Завдання 9.4
Середня лінія і сторонаKL — середня лінія △ABC (KL ∥ AB). 1) AB = 16 см; знайдіть KL. 2) KL = 5 дм; знайдіть AB.
Розв’язання
1) KL = 8 см.
2) AB = 10 дм.
Відповідь:
1) 8 см; 2) 10 дм.
Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».
§ 9. Середня лінія трикутника
Завдання 9.5
Середня лінія і сторона (ще)KL ∥ AB — середня лінія. 1) AB = 18 см; знайдіть KL. 2) KL = 3 дм; знайдіть AB.
Розв’язання
1) 9 см.
2) 6 дм.
Відповідь:
1) 9 см; 2) 6 дм.
Завдання 9.6
Основа рівнобедреного трикутникаВідрізок, що сполучає середини бічних сторін рівнобедреного трикутника, дорівнює 7 см. Знайдіть основу.
Розв’язання
Основа = 2 · 7 = 14 см.
Відповідь:
14 см.
Завдання 9.7
Відрізок між серединами бічних сторінОснова рівнобедреного трикутника 14 дм. Знайдіть відрізок, що сполучає середини бічних сторін.
Розв’язання
14 : 2 = 7 дм.
Відповідь:
7 дм.
Завдання 9.8
Периметр за середніми лініямиСередні лінії трикутника 7, 8 і 10 см. Знайдіть його периметр.
Розв’язання
Сторони 14, 16 і 20 см.
P = 50 см.
Відповідь:
50 см.
Завдання 9.9
Периметр трикутника із середніх лінійСторони трикутника 12, 16 і 18 дм. Знайдіть периметр трикутника із середніх ліній.
Розв’язання
(12 + 16 + 18) : 2 = 23 дм.
Відповідь:
23 дм.
Завдання 9.10
Рівні кути при середній лініїED — середня лінія △ABC, E ∈ AC, D ∈ BC. Доведіть, що ∠CED = ∠CAB.
Розв’язання
ED ∥ AB, AC — січна.
∠CED і ∠CAB — відповідні кути, тому рівні.
Відповідь:
Доведено.
Завдання 9.11
Вид трикутника за середніми лініями (усно)Визначте вид трикутника, якщо: 1) дві його середні лінії рівні; 2) три середні лінії рівні.
Розв’язання
1) Дві сторони рівні — рівнобедрений.
2) Усі сторони рівні — рівносторонній.
Відповідь:
1) рівнобедрений; 2) рівносторонній.
Завдання 9.12
Периметр трикутника із середин сторінПериметр трикутника 24 см. Знайдіть периметр трикутника з вершинами в серединах сторін.
Розв’язання
24 : 2 = 12 см.
Відповідь:
12 см.
Завдання 9.13
Периметр за трикутником із серединПериметр трикутника з вершинами в серединах сторін даного — 18 см. Знайдіть периметр даного.
Розв’язання
2 · 18 = 36 см.
Відповідь:
36 см.
Завдання 9.14
Сторони у відношенні 4 : 3 : 5Сторони трикутника відносяться як 4 : 3 : 5, периметр трикутника із середніх ліній 60 см. Знайдіть сторони.
Розв’язання
P = 120 см, 12x = 120, x = 10.
Сторони: 40, 30 і 50 см.
Відповідь:
40 см, 30 см, 50 см.
Завдання 9.15
Середні лінії 4 : 9 : 7Периметр трикутника 80 см. Сторони трикутника із середніх ліній відносяться як 4 : 9 : 7. Знайдіть сторони даного трикутника.
Розв’язання
4x + 9x + 7x = 80, x = 4.
Сторони: 16, 36 і 28 см.
Відповідь:
16 см, 36 см, 28 см.
Завдання 9.16
Скільки випадківСторона трикутника 10 см, одна із середніх ліній 6 см. Знайдіть дві інші сторони, якщо одна з них у 1,5 раза більша за другу. Скільки випадків?
Розв’язання
Сторона 10 см дала б середню лінію 5 см, тож 6 см паралельна стороні 12 см — одній з невідомих.
Нехай сторони x і 1,5x. Якщо x = 12, то друга 18 см: 10, 12, 18 — трикутник існує.
Якщо 1,5x = 12, то x = 8: 10, 8, 12 — теж існує.
Відповідь:
Два випадки: 12 і 18 см або 8 і 12 см.
Завдання 9.17
Периметр чотирикутника із серединE, F, G, H — середини сторін опуклого ABCD, AC = 16 см, BD = 10 см. Знайдіть периметр EFGH.
Розв’язання
EF = GH = AC/2 = 8 см, FG = EH = BD/2 = 5 см.
P = 2(8 + 5) = 26 см.
Відповідь:
26 см.
Завдання 9.18
Середини сторін прямокутникаДіагональ прямокутника 10 см. Знайдіть периметр чотирикутника з вершинами в серединах сторін.
Розв’язання
Кожна сторона — половина діагоналі: 5 см.
P = 4 · 5 = 20 см.
Відповідь:
20 см.
Завдання 9.19
MK ⟂ OD у ромбіO — точка перетину діагоналей ромба ABCD, M і K — середини AD і DC. Доведіть, що MK ⟂ OD.
Розв’язання
MK ∥ AC (середня лінія △ADC).
AC ⟂ BD, а OD лежить на BD, тож MK ⟂ OD.
Відповідь:
Доведено.
Завдання 9.20
PF ⟂ AKAK — медіана рівнобедреного △ABC з основою BC, P і F — середини AB і AC. Доведіть, що PF ⟂ AK.
Розв’язання
PF — середня лінія: PF ∥ BC.
AK ⟂ BC (медіана до основи — висота), тому AK ⟂ PF.
Відповідь:
Доведено.