Потрібно порівняти значення пар виразів для довільних дійсних чисел (або в межах, де це можливо): а) a2+36 і 12a; б) 4(x+1) і (x+2)2; в) b2+2 і 2b+1; г) (y−3)2 і (y−2)(y−4).
Розв’язання
а) Перенесемо 12a: a2−12a+36=(a−6)2. Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа невід'ємний, то (a−6)2≥0, отже a2+36≥12a.
б) Перенесемо перший вираз під другий: (x+2)2−(4x+4)=x2+4x+4−4x−4=x2. Оскільки x2≥0, то (x+2)2≥4(x+1).
в) Перенесемо другий вираз під перший: b2−2b+2−1=b2−2b+1=(b−1)2. Оскільки (b−1)2≥0, то b2+2≥2b+1.
г) Перенесемо перший вираз під другий: (y−2)(y−4)−(y−3)2=(y2−6y+8)−(y2−6y+9)=−1. Оскільки −1<0, то (y−3)2>(y−2)(y−4).
Відповідь:
а) ≥; б) ≥; в) ≥; г) >.
Розбір зрозумілий?
§ 1. Загальні відомості про нерівностіЗавдання 50с. 12
Порівняння виразів з квадратом та лінійним членом
Умова
Потрібно порівняти значення пар виразів для довільних дійсних чисел (або в межах, де це можливо): а) a2+36 і 12a; б) 4(x+1) і (x+2)2; в) b2+2 і 2b+1; г) (y−3)2 і (y−2)(y−4).
Що треба знати
Для порівняння виразів змінюємо знак нерівності на рівність, переносять всі доданки в одну частину і розкладають на множники або записують у вигляді квадрата суми/різниці.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Спробуйте перенести один вираз під інший і спробуйте представити отриманий вираз як квадрат числа (це завжди ≥0).
Розв’язання крок за кроком
а) Перенесемо 12a: a2−12a+36=(a−6)2. Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа невід'ємний, то (a−6)2≥0, отже a2+36≥12a.
б) Перенесемо перший вираз під другий: (x+2)2−(4x+4)=x2+4x+4−4x−4=x2. Оскільки x2≥0, то (x+2)2≥4(x+1).
в) Перенесемо другий вираз під перший: b2−2b+2−1=b2−2b+1=(b−1)2. Оскільки (b−1)2≥0, то b2+2≥2b+1.
г) Перенесемо перший вираз під другий: (y−2)(y−4)−(y−3)2=(y2−6y+8)−(y2−6y+9)=−1. Оскільки −1<0, то (y−3)2>(y−2)(y−4).
