ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 197

Алгебра, Істер, 2025 · № 24.17–24.27 · 11 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 24. Квадратний тричлен. Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники

Завдання 24.17

Виділити квадрат двочлена (1)

1) $x^{2} + 2 x - 5$ ; 2) $x^{2} - 4 x + 7$ ; 3) $2 x^{2} - 4 x + 10$ ; 4) $3 x^{2} - 18 x + 27$ .

Розв’язання

1) $(x + 1)^{2} - 6$ ; 2) $(x - 2)^{2} + 3$ .
3) $2 (x^{2} - 2 x + 5) = 2 (x - 1)^{2} + 8$ ; 4) $3 (x - 3)^{2}$ .

Відповідь:

Див. кроки.

Завдання 24.18

Виділити квадрат двочлена (2)

1) $x^{2} - 2 x + 7$ ; 2) $x^{2} + 4 x - 13$ ; 3) $3 x^{2} - 24 x + 3$ ; 4) $2 x^{2} + 4 x + 2$ .

Розв’язання

1) $(x - 1)^{2} + 6$ ; 2) $(x + 2)^{2} - 17$ ; 3) $3 (x - 4)^{2} - 45$ ; 4) $2 (x + 1)^{2}$ .

Відповідь:

Див. кроки.

Завдання 24.19

Корені з дробовими коефіцієнтами (1)

1) $\frac{1}{3} x^{2} - 2 x - 7$ ; 2) $0, 2 x^{2} + 7 x + 40$ .

Розв’язання

1) $x^{2} - 6 x - 21 = 0$ , $D = 120$ : $3 \pm 30$ .
2) $x^{2} + 35 x + 200 = 0$ , $D = 425$ : $\frac{- 35 \pm 5 17}{2}$ .

Відповідь:

$3 \pm 30$ ; $\frac{- 35 \pm 5 17}{2}$ .

Завдання 24.20

Корені з дробовими коефіцієнтами (2)

1) $\frac{1}{4} x^{2} + 2 x - 15$ ; 2) $0, 2 x^{2} - 3 x - 9$ .

Розв’язання

1) $x^{2} + 8 x - 60 = 0$ , $D = 304$ : $- 4 \pm 219$ .
2) $x^{2} - 15 x - 45 = 0$ , $D = 405$ : $\frac{15 \pm 9 5}{2}$ .

Відповідь:

$- 4 \pm 219$ ; $\frac{15 \pm 9 5}{2}$ .

Завдання 24.21

Розкласти, якщо можливо (1)

1) $x^{2} - 2 x - 11$ ; 2) $2 x^{2} - 3 x + 7$ ; 3) $- 2 x^{2} - 3 x + 7$ ; 4) $- x^{2} - 5 x - 8$ .

Розв’язання

1) Корені $1 \pm 23$ : $(x - 1 - 23) (x - 1 + 23)$ .
2) D = −47 — не можна.
3) $D = 65$ , корені $\frac{- 3 \pm 65}{4}$ : $- 2 (x + \frac{3 - 65}{4}) (x + \frac{3 + 65}{4})$ .
4) D = −7 — не можна.

Відповідь:

Див. кроки.

Завдання 24.22

Розкласти, якщо можливо (2)

1) $x^{2} + 4 x - 7$ ; 2) $- 2 x^{2} + 3 x - 6$ .

Розв’язання

1) Корені $- 2 \pm 11$ : $(x + 2 - 11) (x + 2 + 11)$ .
2) D = 9 − 48 < 0 — не можна.

Відповідь:

Див. кроки.

Завдання 24.23

Скоротити дроби (1)

1) $\frac{4 x - 12}{x ^{2} - 5 x + 6}$ ; 2) $\frac{x ^{2} - x - 12}{x ^{2} + 3 x}$ ; 3) $\frac{2 x ^{2} + 5 x - 3}{x ^{2} - 9}$ ; 4) $\frac{x ^{2} - 4 x + 4}{x ^{2} + 5 x - 14}$ ; 5) $\frac{2 x ^{2} + 9 x - 5}{3 x ^{2} + 14 x - 5}$ ; 6) $\frac{5 x ^{2} - 37 x + 14}{22 x - 2 x ^{2} - 56}$ .

Розв’язання

1) $\frac{4 ( x - 3 )}{( x - 2 ) ( x - 3 )} = \frac{4}{x - 2}$ ; 2) $\frac{( x - 4 ) ( x + 3 )}{x ( x + 3 )} = \frac{x - 4}{x}$ .
3) $\frac{( 2 x - 1 ) ( x + 3 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{2 x - 1}{x - 3}$ ; 4) $\frac{( x - 2 ) ^{2}}{( x - 2 ) ( x + 7 )} = \frac{x - 2}{x + 7}$ .
5) $\frac{( 2 x - 1 ) ( x + 5 )}{( 3 x - 1 ) ( x + 5 )} = \frac{2 x - 1}{3 x - 1}$ .
6) $\frac{( x - 7 ) ( 5 x - 2 )}{- 2 ( x - 4 ) ( x - 7 )} = \frac{2 - 5 x}{2 x - 8}$ .

