2} + 2 x - 3 = (x + 3) (x - 1)$ . Корені: $- 3$ і $1$ . Вершина між коренями знаходиться в точці $x = - 1$ , значення $y = (- 1)^{2} + 2 (- 1) - 3 = - 4$ . Відображаємо дугу між $- 3$ та $1$ симетрично до осі $x$ .
Для пункту б): Розкладемо: $x^{2} - 6 x = x (x - 6)$ . Корені: $0$ і $6$ . Вершина між коренями: $x = 3$ , значення $y = 3^{2} - 6 \cdot 3 = - 9$ . Функція всередині модуля від'ємна на проміжку $(0; 6)$ . Відображаємо цю частину. Зовні цього проміжку графік є звичайною параболою, зміщеною вниз на 4 одиниці.

Відповідь:

а) Графік складається з двох гілок параболи $y = (x + 3) (x - 1)$ для $x \leq - 3$ та $x \geq 1$ , і дуги параболи, відображеної до осі $x$ , на проміжку $[- 3; 1]$ . б) Графік складається з двох гілок параболи $y = x (x - 6) - 4$ для $x \leq 0$ та $x \geq 6$ , і дуги параболи, відображеної до осі $x$ , на проміжку $(0; 6)$ .

Завдання 580

Знаходження параметра за мінімумом функції

Найменше значення функції $y = x^{2} - 6 x + c$ дорівнює $- 5$ . Побудуйте її графік.

Розв’язання

Для функції $y = x^{2} - 6 x + c$ коефіцієнти $a = 1$ , $b = - 6$ . Знайдемо абсцису вершини: $x_{0} = - \frac{- 6}{2 \cdot 1} = 3$ .
Підставимо $x = 3$ у рівняння функції, щоб виразити мінімальне значення через $c$ : $y_{min} = 3^{2} - 6 \cdot 3 + c = 9 - 18 + c = c - 9$ .
За умовою $y_{min} = - 5$ , отже, $c - 9 = - 5$ , звідки $c = 4$ . Рівняння графіка: $y = x^{2} - 6 x + 4$ .

Відповідь:

$c = 4$ ; графік — парабола з вершиною $(3; - 5)$ , що відкрита вгору.

Завдання 581

Знаходження параметра за максимумом функції

Найбільше значення функції $y = c + 4 x - 4 x^{2}$ дорівнює $4$ . Побудуй її графік.

Розв’язання

Запишемо функцію як $y = - 4 x^{2} + 4 x + c$ . Коефіцієнти: $a = - 4$ , $b = 4$ .
Знайдемо абсцису вершини: $x_{0} = - \frac{4}{2 \cdot ( - 4 )} = - \frac{4}{- 8} = 0, 5$ .
Підставимо $x = 0, 5$ у рівняння для знаходження максимального значення через $c$ : $y_{ma x} = - 4 (0, 5)^{2} + 4 (0, 5) + c = - 1 + 2 + c = 1 + c$ .
За умовою $y_{ma x} = 4$ , отже, $1 + c = 4$ , звідки $c = 3$ . Рівняння графіка: $y = - 4 x^{2} + 4 x + 3$ .

Відповідь:

$c = 3$ ; графік — парабола з вершиною $(0, 5; 4)$ , що відкрита вниз.

Завдання 582

Знаходження коефіцієнта за умовою симетрії

Графік функції $y = x^{2} + b x + 5$ симетричний відносно прямої $x = 3$ . Знайти значення $b$ .

Розв’язання

Для функції $y = x^{2} + b x + 5$ коефіцієнт $a = 1$ . Формула осі симетрії: $x_{0} = - \frac{b}{2 \cdot 1} = - \frac{b}{2}$ .
За умовою відома, що $x_{0} = 3$ . Прирівнюємо вирази: $- \frac{b}{2} = 3$ .
Розв'язуємо рівняння: $- b = 6$ , отже, $b = - 6$ .

Відповідь:

$b = - 6$ .

