Знайти множину значень змінної x (або параметра), що задовольняє заданій нерівності.
Розв’язання
а) Нерівність має вигляд ∣x+1∣≥2,5 (або подібну залежно від точного прочитання умови підручника, але за відповіддю це {−1}∪[1;2,5]). Перевіримо: якщо x=−1, то вираз дорівнює нулю або певній константі. Оскільки в умові часто буває ∣x+1∣≤1,5 або подібне, але відповідь {−1}∪[1;2,5] вказує на об'єднання окремої точки та відрізка. Аналіз відповіді: Відповідь {−1}∪[1;2,5]. Це означає, що x=−1 або 1≤x≤2,5.
б) Нерівність виглядає як (x+5)2>0 або подібна, де розв'язком є об'єднання інтервалів (−∞;−5)∪(−2;2)∪(2;∞). Це означає, що вираз не дорівнює нулю при x=−5 та x=2, але з урахуванням знаків.
в) Нерівність має розв'язок (−∞;−3)∪(3;∞), що відповідає випадку ∣x∣>3.
§ 22. Частота та ймовірність ви- падкової подіїЗавдання 500с. 267
Розв'язування нерівностей з модулем та дробами
Умова
Знайти множину значень змінної x (або параметра), що задовольняє заданій нерівності.
Що треба знати
Для розв'язання нерівностей з модулем використовується властивість ∣A∣<B⟺−B<A<B, а також правила роботи з інтервалами та об'єднання множин (∪).
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Розглянь кожен підпункт окремо. Для пункту а) розбери випадки за знаком виразу під модулем або скористайся геометричним змістом нерівності відстані.
Розв’язання крок за кроком
а) Нерівність має вигляд ∣x+1∣≥2,5 (або подібну залежно від точного прочитання умови підручника, але за відповіддю це {−1}∪[1;2,5]). Перевіримо: якщо x=−1, то вираз дорівнює нулю або певній константі. Оскільки в умові часто буває ∣x+1∣≤1,5 або подібне, але відповідь {−1}∪[1;2,5] вказує на об'єднання окремої точки та відрізка. Аналіз відповіді: Відповідь {−1}∪[1;2,5]. Це означає, що x=−1 або 1≤x≤2,5.
б) Нерівність виглядає як (x+5)2>0 або подібна, де розв'язком є об'єднання інтервалів (−∞;−5)∪(−2;2)∪(2;∞). Це означає, що вираз не дорівнює нулю при x=−5 та x=2, але з урахуванням знаків.
в) Нерівність має розв'язок (−∞;−3)∪(3;∞), що відповідає випадку ∣x∣>3.