Відповідь:

Див. кроки.

Завдання 24.24

Скоротити дроби (2)

1) $\frac{x ^{2} + 6 x + 5}{x ^{2} + 5 x}$ ; 2) $\frac{x ^{2} - 16}{3 x ^{2} - 10 x - 8}$ ; 3) $\frac{x ^{2} + x - 6}{x ^{2} - 7 x + 10}$ ; 4) $\frac{2 x ^{2} + 4 x + 2}{3 x ^{2} - 6 x - 9}$ .

Розв’язання

1) $\frac{x + 1}{x}$ ; 2) $\frac{x + 4}{3 x + 2}$ ; 3) $\frac{x + 3}{x - 5}$ ; 4) $\frac{2 ( x + 1 ) ^{2}}{3 ( x - 3 ) ( x + 1 )} = \frac{2 ( x + 1 )}{3 ( x - 3 )}$ .

Відповідь:

Див. кроки.

Завдання 24.25

Значення дробу після скорочення

1) $\frac{2 x ^{2} + 9 x - 5}{x ^{2} + 8 x + 15}$ при $x = 97$ ; 2) $\frac{3 x ^{2} - 24 x + 48}{7 x - 3 x ^{2} + 20}$ при $x = - \frac{2}{3}$ .

Розв’язання

1) $\frac{( 2 x - 1 ) ( x + 5 )}{( x + 3 ) ( x + 5 )} = \frac{2 x - 1}{x + 3} = \frac{193}{100} = 1, 93$ .
2) $\frac{3 ( x - 4 ) ^{2}}{- ( 3 x + 5 ) ( x - 4 )} = \frac{3 ( 4 - x )}{3 x + 5} = \frac{3 \cdot \frac{14}{3}}{3} = \frac{14}{3}$ .

Відповідь:

1,93; $4 \frac{2}{3}$ .

Завдання 24.26

Виконати дії (1)

1) $\frac{1}{x - 2} - \frac{x}{x ^{2} + 2 x - 8}$ ; 2) $\frac{1}{x + 4} + \frac{2}{x ^{2} + 6 x + 8}$ ; 3) $\frac{x + 4}{3 x + 2} \cdot \frac{3 x ^{2} - 10 x - 8}{x ^{2} - 16}$ ; 4) $\frac{- 2 x ^{2} + 5 x - 2}{2 x + 10} : \frac{2 x ^{2} + 5 x - 3}{x ^{2} - 25}$ .

Розв’язання

1) $\frac{x + 4 - x}{( x - 2 ) ( x + 4 )} = \frac{4}{( x - 2 ) ( x + 4 )}$ .
2) $\frac{x + 2 + 2}{( x + 2 ) ( x + 4 )} = \frac{1}{x + 2}$ .
3) $\frac{x + 4}{3 x + 2} \cdot \frac{( 3 x + 2 ) ( x - 4 )}{( x - 4 ) ( x + 4 )} = 1$ .
4) $\frac{- ( 2 x - 1 ) ( x - 2 )}{2 ( x + 5 )} \cdot \frac{( x - 5 ) ( x + 5 )}{( 2 x - 1 ) ( x + 3 )} = - \frac{( x - 2 ) ( x - 5 )}{2 ( x + 3 )}$ .

Відповідь:

$\frac{4}{( x - 2 ) ( x + 4 )}$ ; $\frac{1}{x + 2}$ ; 1; $- \frac{( x - 2 ) ( x - 5 )}{2 ( x + 3 )}$ .

Завдання 24.27

Виконати дії (2)

1) $\frac{1}{x + 2} + \frac{7}{x ^{2} - 3 x - 10}$ ; 2) $\frac{1}{x ^{2} - 4} : \frac{3 x - 2}{3 x ^{2} + 4 x - 4}$ .

Розв’язання

1) $\frac{x - 5 + 7}{( x - 5 ) ( x + 2 )} = \frac{1}{x - 5}$ .
2) $\frac{1}{( x - 2 ) ( x + 2 )} \cdot \frac{( 3 x - 2 ) ( x + 2 )}{3 x - 2} = \frac{1}{x - 2}$ .

Відповідь:

$\frac{1}{x - 5}$ ; $\frac{1}{x - 2}$ .