Для кожного значення параметра a вкажи кількість коренів рівняння: а) x2+4xx2−(2a+3)x+6a=0; б) 12+4x−x2x2−(a+3)x+4(a−1)=0.
Розв’язання
Варіант а): Чисельник: x2−(2a+3)x+6a=(x−3)(x−2a). Корені чисельника: x1=3, x2=2a. Область визначення знаменника: x2+4x>0⇒x(x+4)>0⇒x<−4 або x>0. Перевірка коренів: - x1=3: завжди >0, тобто завжди підходить. (1 корінь). - x2=2a: підходить, якщо 2a>0⇒a>0. Якщо a>0, то ще один корінь. Якщо a≤0, то 2a≤0 (не підходить або дорівнює 0). Отже: при a>0 — 2 корені; при a≤0 — 1 корінь (x=3).
Варіант б): Чисельник: x2−(a+3)x+4(a−1). Дискримінант D=(a+3)2−16(a−1)=a2+6a+9−16a+16=a2−10a+25=(a−5)2. Корені: x1,2=2a+3±(a−5). x1=22a−2=a−1. x2=22a+8=a+4. Область визначення знаменника: 12+4x−x2>0⇒x2−4x−12<0⇒(x−6)(x+2)<0⇒−2<x<6. Перевірка коренів на умову −2<x<6: - x1=a−1: підходить, якщо −2<a−1<6⇒−1<a<7. - x2=a+4: підходить, якщо −2<a+4<6⇒−6<a<2. Аналіз проміжків для a: - Якщо a∈(−1;2): обидва корені підходять (2 корені). - Якщо a=2: x1=1 (так), x2=6 (ні, бо x<6). 1 корінь. - Якщо a∈(−6;−1]: x1≤−2 (ні), x2<5 (так). 1 корінь. - Якщо a=−6: x1=−7 (ні), x2=−2 (ні). 0 коренів. - Якщо a∈(−∞;−6): обидва корені менші за -2. 0 коренів. - Якщо a≥7: x1≥6 (ні), x2>11 (ні). 0 коренів.
Відповідь:
а) При a>0 — 2 корені; при a≤0 — 1 корінь. б) При −1<a<2 — 2 корені; при a=−6,a=2,a=7 — 1 або 0 коренів (точніше: при a=2 один, при a=−6 один? Ні, при a=−6, x1=−7, x2=−2. Обидва не підходять. При a=7, x1=6, x2=11. Не підходять). Правильний розподіл: - 2 корені: −1<a<2. - 1 корінь: a∈(−∞;−6)∪(2;7)? Перевіримо межі. При a=−6: x1=−7,x2=−2. Область (−2;6). Жоден не підходить. При a=7: x1=6,x2=11. Область (−2;6). Жоден не підходить. При a=2: x1=1,x2=6. 1 підходить, 6 ні. (1 корінь). При a=−1: x1=−2,x2=3. −2 ні, 3 так. (1 корінь). Отже: - 2 корені: (−1;2). - 1 корінь: [−6;−1]∪[2;7]? Ні, при a=−5: x1=−6 (ні), x2=−1 (так). При a=5: x1=4 (так), x2=9 (ні). Тобто: - 2 корені: −1<a<2. - 1 корінь: a∈(−∞;−6)∪(−6;−1]∪[2;7)∪(7;∞)? Ні, при a=−6 і a=7 коренів немає. Правильно: - 2 корені: −1<a<2. - 1 корінь: a∈(−∞;−6)∪(−6;−1]∪[2;7)∪(7;∞) — це не так. Давайте простіше: x1 підходить при −1<a<7. x2 підходить при −6<a<2. Перетин: (−1;2) — 2 корені. Тільки x1: (−1;7)∖(−6;2)=[2;7). (При a=2 один, при a=7 нуль). Тільки x2: (−6;−1]. (При a=−1 один, при a=−6 нуль). Жоден: a≤−6 або a≥7.
Для кожного значення параметра a вкажи кількість коренів рівняння: а) x2+4xx2−(2a+3)x+6a=0; б) 12+4x−x2x2−(a+3)x+4(a−1)=0.
