Завдання 4, § 15. Послідовність Sequence — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 4

Аналіз монотонності послідовності

Дано формулу $a_{n} = 1 - 2 n^{2}$ . Потрібно визначити, чи є ця послідовність зростаючою чи спадною.

Розв’язання

Запишемо вирази для довільного члена $a_{p}$ та наступного за ним $a_{p + 1}$ : $a_{p} = 1 - 2 p^{2}$ , $a_{p + 1} = 1 - 2 (p + 1)^{2}$ .
Знайдемо різницю між ними: $a_{p + 1} - a_{p} = [1 - 2 (p + 1)^{2}] - (1 - 2 p^{2}) = 1 - 2 (p^{2} + 2 p + 1) - 1 + 2 p^{2} = - 4 p - 2$ .
Оскільки $p$ — натуральне число, то вираз $- 4 p - 2$ завжди від'ємний ( $< 0$ ). Отже, $a_{p + 1} < a_{p}$ , що означає спадання послідовності.

Відповідь:

Послідовність є спадною.

Розбір зрозумілий?

§ 15. Послідовність Sequence Завдання 4 с. 158

Аналіз монотонності послідовності

Умова

Дано формулу $a_{n} = 1 - 2 n^{2}$ . Потрібно визначити, чи є ця послідовність зростаючою чи спадною.

Що треба знати

Послідовність називають зростаючою, якщо кожний наступний член більший за попередній ( $a_{n + 1} > a_{n}$ ). Послідовність називають спадною, якщо кожний наступний член менший за попередній ( $a_{n + 1} < a_{n}$ ).

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Щоб визначити монотонність, знайди різницю двох сусідніх членів $a_{p + 1} - a_{p}$ і дослідь її знак.

Розв’язання крок за кроком

Запишемо вирази для довільного члена $a_{p}$ та наступного за ним $a_{p + 1}$ : $a_{p} = 1 - 2 p^{2}$ , $a_{p + 1} = 1 - 2 (p + 1)^{2}$ .
Знайдемо різницю між ними: $a_{p + 1} - a_{p} = [1 - 2 (p + 1)^{2}] - (1 - 2 p^{2}) = 1 - 2 (p^{2} + 2 p + 1) - 1 + 2 p^{2} = - 4 p - 2$ .
Оскільки $p$ — натуральне число, то вираз $- 4 p - 2$ завжди від'ємний ( $< 0$ ). Отже, $a_{p + 1} < a_{p}$ , що означає спадання послідовності.

Відповідь:

Послідовність є спадною.

Розбір зрозумілий?