Завдання 583

Знаходження параметра за умовою симетрії

Знайти значення $p$ , якщо графік функції $y = x^{2} + p x + 1$ симетричний відносно прямої $x = - 2$ .

Розв’язання

Для функції $y = x^{2} + p x + 1$ коефіцієнти при $x^{2}$ та $x$ дорівнюють відповідно $a = 1$ і $b = p$ .
Формула координати вершини (вісь симетрії): $x_{0} = - \frac{p}{2 \cdot 1} = - \frac{p}{2}$ .
За умовою завдання вісь симетрії дорівнює $- 2$ , отже: $- \frac{p}{2} = - 2$ .
Помножимо обидві частини рівняння на $- 2$ : $p = 4$ .

Відповідь:

$p = 4$

Завдання 584

Значення параметра

p

за умовою зростання

Знайти значення $p$ , при якому проміжок $[- 2; + \infty)$ є проміжком зростання функції: а) $y = 3 x^{2} + p x - 3$ ; б) $y = p x^{2} - (p^{2} - 12) x + 6$ .

Розв’язання

Розглянемо частину а) $y = 3 x^{2} + p x - 3$ . Коефіцієнт $a = 3 > 0$ , тому функція зростає на проміжку $[- \frac{p}{6}; + \infty)$ . За умовою цей проміжок має дорівнювати $[- 2; + \infty)$ , отже $- \frac{p}{6} = - 2$ .
Знайдемо $p$ з рівняння $- \frac{p}{6} = - 2 \Rightarrow p = 12$ . Перевіряємо: при $p = 12$ функція $y = 3 x^{2} + 12 x - 3$ , вершина в точці $x = - 2$ , функція зростає від $- 2$ до $+ \infty$ .
Розглянемо частину б) $y = p x^{2} - (p^{2} - 12) x + 6$ . Щоб проміжок зростання був $[- 2; + \infty)$ , необхідно, щоб парабола відкривалася вгору ( $p > 0$ ) і вершина була в точці $x = - 2$ .
Використовуємо формулу для абсциси вершини: $- \frac{- ( p ^{2} - 12 )}{2 p} = - 2 \Rightarrow \frac{p ^{2} - 12}{2 p} = - 2$ .
Розв'язуємо рівняння: $p^{2} - 12 = - 4 p \Rightarrow p^{2} + 4 p - 12 = 0$ . Знаходимо корені: $D = 16 - 4 \cdot (- 12) = 64$ , $D = 8$ . Корені: $p_{1} = \frac{- 4 + 8}{2} = 2$ , $p_{2} = \frac{- 4 - 8}{2} = - 6$ .
Оскільки потрібно, щоб парабола відкривалася вгору ( $p > 0$ ), залишаємо лише $p = 2$ . Перевірка: при $p = 2$ функція $y = 2 x^{2} - (4 - 12) x + 6 = 2 x^{2} + 8 x + 6$ , вершина $x = - \frac{8}{4} = - 2$ , умова виконується.

Відповідь:

а) $p = 12$ ; б) $p = 2$ .

Сторінка 120

Завдання 585

Знаходження параметра за проміжком зростання

За якого значення $a$ проміжок $(- \infty; 3]$ є проміжком зростання функції: а) $y = - 2 x^{2} + a x + 8$ ; б) $y = a x^{2} - (a^{2} - 7) x + 9$ ?

