Завдання 650, § 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 650

Розв'язання рівнянь з параметром

Для кожного значення параметра $a$ розв'яжи рівняння: а) $\frac{x ^{2} - ( a - 1 ) x + 2 a - 6}{9 - x ^{2}} = 0$ ; б) $\frac{x ^{2} - ( a - 2 ) x + 2 a - 8}{x ^{2} - 2 x - 3} = 0$ .

Розв’язання

Варіант а): Область визначення: $9 - x^{2} > 0 \Rightarrow x^{2} < 9 \Rightarrow - 3 < x < 3$ . Чисельник: $x^{2} - (a - 1) x + 2 a - 6 = 0$ . Дискримінант $D = (a - 1)^{2} - 4 (2 a - 6) = a^{2} - 2 a + 1 - 8 a + 24 = a^{2} - 10 a + 25 = (a - 5)^{2}$ . Корені: $x_{1, 2} = \frac{a - 1 \pm ( a - 5 )}{2}$ . Отже, $x_{1} = a - 3$ , $x_{2} = 2$ . Перевіримо умову $- 3 < x < 3$ : якщо $a = 5$ , то $x_{1} = 2$ (підходить), $x_{2} = 2$ (підходить). Якщо $a \neq = 5$ , корені різні.
- Якщо $a > 6$ , то $x_{1} = a - 3 > 3$ (не підходить), $x_{2} = 2$ (підходить). Відповідь: ${2}$ .
- Якщо $a = 5$ , корені збігаються ( $x = 2$ ). Відповідь: ${2}$ .
- Якщо $4 < a < 6$ , то $- 3 < a - 3 < 3$ і $x_{2} = 2$ . Відповідь: ${a - 3, 2}$ .
- Якщо $a = 4$ , то $x_{1} = 1, x_{2} = 2$ . Відповідь: ${1, 2}$ .
- Якщо $a < 4$ , то $a - 3 < 1$ . Але треба перевірити межі. Наприклад, при $a = 0$ , $x_{1} = - 3$ (не підходить), $x_{2} = 2$ . При $a = - 2$ , $x_{1} = - 5$ (не підходить).
Уточнення: Корені рівняння $x^{2} - (a - 1) x + 2 a - 6 = 0$ : $(x - 2) (x - (a - 3)) = 0$ . Корені: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = a - 3$ .
Умова $- 3 < x < 3$ .
- $x_{1} = 2$ завжди підходить.
- $x_{2} = a - 3$ : підходить, якщо $- 3 < a - 3 < 3 \Rightarrow 0 < a < 6$ .
Отже: при $a \in (0; 6]$ відповідь ${2, a - 3}$ (якщо $a = 6$ , то ${2, 3}$ — ні, $x < 3$ , отже $a - 3 \neq = 3$ , тобто $a \neq = 6$ ). При $a = 6$ , $x_{2} = 3$ (не підходить).
Правильно: при $a \in (0; 6)$ відповідь ${2, a - 3}$ . При $a \leq 0$ або $a \geq 6$ відповідь ${2}$ .
Варіант б): Область визначення: $x^{2} - 2 x - 3 > 0 \Rightarrow (x - 3) (x + 1) > 0 \Rightarrow x < - 1$ або $x > 3$ . Чисельник: $x^{2} - (a - 2) x + 2 a - 8 = 0$ . Розкладемо на множники: $(x - 2) (x - (a - 4)) = 0$ . Корені: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = a - 4$ .
Перевіримо умову області визначення для цих коренів.
- $x_{1} = 2$ : не підходить (бо $2$ знаходиться між $- 1$ і $3$ ).
- $x_{2} = a - 4$ : має задовольняти $a - 4 < - 1$ або $a - 4 > 3$ .
$a - 4 < - 1 \Rightarrow a < 3$ .
$a - 4 > 3 \Rightarrow a > 7$ .
Отже, при $a < 3$ або $a > 7$ відповідь ${a - 4}$ . При $3 \leq a \leq 7$ рівняння не має розв'язків.

Відповідь:

а) Якщо $0 < a < 6$ , то $x \in {2, a - 3}$ ; якщо $a \leq 0$ або $a \geq 6$ , то $x = 2$ . б) Якщо $a < 3$ або $a > 7$ , то $x = a - 4$ ; якщо $3 \leq a \leq 7$ , то розв'язків немає.

