Завдання 406, § 8. Функції Functions — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 406

Розв'язування раціональних нерівностей

а) $\frac{2 x + 3}{3 x + 1} > 0$ ;
б) $\frac{x - 6}{1 - x} > - 1$ ;
в) $\frac{9 - 2 x}{x} ⩾ 1$ .

Розв’язання

Пункт а) $\frac{2 x + 3}{3 x + 1} > 0$ . Знайди корені рівнянь $2 x + 3 = 0 \Rightarrow x = - 1, 5$ та $3 x + 1 = 0 \Rightarrow x = - \frac{1}{3}$ . Дроби додатні, якщо чисельник і знаменник мають однаковий знак. Це станеться при $x < - 1, 5$ або $x > - \frac{1}{3}$ .
Пункт б) $\frac{x - 6}{1 - x} > - 1$ . Перенесемо $- 1$ у ліву частину: $\frac{x - 6}{1 - x} + 1 > 0 \Rightarrow \frac{x - 6 + 1 - x}{1 - x} > 0 \Rightarrow \frac{- 5}{1 - x} > 0$ . Знаменник має бути додатним, бо чисельник $- 5$ від'ємний. Отже, $1 - x > 0 \Rightarrow x < 1$ .
Пункт в) $\frac{9 - 2 x}{x} ⩾ 1$ . Перенесемо $1$ у ліву частину: $\frac{9 - 2 x}{x} - 1 ⩾ 0 \Rightarrow \frac{9 - 2 x - x}{x} ⩾ 0 \Rightarrow \frac{9 - 3 x}{x} ⩾ 0$ . Корені чисельника ( $9 - 3 x = 0$ ) та знаменника ( $x = 0$ ): $x = 3$ і $x = 0$ . Дроби додатні або дорівнюють нулю, якщо $x < 0$ або $x ⩾ 3$ .

Відповідь:

а) $(- \infty; - 1, 5) \cup (- \frac{1}{3}; + \infty)$ ; б) $(- \infty; 1)$ ; в) $(- \infty; 0) \cup [3; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?

§ 8. Функції Functions Завдання 406 с. 81

Розв'язування раціональних нерівностей

Умова

а) $\frac{2 x + 3}{3 x + 1} > 0$ ;
б) $\frac{x - 6}{1 - x} > - 1$ ;
в) $\frac{9 - 2 x}{x} ⩾ 1$ .

Що треба знати

Щоб розв'язати нерівність з дробом, треба знайти нулі чисельника та знаменника (корені відповідних рівнянь). Потім розбити числову вісь на проміжки за цими точками і перевірити знак виразу в кожному проміжку. Відповідь — це об'єднання проміжків, де нерівність виконується.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Почни з пункту а). Знайди значення $x$ , при яких чисельник дорівнює нулю, і значення, при яких знаменник дорівнює нулю (там функція не визначена).

Розв’язання крок за кроком

Пункт а) $\frac{2 x + 3}{3 x + 1} > 0$ . Знайди корені рівнянь $2 x + 3 = 0 \Rightarrow x = - 1, 5$ та $3 x + 1 = 0 \Rightarrow x = - \frac{1}{3}$ . Дроби додатні, якщо чисельник і знаменник мають однаковий знак. Це станеться при $x < - 1, 5$ або $x > - \frac{1}{3}$ .
Пункт б) $\frac{x - 6}{1 - x} > - 1$ . Перенесемо $- 1$ у ліву частину: $\frac{x - 6}{1 - x} + 1 > 0 \Rightarrow \frac{x - 6 + 1 - x}{1 - x} > 0 \Rightarrow \frac{- 5}{1 - x} > 0$ . Знаменник має бути додатним, бо чисельник $- 5$ від'ємний. Отже, $1 - x > 0 \Rightarrow x < 1$ .
Пункт в) $\frac{9 - 2 x}{x} ⩾ 1$ . Перенесемо $1$ у ліву частину: $\frac{9 - 2 x}{x} - 1 ⩾ 0 \Rightarrow \frac{9 - 2 x - x}{x} ⩾ 0 \Rightarrow \frac{9 - 3 x}{x} ⩾ 0$ . Корені чисельника ( $9 - 3 x = 0$ ) та знаменника ( $x = 0$ ): $x = 3$ і $x = 0$ . Дроби додатні або дорівнюють нулю, якщо $x < 0$ або $x ⩾ 3$ .

Відповідь:

а) $(- \infty; - 1, 5) \cup (- \frac{1}{3}; + \infty)$ ; б) $(- \infty; 1)$ ; в) $(- \infty; 0) \cup [3; + \infty)$ .

Розбір зрозумілий?