Завдання 4, § 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 4

Сума квадратів натуральних чисел

Знайти суму квадратів $n$ перших натуральних чисел, тобто обчислити вираз $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2}$ .

Розв’язання

Запишемо розклад куба двочлена у вигляді $3 a^{2} = (a + 1)^{3} - a^{3} - 3 a - 1$ і застосуємо його для чисел від 1 до $n$ .
Додамо почленно всі отримані рівності: ліві частини дадуть $3 (1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2})$ , а в правій частині кубічні члени $(k + 1)^{3} - k^{3}$ скоротяться.
Залишиться вираз $(n + 1)^{3} - 3 k = 1 \sum n k - (3 n + n + 1)$ , який спростимо, підставивши формулу суми арифметичної прогресії для $\sum k$ .
Розв'яжемо отримане рівняння відносно шуканої суми квадратів та скоротимо дужки.

Відповідь:

$S = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$ .

Розбір зрозумілий?

§ 18. Задачі на обчислення сум Sums Calculation Problems Завдання 4 с. 188

Сума квадратів натуральних чисел

Умова

Знайти суму квадратів $n$ перших натуральних чисел, тобто обчислити вираз $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2}$ .

Що треба знати

Використовуємо метод математичної індукції через розклад куба двочлена $(a + 1)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 1$ , звідки $3 a^{2} = (a + 1)^{3} - a^{3} - 3 a - 1$ . Сумуючи такі рівності для $a = 1, 2, \dots, n$ і використовуючи відому формулу суми арифметичної прогресії $k = 1 \sum n k = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ , можна вивести загальну формулу.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спрогнозуйте, що сума квадратів буде пропорційна $n^{3}$ , і спробуйте отримати це, додавши почленно рівності виду $3 k^{2} = (k + 1)^{3} - k^{3} - 3 k - 1$ .

Розв’язання крок за кроком

Запишемо розклад куба двочлена у вигляді $3 a^{2} = (a + 1)^{3} - a^{3} - 3 a - 1$ і застосуємо його для чисел від 1 до $n$ .
Додамо почленно всі отримані рівності: ліві частини дадуть $3 (1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2})$ , а в правій частині кубічні члени $(k + 1)^{3} - k^{3}$ скоротяться.
Залишиться вираз $(n + 1)^{3} - 3 k = 1 \sum n k - (3 n + n + 1)$ , який спростимо, підставивши формулу суми арифметичної прогресії для $\sum k$ .
Розв'яжемо отримане рівняння відносно шуканої суми квадратів та скоротимо дужки.

Відповідь:

$S = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$ .

Розбір зрозумілий?