Сформулюй і доведи теорему про транзитивність (a<b і b<c⇒a<c) та про додавання одного й того самого числа до обох частин (a<b⇒a+c<b+c).
Розв’язання
Для транзитивності: якщо a<b, то a−b<0. Якщо b<c, то b−c<0. Сума (a−b)+(b−c)=a−c також від'ємна, отже a<c.
Для додавання: якщо a<b, то a−b<0. Оскільки (a+c)−(b+c)=a−b, різниця залишається від'ємною, тому a+c<b+c.
Відповідь:
Теорема про транзитивність: якщо a<b і b<c, то a<c. Доведення: сума двох від'ємних чисел від'ємна. Теорема про додавання: якщо a<b, то для будь-якого c виконується a+c<b+c. Доведення: різниця частин не змінюється при додаванні однакового числа.
Розбір зрозумілий?
§ 2. Властивості числових нерівностейЗавдання 1с. 15
Транзитивність та додавання до нерівності
Умова
Сформулюй і доведи теорему про транзитивність (a<b і b<c⇒a<c) та про додавання одного й того самого числа до обох частин (a<b⇒a+c<b+c).
Що треба знати
Транзитивність випливає з того, що сума двох від'ємних чисел (a−b) і (b−c) є від'ємною, отже a−c<0. Додавання ж числа c не змінює різниці між частинами: (a+c)−(b+c)=a−b.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Спочатку запиши формулювання теорем аналогічно до Теорем 1 і 2 на попередній сторінці, а потім опиши логіку доведення через різницю частин.
Розв’язання крок за кроком
Для транзитивності: якщо a<b, то a−b<0. Якщо b<c, то b−c<0. Сума (a−b)+(b−c)=a−c також від'ємна, отже a<c.
Для додавання: якщо a<b, то a−b<0. Оскільки (a+c)−(b+c)=a−b, різниця залишається від'ємною, тому a+c<b+c.
Відповідь:
Теорема про транзитивність: якщо a<b і b<c, то a<c. Доведення: сума двох від'ємних чисел від'ємна. Теорема про додавання: якщо a<b, то для будь-якого c виконується a+c<b+c. Доведення: різниця частин не змінюється при додаванні однакового числа.
