Для нерівності а) x2−2x−9<0 знайдемо корені рівняння x2−2x−9=0. Дискримінант D=(−2)2−4⋅1⋅(−9)=4+36=40. Корені: x1,2=22±40=1±10. Оскільки знак перед x2 додатний і нерівність має знак «менше», розв'язком є проміжок між коренями: (1−10;1+10).
Для нерівності б) x2−3x+4≤0 знайдемо дискримінант рівняння x2−3x+4=0. Дискримінант D=(−3)2−4⋅1⋅4=9−16=−7<0. Оскільки D<0, а коефіцієнт при x2 додатний, парабола повністю лежить над віссю Ox, тобто вираз завжди додатний. Нерівність ≤0 не має розв'язків.
Відповідь:
а) x∈(1−10;1+10); б) розв'язків немає.
Розбір зрозумілий?
§ 14. Розв’язування задач складанням системЗавдання 7 (с. 154)с. 154
Розв'язування нерівності другого степеня
Умова
а) x2−2x−9<0; б) x2−3x+4≤0.
Що треба знати
Для розв'язання нерівностей виду (x−x1)(x−x2)>0 або ≥0 знаходимо корені відповідного рівняння. Якщо коефіцієнт при x2 додатний, то нерівність з знаком «більше» виконується за межі коренів, а з знаком «менше» — між коренями.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Спочатку розв'яжи рівняння для кожної нерівності, знайди корені, а потім визнач проміжки на числовій прямій.
Розв’язання крок за кроком
Для нерівності а) x2−2x−9<0 знайдемо корені рівняння x2−2x−9=0. Дискримінант D=(−2)2−4⋅1⋅(−9)=4+36=40. Корені: x1,2=22±40=1±10. Оскільки знак перед x2 додатний і нерівність має знак «менше», розв'язком є проміжок між коренями: (1−10;1+10).
Для нерівності б) x2−3x+4≤0 знайдемо дискримінант рівняння x2−3x+4=0. Дискримінант D=(−3)2−4⋅1⋅4=9−16=−7<0. Оскільки D<0, а коефіцієнт при x2 додатний, парабола повністю лежить над віссю Ox, тобто вираз завжди додатний. Нерівність ≤0 не має розв'язків.
