Завдання 9 (с. 69), § 7. Доведення нерівностей Proving inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 9 (с. 69)

Доведення нерівності

Довести, що $2 a (a + 5) + 15 > (a + 2)^{2}$ для будь-якого $a$ .

Розв’язання

Розкриваємо дужки зліва: $2 a^{2} + 10 a + 15$ . Розкриваємо дужки справа (квадрат суми): $a^{2} + 4 a + 4$ .
Переносимо праву частину в ліву, щоб отримати різницю: $(2 a^{2} + 10 a + 15) - (a^{2} + 4 a + 4) = a^{2} + 6 a + 11$ .
Доводимо, що $a^{2} + 6 a + 11 > 0$ . Знаходимо дискримінант квадратного тричлена: $D = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = - 8$ . Оскільки $D < 0$ і коефіцієнт при $a^{2}$ додатний ( $1 > 0$ ), парабола цілісним образом лежить вище осі $O x$ , тобто значення завжди додатні.

Відповідь:

Нерівність доведена (вірна для всіх дійсних $a$ ).

Розбір зрозумілий?

§ 7. Доведення нерівностей Proving inequalities Завдання 9 (с. 69) с. 69

Умова

Довести, що $2 a (a + 5) + 15 > (a + 2)^{2}$ для будь-якого $a$ .

Що треба знати

Розкриємо дужки в обох частинах нерівності. Спростимо вирази і перевіримо знак залишку. Якщо отримана різниця завжди додатна, нерівність доведена.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Почни з розкриття дужок у лівій частині та в правій частині ( $x^{2} \pm b x + c$ ). Відніми менший вираз від більшого і проаналізуй знак результату.

Розв’язання крок за кроком

Розкриваємо дужки зліва: $2 a^{2} + 10 a + 15$ . Розкриваємо дужки справа (квадрат суми): $a^{2} + 4 a + 4$ .
Переносимо праву частину в ліву, щоб отримати різницю: $(2 a^{2} + 10 a + 15) - (a^{2} + 4 a + 4) = a^{2} + 6 a + 11$ .
Доводимо, що $a^{2} + 6 a + 11 > 0$ . Знаходимо дискримінант квадратного тричлена: $D = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = - 8$ . Оскільки $D < 0$ і коефіцієнт при $a^{2}$ додатний ( $1 > 0$ ), парабола цілісним образом лежить вище осі $O x$ , тобто значення завжди додатні.

Відповідь:

Нерівність доведена (вірна для всіх дійсних $a$ ).

Розбір зрозумілий?