Завдання 2 (с. 145), § 14. Розв’язування задач складанням систем

Розв’язання крок за кроком

1. Позначимо сторону трикутника як $x$, а сторону шестикутника як $y$. За умовою рівності периметрів маємо: $3x=6y\Rightarrow x=2y$.

2. Запишемо рівняння для суми площ: $\frac{x^2\sqrt{3}}{4}+\frac{3y^2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$. Спростимо, поділивши на $\sqrt{3}$: $\frac{x^2}{4}+\frac{3y^2}{2}=1$, або помноживши на 4: $x^2+6y^2=4$.

3. Підставимо $x=2y$ у рівняння $x^2+6y^2=4$: $(2y{)}^2+6y^2=4\Rightarrow 4y^2+6y^2=4\Rightarrow 10y^2=4$.

4. Знайдемо $y$: $y^2=0,4$? Ні, у тексті підручника в умові площа $\sqrt{3}$ м², але в розв'язанні на сторінці написано "сума їх площ дорівнює $\sqrt{3}{\text{м}}^2$" і далі "Маємо: ... = $10\sqrt{3}$". Давайте перевіримо умову знову. У тексті підручника написано: "сума їх площ дорівнює $\sqrt{3}{\text{м}}^2$". Але в розв'язанні на сторінці 145 (другий блок тексту) написано: "Маємо: ... = $10\sqrt{3}$". Це означає, що в умові підручника ймовірно площа $\sqrt{3}$ м², але при перетворенні рівняння $x^2+6y^2=40$ (якщо сума площ дорівнює $10\sqrt{3}$). Перевіримо текст підручника: "сума їх площ дорівнює $\sqrt{3}{\text{м}}^2$". Але в розв'язанні написано: "$\frac{x^2\sqrt{3}}{4}+\frac{y^2\cdot 6\sqrt{3}}{4}=10\sqrt{3}$". Тут є суперечність між умовою і розв'язанням у тексті. Однак, якщо дивитися на фінальну відповідь $x=4,y=2$, то площа трикутника $\frac{16\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}$, площа шестикутника $6\cdot \frac{4\sqrt{3}}{4}=6\sqrt{3}$. Сума $4\sqrt{3}+6\sqrt{3}=10\sqrt{3}$. Отже, в умові підручника на зображенні написано $\sqrt{3}$, але це помилка друку або я бачу некоректно. У тексті розв'язання чітко видно: "$=10\sqrt{3}$". Тому будемо розв'язувати за умовою з розв'язанням підручника (сума площ $10\sqrt{3}$), оскільки це дає цілі числа.
   Перевірка умови в тексті: "сума їх площ дорівнює $\sqrt{3}{\text{м}}^2$". Але далі в розв'язанні: "$\frac{x^2\sqrt{3}}{4}+\frac{y^2\cdot 6\sqrt{3}}{4}=10\sqrt{3}$". Це означає, що в умові має бути $10\sqrt{3}$, а не $\sqrt{3}$. Я розв'язую за логікою підручника (відповідь 4 і 2).
   Отже, рівняння: $\frac{x^2}{4}+\frac{6y^2}{4}=10\Rightarrow x^2+6y^2=40$.

5. Підставимо $x=2y$ у $x^2+6y^2=40$: $(2y{)}^2+6y^2=40\Rightarrow 4y^2+6y^2=40\Rightarrow 10y^2=40\Rightarrow y^2=4\Rightarrow y=2$.

6. Знайдемо $x$: $x=2\cdot 2=4$.