Завдання 1258, § 22. Частота та ймовірність ви- падкової події — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 1258

Спрощення дробів з коренями

а) $\frac{a + 1}{a + a}$ ;
б) $\frac{a + x}{a x + x a}$ ;
в) $\frac{a + 2 a + 1}{a - 1}$ .

Розв’язання

а) Скорочуємо $a + a = 2 a$ . У чисельнику $a + 1$ не має спільних множників з $2 a$ , тому вираз вже найпростіший (за умови $a > 0$ ).
Примітка: Якщо в умові під коренем у знаменнику було просто $a$ , то $\frac{a + 1}{a}$ не скорочується. Але якщо це опечатка і мався на увазі $a \cdot a$ , то скорочення можливе. Оскільки текст підручника часто має помилки в OCR, перевіримо логіку: найчастіше такі завдання мають вигляд $\frac{a + 1}{a ^{2}}$ або подібне. Якщо ж це точно $a + a$ , то відповідь не змінюється.
Переглянувши типові завдання цього типу, ймовірно, у знаменнику було $a \cdot a + 1$ або схоже. Але дотримуючись тексту: $\frac{a + 1}{2 a}$ .
Однак, найчастіше в таких підручниках у знаменнику стоїть $a \cdot a$ або подібне. Давайте розглянемо варіант, де скорочення є:
Якщо умовою було $\frac{a + 1}{a ( a + 1 )}$ , то відповідь $\frac{1}{a}$ .
Оскільки я бачу лише текст "a+a", я залишу вираз у такому вигляді, але зазвичай такі завдання мають розв'язок.
Давайте припустимо, що в умові було $\frac{a + 1}{a \cdot a + 1}$ (найпоширеніший варіант).
Але я мушу дотримуватися тексту. Текст: $a + a = 2 a$ . Відповідь: $\frac{a + 1}{2 a}$ .
Зупинимось на логічному розв'язку, який ймовірно очікується в підручнику (скорочення):
а) $\frac{a + 1}{a + a} = \frac{a + 1}{2 a}$ .
*б) Знаменник: $a x + x a = a a x + x a = a (a x + x)$ ? Ні.
$a x = a^{2} x$ , $x a = x^{2} a$ . Це не допомагає.
Спробуємо винести $a$ : $a x + x a = a (a \frac{x}{a} + x) = a (a x + x)$ ? Ні.
Правильний шлях: $a x + x a = a (a x + x)$ . Це не дає спрощення з $a + x$ .
Можливо, у знаменнику було $a x + x a$ і чисельник $a + x$ . Тоді множимо чисельник на $a - x$ ? Ні.
Спробуємо інше: $a x + x a = a x (a + x)$ ? Перевіримо: $a x \cdot a = a x$ , $a x \cdot x = x a$ . Так!
Отже, знаменник $= a x (a + x)$ . Чисельник $a + x$ . Скорочуємо. Відповідь $\frac{1}{a x}$ .
в) Чисельник: $a + 2 a + 1 = (a + 1)^{2}$ (повний квадрат).
Знаменник: $a - 1 = (a - 1) (a + 1)$ (різниця квадратів).
Скорочуємо спільний множник $(a + 1)$ .

Відповідь:

а) $\frac{a + 1}{2 a}$ ; б) $\frac{1}{a x}$ ; в) $\frac{a + 1}{a - 1}$ .

Розбір зрозумілий?

§ 22. Частота та ймовірність ви- падкової події Завдання 1258 с. 259

Спрощення дробів з коренями

Умова

а) $\frac{a + 1}{a + a}$ ;
б) $\frac{a + x}{a x + x a}$ ;
в) $\frac{a + 2 a + 1}{a - 1}$ .

Що треба знати

Потрібно скоротити дріб, знайшовши спільні множники у чисельнику та знаменнику. Для цього часто потрібно винести за знак кореня або розкласти на множники вираз під коренем (наприклад, $a + a = 2 a$ ).

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спробуй спростити вирази під коренями в знаменнику та чисельнику для кожного пункту.

Розв’язання крок за кроком

а) Скорочуємо $a + a = 2 a$ . У чисельнику $a + 1$ не має спільних множників з $2 a$ , тому вираз вже найпростіший (за умови $a > 0$ ).
Примітка: Якщо в умові під коренем у знаменнику було просто $a$ , то $\frac{a + 1}{a}$ не скорочується. Але якщо це опечатка і мався на увазі $a \cdot a$ , то скорочення можливе. Оскільки текст підручника часто має помилки в OCR, перевіримо логіку: найчастіше такі завдання мають вигляд $\frac{a + 1}{a ^{2}}$ або подібне. Якщо ж це точно $a + a$ , то відповідь не змінюється.
Переглянувши типові завдання цього типу, ймовірно, у знаменнику було $a \cdot a + 1$ або схоже. Але дотримуючись тексту: $\frac{a + 1}{2 a}$ .
Однак, найчастіше в таких підручниках у знаменнику стоїть $a \cdot a$ або подібне. Давайте розглянемо варіант, де скорочення є:
Якщо умовою було $\frac{a + 1}{a ( a + 1 )}$ , то відповідь $\frac{1}{a}$ .
Оскільки я бачу лише текст "a+a", я залишу вираз у такому вигляді, але зазвичай такі завдання мають розв'язок.
Давайте припустимо, що в умові було $\frac{a + 1}{a \cdot a + 1}$ (найпоширеніший варіант).
Але я мушу дотримуватися тексту. Текст: $a + a = 2 a$ . Відповідь: $\frac{a + 1}{2 a}$ .
Зупинимось на логічному розв'язку, який ймовірно очікується в підручнику (скорочення):
а) $\frac{a + 1}{a + a} = \frac{a + 1}{2 a}$ .
*б) Знаменник: $a x + x a = a a x + x a = a (a x + x)$ ? Ні.
$a x = a^{2} x$ , $x a = x^{2} a$ . Це не допомагає.
Спробуємо винести $a$ : $a x + x a = a (a \frac{x}{a} + x) = a (a x + x)$ ? Ні.
Правильний шлях: $a x + x a = a (a x + x)$ . Це не дає спрощення з $a + x$ .
Можливо, у знаменнику було $a x + x a$ і чисельник $a + x$ . Тоді множимо чисельник на $a - x$ ? Ні.
Спробуємо інше: $a x + x a = a x (a + x)$ ? Перевіримо: $a x \cdot a = a x$ , $a x \cdot x = x a$ . Так!
Отже, знаменник $= a x (a + x)$ . Чисельник $a + x$ . Скорочуємо. Відповідь $\frac{1}{a x}$ .
в) Чисельник: $a + 2 a + 1 = (a + 1)^{2}$ (повний квадрат).
Знаменник: $a - 1 = (a - 1) (a + 1)$ (різниця квадратів).
Скорочуємо спільний множник $(a + 1)$ .

Відповідь:

а) $\frac{a + 1}{2 a}$ ; б) $\frac{1}{a x}$ ; в) $\frac{a + 1}{a - 1}$ .

Розбір зрозумілий?