Завдання 1, § 14. Розв’язування задач складанням систем — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 1

Задача про теплоходи з параметром

З порту одночасно вийшли два теплоходи: один на південь, другий — на захід. Через 2 год відстань між ними дорівнювала 60 км. Знайти швидкості теплоходів, якщо швидкість першого на $a$ км/год більша за швидкість другого.

Розв’язання

Складаємо систему рівнянь: ${x^{2} + y^{2} = 900 x - y = a$ . З другого рівняння виражаємо $x$ : $x = y + a$ .
Підставляємо $x$ у перше рівняння: $(y + a)^{2} + y^{2} = 900$ , що розкривається до $2 y^{2} + 2 a y + a^{2} - 900 = 0$ .
Знаходимо дискримінант квадратного рівняння відносно $y$ : $D = (a)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (a^{2} /2 - 900) = 7200 - 4 a^{2}$ . Корені: $y_{1, 2} = \frac{- a \pm 7200 - 4 a ^{2}}{4} = \frac{- a \pm 1800 - a ^{2}}{2}$ .
Оскільки швидкість $y$ має бути додатною, беремо знак «мінус» під коренем (якщо вираз під коренем більший за $∣ a ∣$ ). Отримуємо $y = \frac{1800 - a ^{2} - a}{2}$ .
Знаходимо $x$ : $x = y + a = \frac{1800 - a ^{2} - a}{2} + a = \frac{1800 - a ^{2} + a}{2}$ .
Досліджуємо існування розв'язків: підкореневий вираз має бути невід'ємним ( $a^{2} \leq 1800$ ) та $y > 0$ , що дає умову $0 < a < 30$ .

Відповідь:

Якщо $0 < a < 30$ , то швидкості теплоходів дорівнюють $\frac{1800 - a ^{2} + a}{2}$ км/год і $\frac{1800 - a ^{2} - a}{2}$ км/год. Якщо $a \leq 0$ або $a \geq 30$ , то задача розв'язків не має.

Розбір зрозумілий?

§ 14. Розв’язування задач складанням систем Завдання 1 с. 144

Задача про теплоходи з параметром

Умова

Що треба знати

Позначимо швидкості теплоходів через $x$ і $y$ . Відстань, яку вони проїдуть за 2 години, становитиме $2 x$ і $2 y$ . Оскільки напрямки руху перпендикулярні, відстань між ними (гіпотенуза) обчислюється за теоремою Піфагора: $(2 x)^{2} + (2 y)^{2} = 6 0^{2}$ , що спрощується до $x^{2} + y^{2} = 900$ . Друге рівняння задачі: $x - y = a$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Складіть систему рівнянь з двох невідомих $x$ і $y$ , використовуючи теорему Піфагора та умову про різницю швидкостей. Розв'яжіть квадратне рівняння відносно одного з невідомих, наприклад, $y$ .

Розв’язання крок за кроком

Складаємо систему рівнянь: ${x^{2} + y^{2} = 900 x - y = a$ . З другого рівняння виражаємо $x$ : $x = y + a$ .
Підставляємо $x$ у перше рівняння: $(y + a)^{2} + y^{2} = 900$ , що розкривається до $2 y^{2} + 2 a y + a^{2} - 900 = 0$ .
Знаходимо дискримінант квадратного рівняння відносно $y$ : $D = (a)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (a^{2} /2 - 900) = 7200 - 4 a^{2}$ . Корені: $y_{1, 2} = \frac{- a \pm 7200 - 4 a ^{2}}{4} = \frac{- a \pm 1800 - a ^{2}}{2}$ .
Оскільки швидкість $y$ має бути додатною, беремо знак «мінус» під коренем (якщо вираз під коренем більший за $∣ a ∣$ ). Отримуємо $y = \frac{1800 - a ^{2} - a}{2}$ .
Знаходимо $x$ : $x = y + a = \frac{1800 - a ^{2} - a}{2} + a = \frac{1800 - a ^{2} + a}{2}$ .
Досліджуємо існування розв'язків: підкореневий вираз має бути невід'ємним ( $a^{2} \leq 1800$ ) та $y > 0$ , що дає умову $0 < a < 30$ .

Відповідь:

Розбір зрозумілий?