Розбір зрозумілий?

§ 12. Квадратні нерівності Quadratic Inequalities Завдання 650 с. 129

Розв'язання рівнянь з параметром

Умова

Що треба знати

Рівняння виду $\frac{P ( x )}{Q ( x )} = 0$ має розв'язки, які є коренями чисельника $P (x) = 0$ , але задовольняють умову існування знаменника $Q (x) > 0$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спочатку знайди область визначення для кожного випадку (де підкореневі вирази додатні), а потім розв'яжи квадратне рівняння в чисельнику. Порівняй отримані корені з областю визначення.

Розв’язання крок за кроком

Варіант а): Область визначення: $9 - x^{2} > 0 \Rightarrow x^{2} < 9 \Rightarrow - 3 < x < 3$ . Чисельник: $x^{2} - (a - 1) x + 2 a - 6 = 0$ . Дискримінант $D = (a - 1)^{2} - 4 (2 a - 6) = a^{2} - 2 a + 1 - 8 a + 24 = a^{2} - 10 a + 25 = (a - 5)^{2}$ . Корені: $x_{1, 2} = \frac{a - 1 \pm ( a - 5 )}{2}$ . Отже, $x_{1} = a - 3$ , $x_{2} = 2$ . Перевіримо умову $- 3 < x < 3$ : якщо $a = 5$ , то $x_{1} = 2$ (підходить), $x_{2} = 2$ (підходить). Якщо $a \neq = 5$ , корені різні.
- Якщо $a > 6$ , то $x_{1} = a - 3 > 3$ (не підходить), $x_{2} = 2$ (підходить). Відповідь: ${2}$ .
- Якщо $a = 5$ , корені збігаються ( $x = 2$ ). Відповідь: ${2}$ .
- Якщо $4 < a < 6$ , то $- 3 < a - 3 < 3$ і $x_{2} = 2$ . Відповідь: ${a - 3, 2}$ .
- Якщо $a = 4$ , то $x_{1} = 1, x_{2} = 2$ . Відповідь: ${1, 2}$ .
- Якщо $a < 4$ , то $a - 3 < 1$ . Але треба перевірити межі. Наприклад, при $a = 0$ , $x_{1} = - 3$ (не підходить), $x_{2} = 2$ . При $a = - 2$ , $x_{1} = - 5$ (не підходить).
Уточнення: Корені рівняння $x^{2} - (a - 1) x + 2 a - 6 = 0$ : $(x - 2) (x - (a - 3)) = 0$ . Корені: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = a - 3$ .
Умова $- 3 < x < 3$ .
- $x_{1} = 2$ завжди підходить.
- $x_{2} = a - 3$ : підходить, якщо $- 3 < a - 3 < 3 \Rightarrow 0 < a < 6$ .
Отже: при $a \in (0; 6]$ відповідь ${2, a - 3}$ (якщо $a = 6$ , то ${2, 3}$ — ні, $x < 3$ , отже $a - 3 \neq = 3$ , тобто $a \neq = 6$ ). При $a = 6$ , $x_{2} = 3$ (не підходить).
Правильно: при $a \in (0; 6)$ відповідь ${2, a - 3}$ . При $a \leq 0$ або $a \geq 6$ відповідь ${2}$ .
Варіант б): Область визначення: $x^{2} - 2 x - 3 > 0 \Rightarrow (x - 3) (x + 1) > 0 \Rightarrow x < - 1$ або $x > 3$ . Чисельник: $x^{2} - (a - 2) x + 2 a - 8 = 0$ . Розкладемо на множники: $(x - 2) (x - (a - 4)) = 0$ . Корені: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = a - 4$ .
Перевіримо умову області визначення для цих коренів.
- $x_{1} = 2$ : не підходить (бо $2$ знаходиться між $- 1$ і $3$ ).
- $x_{2} = a - 4$ : має задовольняти $a - 4 < - 1$ або $a - 4 > 3$ .
$a - 4 < - 1 \Rightarrow a < 3$ .
$a - 4 > 3 \Rightarrow a > 7$ .
Отже, при $a < 3$ або $a > 7$ відповідь ${a - 4}$ . При $3 \leq a \leq 7$ рівняння не має розв'язків.

Відповідь:

Розбір зрозумілий?