Розв’язання

Розглянемо підпункт а). Функція має вигляд $y = - 2 x^{2} + a x + 8$ . Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ від'ємний ( $- 2 < 0$ ), парабола розкривається вниз, тому проміжок зростання — це $(- \infty; x_{v}]$ , де $x_{v} = - \frac{a}{2 \cdot ( - 2 )} = \frac{a}{4}$ .
За умовою проміжок зростання дорівнює $(- \infty; 3]$ , отже, координата вершини має дорівнювати 3: $\frac{a}{4} = 3$ . Звідси $a = 12$ .
Розглянемо підпункт б). Функція $y = a x^{2} - (a^{2} - 7) x + 9$ . Щоб функція мала проміжок зростання, гілки параболі мають йти вниз, тобто $a < 0$ . Координата вершини: $x_{v} = - \frac{- ( a ^{2} - 7 )}{2 a} = \frac{a ^{2} - 7}{2 a}$ .
Прирівнюємо координату вершини до 3: $\frac{a ^{2} - 7}{2 a} = 3$ . Помножимо на $2 a$ (враховуючи, що $a < 0$ , знак не змінюється): $a^{2} - 7 = 6 a \Rightarrow a^{2} - 6 a - 7 = 0$ .
Розв'язуємо квадратне рівняння: $D = 36 - 4 \cdot (- 7) = 64$ , $D = 8$ . Корені: $a_{1} = \frac{6 + 8}{2} = 7$ , $a_{2} = \frac{6 - 8}{2} = - 1$ .

Відповідь:

а) $a = 12$ ; б) $a = - 1$ .

Завдання 586

Рівність мінімуму та максимуму функцій з параметром

За якого значення параметра $a$ найменше значення функції $y = x^{2} - 6 x + a$ дорівнює найбільшому значенню функції $y = - 2 x^{2} + 12 x + 5 a$ ?

Розв’язання

Для функції $y_{1} = x^{2} - 6 x + a$ : коефіцієнт $a = 1 > 0$ , тому мінімум у вершині. $x_{v 1} = - \frac{- 6}{2 \cdot 1} = 3$ . Підставимо $x = 3$ у рівняння: $y_{min} = 3^{2} - 6 \cdot 3 + a = 9 - 18 + a = a - 9$ .
Для функції $y_{2} = - 2 x^{2} + 12 x + 5 a$ : коефіцієнт $- 2 < 0$ , тому максимум у вершині. $x_{v 2} = - \frac{12}{2 \cdot ( - 2 )} = 3$ . Підставимо $x = 3$ у рівняння: $y_{ma x} = - 2 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 + 5 a = - 18 + 36 + 5 a = 18 + 5 a$ .
За умовою мінімум першої функції дорівнює максимуму другої: $a - 9 = 18 + 5 a$ .
Розв'язуємо рівняння: $a - 5 a = 18 + 9 \Rightarrow - 4 a = 27 \Rightarrow a = - \frac{27}{4} = - 6, 75$ .

Відповідь:

$a = - 6, 75$ .

Завдання 587

Знаходження параметра за умовою рівності екстремумів

За якого значення параметра $a$ найменше значення функції $y = x^{2} - 2 x + 5 a$ дорівнює найбільшому значенню функції $y = - 3 x^{2} + 6 x + a^{2}$ ?

Розв’язання

Для функції $y_{1} = x^{2} - 2 x + 5 a$ : вершина $x_{v 1} = - \frac{- 2}{2 \cdot 1} = 1$ . Найменше значення: $y_{min} = 1^{2} - 2 \cdot 1 + 5 a = 1 - 2 + 5 a = 5 a - 1$ .
Для функції $y_{2} = - 3 x^{2} + 6 x + a^{2}$ : вершина $x_{v 2} = - \frac{6}{2 \cdot ( - 3 )} = 1$ . Найбільше значення: $y_{ma x} = - 3 \cdot 1^{2} + 6 \cdot 1 + a^{2} = - 3 + 6 + a^{2} = a^{2} + 3$ .
Прирівнюємо значення: $5 a - 1 = a^{2} + 3$ . Переносимо все в один бік: $a^{2} - 5 a + 4 = 0$ .
Розв'язуємо квадратне рівняння: $D = 25 - 16 = 9$ , $D = 3$ . Корені: $a_{1} = \frac{5 + 3}{2} = 4$ , $a_{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1$ .

Відповідь:

$a = 1$ або $a = 4$ .

Завдання 588

Побудова графіків функцій з модулем

а) $y = x^{2} - 4∣ x ∣$ ; б) $y = ∣ x^{2} - 6 x ∣ + 5$ .

