Визначити, чи є скінченною чи нескінченною кожна з наведених послідовностей: а) простих чисел; б) чисел, протилежних натуральним; в) правильних дробів зі знаменником 10; г) неправильних дробів зі знаменником 10.
Розв’язання
а) Прості числа:2,3,5,7,…. Простих чисел нескінченна кількість (доказ дав Евклід), тому послідовність нескінченна.
б) Числа, протилежні натуральним: Натуральні числа 1,2,3,… нескінченні, отже їхні протилежні (−1,−2,−3,…) також утворюють нескінченну послідовність.
в) Правильні дріби зі знаменником 10: Це дроби виду 10k, де k<10. Оскільки натуральних чисел менших за 10 скінченна кількість (1,2,…,9), то таких дробів теж скінченна кількість.
г) Неправильні дроби зі знаменником 10: Це дроби 10k, де k≥10. Оскільки натуральних чисел нескінченно багато, то і таких дробів нескінченна кількість.
Визначити, чи є скінченною чи нескінченною кожна з наведених послідовностей: а) простих чисел; б) чисел, протилежних натуральним; в) правильних дробів зі знаменником 10; г) неправильних дробів зі знаменником 10.
Що треба знати
Послідовність називають скінченною, якщо вона має кінцеву кількість членів (можна перелічити всі). Нeskінченну — якщо члени можна продовжувати без кінця за певним правилом.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Подумай, чи існує останнє просте число, чи можна завжди знайти наступне натуральне число, щоб скласти дріб зі знаменником 10.
Розв’язання крок за кроком
а) Прості числа:2,3,5,7,…. Простих чисел нескінченна кількість (доказ дав Евклід), тому послідовність нескінченна.
б) Числа, протилежні натуральним: Натуральні числа 1,2,3,… нескінченні, отже їхні протилежні (−1,−2,−3,…) також утворюють нескінченну послідовність.
в) Правильні дріби зі знаменником 10: Це дроби виду 10k, де k<10. Оскільки натуральних чисел менших за 10 скінченна кількість (1,2,…,9), то таких дробів теж скінченна кількість.
г) Неправильні дроби зі знаменником 10: Це дроби 10k, де k≥10. Оскільки натуральних чисел нескінченно багато, то і таких дробів нескінченна кількість.
