Завдання 1266, § 22. Частота та ймовірність ви- падкової події — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 1266

Розв'язання рівнянь четвертого степеня

а) $3 x^{4} - 2 x^{2} - 40 = 0$ ; б) $5 y^{4} + 7 y^{2} - 12 = 0$ .

Розв’язання

Введемо заміну $t = x^{2}$ для пункту а) та $t = y^{2}$ для пункту б), де $t \geq 0$ . Отримаємо два квадратні рівняння: $3 t^{2} - 2 t - 40 = 0$ і $5 t^{2} + 7 t - 12 = 0$ .
Знайдемо дискримінант для першого рівняння: $D_{1} = (- 2)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 40) = 4 + 480 = 484$ . Корені: $t_{1, 2} = \frac{2 \pm 22}{6}$ , тобто $t_{1} = 4$ і $t_{2} = - \frac{10}{3}$ .
Знайдемо дискримінант для другого рівняння: $D_{2} = 7^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 12) = 49 + 240 = 289$ . Корені: $t_{1, 2} = \frac{- 7 \pm 17}{10}$ , тобто $t_{3} = 1$ і $t_{4} = - 2, 4$ .
Відкидаємо від'ємні значення $t$ , оскільки $t = x^{2}$ або $y^{2}$ не може бути від'ємним. Залишаються $t_{1} = 4$ і $t_{3} = 1$ .
Повертаємось до початкової змінної: для а) маємо $x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ ; для б) маємо $y^{2} = 1 \Rightarrow y = \pm 1$ .

Відповідь:

а) $x_{1} = - 2, x_{2} = 2$ ; б) $y_{1} = - 1, y_{2} = 1$ .

Розбір зрозумілий?

§ 22. Частота та ймовірність ви- падкової події Завдання 1266 с. 259

Розв'язання рівнянь четвертого степеня

Умова

а) $3 x^{4} - 2 x^{2} - 40 = 0$ ; б) $5 y^{4} + 7 y^{2} - 12 = 0$ .

Що треба знати

Це рівняння повне квадратне відносно $x^{2}$ (або $y^{2}$ ). Позначимо $t = x^{2}$ (відповідно $t = y^{2}$ ), де $t \geq 0$ , і розв'яжемо отримане квадратне рівняння відносно $t$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Заміни вираз під парним степенем на нову змінну, знайди корені нового рівняння та повернись до початкової змінної.

Розв’язання крок за кроком

Введемо заміну $t = x^{2}$ для пункту а) та $t = y^{2}$ для пункту б), де $t \geq 0$ . Отримаємо два квадратні рівняння: $3 t^{2} - 2 t - 40 = 0$ і $5 t^{2} + 7 t - 12 = 0$ .
Знайдемо дискримінант для першого рівняння: $D_{1} = (- 2)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 40) = 4 + 480 = 484$ . Корені: $t_{1, 2} = \frac{2 \pm 22}{6}$ , тобто $t_{1} = 4$ і $t_{2} = - \frac{10}{3}$ .
Знайдемо дискримінант для другого рівняння: $D_{2} = 7^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 12) = 49 + 240 = 289$ . Корені: $t_{1, 2} = \frac{- 7 \pm 17}{10}$ , тобто $t_{3} = 1$ і $t_{4} = - 2, 4$ .
Відкидаємо від'ємні значення $t$ , оскільки $t = x^{2}$ або $y^{2}$ не може бути від'ємним. Залишаються $t_{1} = 4$ і $t_{3} = 1$ .
Повертаємось до початкової змінної: для а) маємо $x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ ; для б) маємо $y^{2} = 1 \Rightarrow y = \pm 1$ .

Відповідь:

а) $x_{1} = - 2, x_{2} = 2$ ; б) $y_{1} = - 1, y_{2} = 1$ .

Розбір зрозумілий?