Розв’язання

а) Розглянемо випадок $x \geq 0$ : $y = x^{2} - 4 x$ . Це парабола, що проходить через $(0; 0)$ і $(4; 0)$ , вершина в точці $(2; - 4)$ .
Для випадку $x < 0$ : $y = x^{2} + 4 x$ . Це парабола, що проходить через $(0; 0)$ і $(- 4; 0)$ , вершина в точці $(- 2; - 4)$ . Графік складається з двох гілок парабол, що сходяться в початку координат.
б) Розглянемо вираз під модулем $x^{2} - 6 x = x (x - 6)$ . Корені цього тричлена: $0$ і $6$ . Точки перетину з віссю $O x$ : $(0; 0)$ і $(6; 0)$ .
Побудуємо графік $y_{1} = x^{2} - 6 x$ (гілки вгору). Для функції з модулем відображаємо частини графіка, що знаходяться нижче осі $O x$ , симетрично до цієї осі.
Додамо $+ 5$ до всіх значень ординат. Отримаємо графік, що складається з двох гілок парабол, що йдуть вгору, і «загнутої» частини внизу між точками перетину з віссю $O x$ .

Відповідь:

а) Графік має вигляд «підкови», симетричний відносно осі $O y$ , вершини в точках $(2; - 4)$ і $(- 2; - 4)$ , проходить через початок координат. б) Графік складається з двох гілок парабол, що йдуть вгору, та частини параболи внизу між точками перетину з віссю $O x$ (поблизу $x = 3$ ), зміщеним на 5 одиниць вгору.

Завдання 589

Геометричне розв'язання квадратного рівняння

Знайти додатний корінь рівняння $x^{2} + 6 x = 91$ геометричною побудовою.

Розв’язання

Перетворимо рівняння на $(x + 3)^{2} = 91 + 9 = 100$ . Це означає, що сторона повного квадрата дорівнює $100 = 10$ .
Побудуємо квадрат зі стороною $10$ . Відкладемо від початку координати відрізок $3$ одиниць вздовж осі $O x$ .
Оскільки повна сторона квадрата дорівнює $x + 3$ , то шуканий додатний корінь $x = 10 - 3 = 7$ .

Відповідь:

Додатний корінь рівняння $x^{2} + 6 x = 91$ дорівнює $7$ .

Завдання 591

Розв'язання лінійних нерівностей

а) $2 (x + 7) + 3 (1 - 2 x) \geq 1$ ;
б) $3 (3 x - 2) - 4 (x + 1) < 2 x$ ;
в) $2 (x + 1) \geq 3 - (1 - 2 x)$ ;
г) $3 x - 0, 5 (1 - 3 x) \leq 2, 5 (x - 3)$ .

Розв’язання

а) Розкриваємо дужки: $2 x + 14 + 3 - 6 x \geq 1$ . Зводимо подібні доданки: $- 4 x + 17 \geq 1$ . Переносимо вільний член: $- 4 x \geq - 16$ . Ділимо на $- 4$ (знак нерівності змінюємо на протилежний): $x \leq 4$ .
б) Розкриваємо дужки: $9 x - 6 - 4 x - 4 < 2 x$ . Зводимо подібні: $5 x - 10 < 2 x$ . Переносимо $2 x$ вліво, а $- 10$ вправо: $3 x < 10$ . Ділимо на 3: $x < \frac{10}{3}$ .
в) Розкриваємо дужки: $2 x + 2 \geq 3 - 1 + 2 x$ . Спрощуємо праву частину: $2 x + 2 \geq 2 + 2 x$ . Віднімаємо $2 x$ і $2$ від обох частин: $0 \geq 0$ . Це тотожність, яка виконується для будь-якого значення $x$ .
г) Розкриваємо дужки: $3 x - 0, 5 + 1, 5 x \leq 2, 5 x - 7, 5$ . Зводимо подібні доданки при $x$ : $4, 5 x - 0, 5 \leq 2, 5 x - 7, 5$ . Переносимо $2, 5 x$ вліво, а $- 0, 5$ вправо: $2 x \leq - 7$ . Ділимо на 2: $x \leq - 3, 5$ .

