а) Розглянемо випадки для ∣x+2∣. Якщо x+2≥0, то (x+1)(x+2)=5⇒x2+3x+2−5=0⇒x2+3x−3=0. Дискримінант D=9−4⋅(−3)=21>0, корені існують. Якщо x+2<0, то (x+1)(−(x+2))=5⇒−x2−3x−2−5=0⇒x2+3x+7=0. Дискримінант D=9−28<0, коренів немає. Отже, всього 2 корені.
б) Рівняння (x+1)⋅∣x+2∣=−5. Оскільки модуль ∣x+2∣≥0, то добуток буде від'ємним лише якщо x+1<0. Розв'яжемо для випадку x+2≥0: (x+1)(x+2)=−5⇒x2+3x+7=0. Дискримінант D=9−28<0, коренів немає. Для випадку x+2<0: (x+1)(−(x+2))=−5⇒−x2−3x−2=−5⇒x2+3x−3=0. Дискримінант D=21>0, корені існують. Але потрібно перевірити умову x+2<0 для знайдених коренів цього рівняння. Корені x=2−3±21. 21≈4,58. Перший корінь ≈−3,79, другий ≈0,79. Умова x<−2 виконується лише для першого кореня. Отже, 1 корінь.
в) Рівняння (x+1)⋅∣x+2∣=−4. Аналогічно до пункту б). Розв'язуємо (x+1)(−(x+2))=−4⇒−x2−3x−2=−4⇒x2+3x−2=0. D=9+8=17>0, корені існують. Перевірка умови x<−2: корені 2−3±17. 17≈4,12. Корені: ≈−3,56 та ≈0,56. Тільки менший корінь задовольняє умову x<−2. Отже, 1 корінь.
г) Рівняння (x+1)⋅∣x+2∣=−1. Аналогічно до пунктів б) і в). Розв'язуємо −x2−3x−2=−1⇒x2+3x+1=0. D=9−4=5>0, корені існують. Корені 2−3±5. 5≈2,23. Корені: ≈−2,61 та ≈−0,38. Умова x<−2 виконується лише для першого кореня. Отже, 1 корінь.
Модуль числа завжди невід'ємний (≥0). Добуток двох чисел може бути від'ємним лише тоді, коли хоча б один із множників є від'ємним. Якщо добуток (x+1)⋅∣x+2∣ має бути дорівнювати від'ємному числу, то множник (x+1) повинен бути від'ємним (оскільки ∣x+2∣≥0).
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Розглянь рівняння а). Перевір, чи існують значення x, при яких добуток дорівнює 5. Для пунктів б), в), г) згадай властивість модуля і спробуй знайти корінь, якщо він існує.
Розв’язання крок за кроком
а) Розглянемо випадки для ∣x+2∣. Якщо x+2≥0, то (x+1)(x+2)=5⇒x2+3x+2−5=0⇒x2+3x−3=0. Дискримінант D=9−4⋅(−3)=21>0, корені існують. Якщо x+2<0, то (x+1)(−(x+2))=5⇒−x2−3x−2−5=0⇒x2+3x+7=0. Дискримінант D=9−28<0, коренів немає. Отже, всього 2 корені.
б) Рівняння (x+1)⋅∣x+2∣=−5. Оскільки модуль ∣x+2∣≥0, то добуток буде від'ємним лише якщо x+1<0. Розв'яжемо для випадку x+2≥0: (x+1)(x+2)=−5⇒x2+3x+7=0. Дискримінант D=9−28<0, коренів немає. Для випадку x+2<0: (x+1)(−(x+2))=−5⇒−x2−3x−2=−5⇒x2+3x−3=0. Дискримінант D=21>0, корені існують. Але потрібно перевірити умову x+2<0 для знайдених коренів цього рівняння. Корені x=2−3±21. 21≈4,58. Перший корінь ≈−3,79, другий ≈0,79. Умова x<−2 виконується лише для першого кореня. Отже, 1 корінь.
в) Рівняння (x+1)⋅∣x+2∣=−4. Аналогічно до пункту б). Розв'язуємо (x+1)(−(x+2))=−4⇒−x2−3x−2=−4⇒x2+3x−2=0. D=9+8=17>0, корені існують. Перевірка умови x<−2: корені 2−3±17. 17≈4,12. Корені: ≈−3,56 та ≈0,56. Тільки менший корінь задовольняє умову x<−2. Отже, 1 корінь.
г) Рівняння (x+1)⋅∣x+2∣=−1. Аналогічно до пунктів б) і в). Розв'язуємо −x2−3x−2=−1⇒x2+3x+1=0. D=9−4=5>0, корені існують. Корені 2−3±5. 5≈2,23. Корені: ≈−2,61 та ≈−0,38. Умова x<−2 виконується лише для першого кореня. Отже, 1 корінь.