Що треба знати
Кількість коренів залежить від того, скільки коренів має чисельник і чи потрапляють вони в область визначення знаменника. Область визначення — це інтервали, де підкореневі вирази додатні.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Спочатку розклади чисельники на множники, щоб знайти корені через a. Потім знайди область визначення для кожного випадку і перевір, скільки з отриманих коренів лежать у цих інтервалах.
Розв’язання крок за кроком
Варіант а): Чисельник: x2−(2a+3)x+6a=(x−3)(x−2a). Корені чисельника: x1=3, x2=2a. Область визначення знаменника: x2+4x>0⇒x(x+4)>0⇒x<−4 або x>0. Перевірка коренів: - x1=3: завжди >0, тобто завжди підходить. (1 корінь). - x2=2a: підходить, якщо 2a>0⇒a>0. Якщо a>0, то ще один корінь. Якщо a≤0, то 2a≤0 (не підходить або дорівнює 0). Отже: при a>0 — 2 корені; при a≤0 — 1 корінь (x=3).
Варіант б): Чисельник: x2−(a+3)x+4(a−1). Дискримінант D=(a+3)2−16(a−1)=a2+6a+9−16a+16=a2−10a+25=(a−5)2. Корені: x1,2=2a+3±(a−5). x1=22a−2=a−1. x2=22a+8=a+4. Область визначення знаменника: 12+4x−x2>0⇒x2−4x−12<0⇒(x−6)(x+2)<0⇒−2<x<6. Перевірка коренів на умову −2<x<6: - x1=a−1: підходить, якщо −2<a−1<6⇒−1<a<7. - x2=a+4: підходить, якщо −2<a+4<6⇒−6<a<2. Аналіз проміжків для a: - Якщо a∈(−1;2): обидва корені підходять (2 корені). - Якщо a=2: x1=1 (так), x2=6 (ні, бо x<6). 1 корінь. - Якщо a∈(−6;−1]: x1≤−2 (ні), x2<5 (так). 1 корінь. - Якщо a=−6: x1=−7 (ні), x2=−2 (ні). 0 коренів. - Якщо a∈(−∞;−6): обидва корені менші за -2. 0 коренів. - Якщо a≥7: x1≥6 (ні), x2>11 (ні). 0 коренів.
Відповідь:
а) При a>0 — 2 корені; при a≤0 — 1 корінь. б) При −1<a<2 — 2 корені; при a=−6,a=2,a=7 — 1 або 0 коренів (точніше: при a=2 один, при a=−6 один? Ні, при a=−6, x1=−7, x2=−2. Обидва не підходять. При a=7, x1=6, x2=11. Не підходять). Правильний розподіл: - 2 корені: −1<a<2. - 1 корінь: a∈(−∞;−6)∪(2;7)? Перевіримо межі. При a=−6: x1=−7,x2=−2. Область (−2;6). Жоден не підходить. При a=7: x1=6,x2=11. Область (−2;6). Жоден не підходить. При a=2: x1=1,x2=6. 1 підходить, 6 ні. (1 корінь). При a=−1: x1=−2,x2=3. −2 ні, 3 так. (1 корінь). Отже: - 2 корені: (−1;2). - 1 корінь: [−6;−1]∪[2;7]? Ні, при a=−5: x1=−6 (ні), x2=−1 (так). При a=5: x1=4 (так), x2=9 (ні). Тобто: - 2 корені: −1<a<2. - 1 корінь: a∈(−∞;−6)∪(−6;−1]∪[2;7)∪(7;∞)? Ні, при a=−6 і a=7 коренів немає. Правильно: - 2 корені: −1<a<2. - 1 корінь: a∈(−∞;−6)∪(−6;−1]∪[2;7)∪(7;∞) — це не так. Давайте простіше: x1 підходить при −1<a<7. x2 підходить при −6<a<2. Перетин: (−1;2) — 2 корені. Тільки x1: (−1;7)∖(−6;2)=[2;7). (При a=2 один, при a=7 нуль). Тільки x2: (−6;−1]. (При a=−1 один, при a=−6 нуль). Жоден: a≤−6 або a≥7.
