Завдання 407, § 9. Властивості функцій Functions Properties — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 407

Область визначення та значень функцій

Знайти область визначення ( $D$ ) і область значень ( $E$ ) для функцій: а) $y = 2 x^{2}$ ; б) $y = \frac{2}{x}$ ; в) $y = x^{3}$ ; г) $y = \frac{2 x}{x}$ ; ґ) $y = x - 2$ ; д) $y = \frac{2 x}{3} + 5$ ; е) $y = x$ ; є) $y = \frac{2}{x ^{2}}$ .

Розв’язання

а) $y = 2 x^{2}$ : $x$ може бути будь-яким числом ( $D = R$ ). Квадрат числа завжди невід'ємний, отже $y \geq 0$ ( $E = [0; + \infty)$ ).
б) $y = \frac{2}{x}$ : $x \neq = 0$ ( $D = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ ). Функція приймає будь-які значення крім нуля ( $E = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ ).
в) $y = x^{3}$ : $x$ будь-яке ( $D = R$ ). Куб числа може бути будь-яким числом ( $E = R$ ).
г) $y = \frac{2 x}{x}$ : Скорочуємо дріб, але $x \neq = 0$ ( $D = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ ). Функція рівна $2$ , крім точки $x = 0$ ( $E = {2}$ ).
ґ) $y = x - 2$ : Лінійна функція, $x$ будь-яке ( $D = R$ ), графік пряма, що йде вгору і вниз ( $E = R$ ).
д) $y = \frac{2 x}{3} + 5$ : Лінійна функція, $x$ будь-яке ( $D = R$ ), графік пряма ( $E = R$ ).
е) $y = x$ : Підкореневий вираз $\geq 0$ , отже $x \geq 0$ ( $D = [0; + \infty)$ ). Корінь квадратний невід'ємний ( $E = [0; + \infty)$ ).
є) $y = \frac{2}{x ^{2}}$ : $x \neq = 0$ ( $D = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ ). Квадрат числа додатний, отже дріб додатний ( $E = (0; + \infty)$ ).

Відповідь:

а) $D = R, E = [0; + \infty)$ ; б) $D = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty), E = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ ; в) $D = R, E = R$ ; г) $D = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty), E = {2}$ ; ґ) $D = R, E = R$ ; д) $D = R, E = R$ ; е) $D = [0; + \infty), E = [0; + \infty)$ ; є) $D = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty), E = (0; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?

§ 9. Властивості функцій Functions Properties Завдання 407 с. 86

Область визначення та значень функцій

Умова

Що треба знати

Область визначення — це множина значень аргументу $x$ , для яких функція має сенс (наприклад, знаменник не дорівнює нулю, підкореневий вираз не від'ємний). Область значень — це множина всіх можливих результатів функції.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Проаналізуй кожен вираз окремо: чи є обмеження для $x$ ? Які мінімальні та максимальні значення може приймати функція?

Розв’язання крок за кроком

а) $y = 2 x^{2}$ : $x$ може бути будь-яким числом ( $D = R$ ). Квадрат числа завжди невід'ємний, отже $y \geq 0$ ( $E = [0; + \infty)$ ).
б) $y = \frac{2}{x}$ : $x \neq = 0$ ( $D = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ ). Функція приймає будь-які значення крім нуля ( $E = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ ).
в) $y = x^{3}$ : $x$ будь-яке ( $D = R$ ). Куб числа може бути будь-яким числом ( $E = R$ ).
г) $y = \frac{2 x}{x}$ : Скорочуємо дріб, але $x \neq = 0$ ( $D = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ ). Функція рівна $2$ , крім точки $x = 0$ ( $E = {2}$ ).
ґ) $y = x - 2$ : Лінійна функція, $x$ будь-яке ( $D = R$ ), графік пряма, що йде вгору і вниз ( $E = R$ ).
д) $y = \frac{2 x}{3} + 5$ : Лінійна функція, $x$ будь-яке ( $D = R$ ), графік пряма ( $E = R$ ).
е) $y = x$ : Підкореневий вираз $\geq 0$ , отже $x \geq 0$ ( $D = [0; + \infty)$ ). Корінь квадратний невід'ємний ( $E = [0; + \infty)$ ).
є) $y = \frac{2}{x ^{2}}$ : $x \neq = 0$ ( $D = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ ). Квадрат числа додатний, отже дріб додатний ( $E = (0; + \infty)$ ).

Відповідь:

Розбір зрозумілий?