Завдання 436, § 9. Властивості функцій Functions Properties — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 436

Дослідження функції концентрації ліків

Функція $C (t) = \frac{10}{t + 1}$ , де $t \geq 0$ — час у годинах, $C (t)$ — концентрація. Потрібно побудувати графік, знайти область визначення і значень, перевірити наявність нулів, визначити монотонність на $[0; + \infty)$ , знайти значення при $t = 1, 3, 7$ та час дії ліків ( $C (t) > 2$ ).

Розв’язання

Область визначення: знаменник $t + 1 \neq = 0$ , тобто $t \neq = - 1$ . Оскільки в умові $t \geq 0$ , то область визначення — проміжок $[0; + \infty)$ .
Область значень: функція не може дорівнювати нулю, оскільки чисельник $10$ відмінний від нуля. Значення змінюється від $\frac{10}{0 + 1} = 10$ до граничного значення $0$ . Отже, область значень — проміжок $(0; 10]$ .
Нулі функції: рівняння $\frac{10}{t + 1} = 0$ не має розв'язків (чисельник не дорівнює нулю). У контексті це означає, що концентрація ліків ніколи не стане рівною нулю за цієї моделі.
Монотонність: при збільшенні $t$ знаменник зростає, тому дріб $\frac{10}{t + 1}$ зменшується. Функція спадає на проміжку $[0; + \infty)$ .
Знайдемо значення: при $t = 1$ , $C (1) = \frac{10}{2} = 5$ ; при $t = 3$ , $C (3) = \frac{10}{4} = 2, 5$ ; при $t = 7$ , $C (7) = \frac{10}{8} = 1, 25$ .
Час дії ліків: розв'яжемо нерівність $\frac{10}{t + 1} > 2$ . Помножимо на $(t + 1)$ (воно додатне): $10 > 2 (t + 1) \Rightarrow 10 > 2 t + 2 \Rightarrow 8 > 2 t \Rightarrow t < 4$ . Враховуючи $t \geq 0$ , час дії — проміжок $[0; 4)$ години.

Відповідь:

Область визначення: $[0; + \infty)$ . Область значень: $(0; 10]$ . Нулів немає. Функція спадає. Значення: $5, 2, 5, 1, 25$ відповідно. Ліки діють протягом $4$ годин.

Розбір зрозумілий?

§ 9. Властивості функцій Functions Properties Завдання 436 с. 89

Дослідження функції концентрації ліків

Умова

Що треба знати

Область визначення раціональної функції — множина всіх $x$ , для яких знаменник не дорівнює нулю. Нулі функції — значення аргументу, при яких функція дорівнює нулю. Функція спадає, якщо зі збільшенням аргументу зменшується функція.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Визнач область визначення виключаючи точку, де знаменник нульовий (хоча в умові $t \geq 0$ ). Знайди значення функції для заданих $t$ . Розв'яжи нерівність $\frac{10}{t + 1} > 2$ .

Розв’язання крок за кроком

Область визначення: знаменник $t + 1 \neq = 0$ , тобто $t \neq = - 1$ . Оскільки в умові $t \geq 0$ , то область визначення — проміжок $[0; + \infty)$ .
Область значень: функція не може дорівнювати нулю, оскільки чисельник $10$ відмінний від нуля. Значення змінюється від $\frac{10}{0 + 1} = 10$ до граничного значення $0$ . Отже, область значень — проміжок $(0; 10]$ .
Нулі функції: рівняння $\frac{10}{t + 1} = 0$ не має розв'язків (чисельник не дорівнює нулю). У контексті це означає, що концентрація ліків ніколи не стане рівною нулю за цієї моделі.
Монотонність: при збільшенні $t$ знаменник зростає, тому дріб $\frac{10}{t + 1}$ зменшується. Функція спадає на проміжку $[0; + \infty)$ .
Знайдемо значення: при $t = 1$ , $C (1) = \frac{10}{2} = 5$ ; при $t = 3$ , $C (3) = \frac{10}{4} = 2, 5$ ; при $t = 7$ , $C (7) = \frac{10}{8} = 1, 25$ .
Час дії ліків: розв'яжемо нерівність $\frac{10}{t + 1} > 2$ . Помножимо на $(t + 1)$ (воно додатне): $10 > 2 (t + 1) \Rightarrow 10 > 2 t + 2 \Rightarrow 8 > 2 t \Rightarrow t < 4$ . Враховуючи $t \geq 0$ , час дії — проміжок $[0; 4)$ години.

Відповідь:

Розбір зрозумілий?