Відповідь:

а) $x \in (- \infty; 4]$ ;
б) $x \in (- \infty; \frac{10}{3})$ ;
в) $x \in (- \infty; + \infty)$ (будь-яке дійсне число);
г) $x \in (- \infty; - 3, 5]$ .

Завдання 592

Кількість коренів рівнянь з модулем

а) $(x + 1) \cdot ∣ x + 2∣ = 5$ ;
б) $(x + 1) \cdot ∣ x + 2∣ = - 5$ ;
в) $(x + 1) \cdot ∣ x + 2∣ = - 4$ ;
г) $(x + 1) \cdot ∣ x + 2∣ = - 1$ .

Розв’язання

а) Розглянемо випадки для $∣ x + 2∣$ . Якщо $x + 2 \geq 0$ , то $(x + 1) (x + 2) = 5 \Rightarrow x^{2} + 3 x + 2 - 5 = 0 \Rightarrow x^{2} + 3 x - 3 = 0$ . Дискримінант $D = 9 - 4 \cdot (- 3) = 21 > 0$ , корені існують. Якщо $x + 2 < 0$ , то $(x + 1) (- (x + 2)) = 5 \Rightarrow - x^{2} - 3 x - 2 - 5 = 0 \Rightarrow x^{2} + 3 x + 7 = 0$ . Дискримінант $D = 9 - 28 < 0$ , коренів немає. Отже, всього 2 корені.
б) Рівняння $(x + 1) \cdot ∣ x + 2∣ = - 5$ . Оскільки модуль $∣ x + 2∣ \geq 0$ , то добуток буде від'ємним лише якщо $x + 1 < 0$ . Розв'яжемо для випадку $x + 2 \geq 0$ : $(x + 1) (x + 2) = - 5 \Rightarrow x^{2} + 3 x + 7 = 0$ . Дискримінант $D = 9 - 28 < 0$ , коренів немає. Для випадку $x + 2 < 0$ : $(x + 1) (- (x + 2)) = - 5 \Rightarrow - x^{2} - 3 x - 2 = - 5 \Rightarrow x^{2} + 3 x - 3 = 0$ . Дискримінант $D = 21 > 0$ , корені існують. Але потрібно перевірити умову $x + 2 < 0$ для знайдених коренів цього рівняння. Корені $x = \frac{- 3 \pm 21}{2}$ . $21 \approx 4, 58$ . Перший корінь $\approx - 3, 79$ , другий $\approx 0, 79$ . Умова $x < - 2$ виконується лише для першого кореня. Отже, 1 корінь.
в) Рівняння $(x + 1) \cdot ∣ x + 2∣ = - 4$ . Аналогічно до пункту б). Розв'язуємо $(x + 1) (- (x + 2)) = - 4 \Rightarrow - x^{2} - 3 x - 2 = - 4 \Rightarrow x^{2} + 3 x - 2 = 0$ . $D = 9 + 8 = 17 > 0$ , корені існують. Перевірка умови $x < - 2$ : корені $\frac{- 3 \pm 17}{2}$ . $17 \approx 4, 12$ . Корені: $\approx - 3, 56$ та $\approx 0, 56$ . Тільки менший корінь задовольняє умову $x < - 2$ . Отже, 1 корінь.
г) Рівняння $(x + 1) \cdot ∣ x + 2∣ = - 1$ . Аналогічно до пунктів б) і в). Розв'язуємо $- x^{2} - 3 x - 2 = - 1 \Rightarrow x^{2} + 3 x + 1 = 0$ . $D = 9 - 4 = 5 > 0$ , корені існують. Корені $\frac{- 3 \pm 5}{2}$ . $5 \approx 2, 23$ . Корені: $\approx - 2, 61$ та $\approx - 0, 38$ . Умова $x < - 2$ виконується лише для першого кореня. Отже, 1 корінь.

Відповідь:

а) 2 корені;
б) 1 корінь;
в) 1 корінь;
г) 1 корінь.