Завдання 1022, § 22. Частота та ймовірність ви- падкової події — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 1022

Доведення формули суми послідовності

Дано дві формули для суми перших $n$ членів послідовності: а) $S_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ ; б) $S_{n} = n^{2} (n + 1)$ . (Примітка: у тексті підручника часто зустрічаються задачі на знаходження суми, де формули можуть бути записані через загальний член. Тут, ймовірно, йдеться про перевірку відомих формул суми або знаходження $S_{n}$ для конкретних випадків).

Розв’язання

Розглянемо випадок а): Формула $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ є відомою сумою натуральних чисел $1 + 2 + \dots + n$ .
Розглянемо випадок б): Формула $n^{2} (n + 1)$ (або подібна залежно від точного тексту вправи, якщо це сума квадратів або кубів) потребує перевірки на конкретних прикладах. Якщо це сума послідовності, де $a_{n} = 3 n^{2} + \dots$ , то розкладання за степенями дає відповідь.

Відповідь:

а) Сума дорівнює $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ ; б) Сума дорівнює $n^{2} (n + 1)$ (або відповідний вираз залежно від конкретної послідовності в умові).

Розбір зрозумілий?

§ 22. Частота та ймовірність ви- падкової події Завдання 1022 с. 272

Доведення формули суми послідовності

Умова

Що треба знати

Сума арифметичної прогресії обчислюється за формулою $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ . Для послідовностей виду $a_{n} = n^{k}$ сума часто виражається через многочлени від $n$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Скористайтеся властивістю суми арифметичної прогресії або розкладом на частини, якщо послідовність складна. Перевірте формулу для малих $n$ (наприклад, $n = 1, 2$ ).

Розв’язання крок за кроком

Розглянемо випадок а): Формула $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ є відомою сумою натуральних чисел $1 + 2 + \dots + n$ .
Розглянемо випадок б): Формула $n^{2} (n + 1)$ (або подібна залежно від точного тексту вправи, якщо це сума квадратів або кубів) потребує перевірки на конкретних прикладах. Якщо це сума послідовності, де $a_{n} = 3 n^{2} + \dots$ , то розкладання за степенями дає відповідь.

Відповідь:

Розбір зрозумілий?