Завдання 142, § 3. Подвійні нерівності Double inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 142

Оцінка виразів з подвійними нерівностями

Відомо, що $- \frac{3}{4} < m < \frac{5}{6}$ і $3 < n < 10$ . Знайти діапазони значень для виразів: а) $2 m + 3 n$ ; б) $4 m - n$ ; в) $m + n^{2}$ ; г) $n^{2} - m$ .

Розв’язання

Знайдемо межі для виразу а) $2 m + 3 n$ :
- Множимо нерівність на $m$ на 2: $- \frac{3}{2} < 2 m < \frac{5}{3}$ (тобто $- 1, 5 < 2 m < 1, 66 \dots$ ).
- Множимо нерівність на $n$ на 3: $9 < 3 n < 30$ .
- Додаємо нерівності: $(- 1, 5 + 9) < 2 m + 3 n < (1, 66 \dots + 30)$ , отже $7, 5 < 2 m + 3 n < 31, 66 \dots$ .
Знайдемо межі для виразу б) $4 m - n$ :
- Множимо нерівність на $m$ на 4: $- 3 < 4 m < \frac{10}{3}$ (тобто $- 3 < 4 m < 3, 33 \dots$ ).
- Змінюємо знак нерівності на $n$ : $- 10 < - n < - 3$ .
- Додаємо нерівності: $(- 3 + (- 10)) < 4 m - n < (3, 33 \dots + (- 3))$ , отже $- 13 < 4 m - n < 0, 33 \dots$ .
Знайдемо межі для виразу в) $m + n^{2}$ :
- Знаходимо межі квадрата $n$ : оскільки $3 < n < 10$ , то $9 < n^{2} < 100$ .
- Додаємо нерівність на $m$ ( $- \frac{3}{4} < m < \frac{5}{6}$ ): $(- \frac{3}{4} + 9) < m + n^{2} < (\frac{5}{6} + 100)$ , отже $8, 25 < m + n^{2} < 100, 83 \dots$ .
Знайдемо межі для виразу г) $n^{2} - m$ :
- Використовуємо межі квадрата $n$ ( $9 < n^{2} < 100$ ).
- Змінюємо знак нерівності на $m$ : $- \frac{5}{6} < - m < \frac{3}{4}$ .
- Додаємо нерівності: $(9 + (- \frac{5}{6})) < n^{2} - m < (100 + \frac{3}{4})$ , отже $8, 17 \dots < n^{2} - m < 100, 75$ .

Відповідь:

а) $7, 5 < 2 m + 3 n < 31 \frac{2}{3}$ ; б) $- 13 < 4 m - n < \frac{1}{3}$ ; в) $8 \frac{1}{4} < m + n^{2} < 100 \frac{5}{6}$ ; г) $8 \frac{1}{6} < n^{2} - m < 100 \frac{3}{4}$ .

Розбір зрозумілий?

§ 3. Подвійні нерівності Double inequalities Завдання 142 с. 28

Оцінка виразів з подвійними нерівностями

Умова

Що треба знати

Щоб знайти межі значення суми або різниці двох величин, що змінюються, потрібно додати (або відняти) відповідні межі їхніх нерівностей. Для добутку чи степеня підставляємо найменші та найбільші можливі значення змінних.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Почни з арифметичних операцій над дробами для $m$ і $n$ . Згадай, що $n^{2}$ — це квадрат числа $n$ , тому спочатку знайди межі для $n^{2}$ , а потім додавай або віднімай $m$ .

Розв’язання крок за кроком

Знайдемо межі для виразу а) $2 m + 3 n$ :
- Множимо нерівність на $m$ на 2: $- \frac{3}{2} < 2 m < \frac{5}{3}$ (тобто $- 1, 5 < 2 m < 1, 66 \dots$ ).
- Множимо нерівність на $n$ на 3: $9 < 3 n < 30$ .
- Додаємо нерівності: $(- 1, 5 + 9) < 2 m + 3 n < (1, 66 \dots + 30)$ , отже $7, 5 < 2 m + 3 n < 31, 66 \dots$ .
Знайдемо межі для виразу б) $4 m - n$ :
- Множимо нерівність на $m$ на 4: $- 3 < 4 m < \frac{10}{3}$ (тобто $- 3 < 4 m < 3, 33 \dots$ ).
- Змінюємо знак нерівності на $n$ : $- 10 < - n < - 3$ .
- Додаємо нерівності: $(- 3 + (- 10)) < 4 m - n < (3, 33 \dots + (- 3))$ , отже $- 13 < 4 m - n < 0, 33 \dots$ .
Знайдемо межі для виразу в) $m + n^{2}$ :
- Знаходимо межі квадрата $n$ : оскільки $3 < n < 10$ , то $9 < n^{2} < 100$ .
- Додаємо нерівність на $m$ ( $- \frac{3}{4} < m < \frac{5}{6}$ ): $(- \frac{3}{4} + 9) < m + n^{2} < (\frac{5}{6} + 100)$ , отже $8, 25 < m + n^{2} < 100, 83 \dots$ .
Знайдемо межі для виразу г) $n^{2} - m$ :
- Використовуємо межі квадрата $n$ ( $9 < n^{2} < 100$ ).
- Змінюємо знак нерівності на $m$ : $- \frac{5}{6} < - m < \frac{3}{4}$ .
- Додаємо нерівності: $(9 + (- \frac{5}{6})) < n^{2} - m < (100 + \frac{3}{4})$ , отже $8, 17 \dots < n^{2} - m < 100, 75$ .

Відповідь:

а) $7, 5 < 2 m + 3 n < 31 \frac{2}{3}$ ; б) $- 13 < 4 m - n < \frac{1}{3}$ ; в) $8 \frac{1}{4} < m + n^{2} < 100 \frac{5}{6}$ ; г) $8 \frac{1}{6} < n^{2} - m < 100 \frac{3}{4}$ .

Розбір зрозумілий?