ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 151

Алгебра, Істер, 2025 · № 18.33–18.41 · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 18. Тотожні перетворення виразів, що містять квадратні корені

Завдання 18.33

Спряжений вираз у знаменнику (2)

1) $\frac{10}{3 + 1}$ ; 2) $\frac{3}{15 - 3}$ ; 3) $\frac{1}{5 2 - 2 5}$ .

Розв’язання

1) $\frac{10 ( 3 - 1 )}{2} = 53 - 5$ .
2) $\frac{3 ( 15 + 3 )}{12} = \frac{15 + 3}{4}$ .
3) $\frac{5 2 + 2 5}{50 - 20} = \frac{5 2 + 2 5}{30}$ .

Відповідь:

$53 - 5$ ; $\frac{15 + 3}{4}$ ; $\frac{5 2 + 2 5}{30}$ .

Завдання 18.34

Обчислити (спряжені вирази) (1)

1) $(3 - 5 - 3 + 5)^{2}$ ; 2) $\frac{15}{11 + 2 30} + \frac{15}{11 - 2 30}$ ; 3) $\frac{5 + 3}{5 - 3} + \frac{5 - 3}{5 + 3}$ ; 4) $(\frac{1 - 3}{1 + 3})^{2} + (\frac{1 + 3}{1 - 3})^{2}$ .

Розв’язання

1) $3 - 5 + 3 + 5 - 2 (3 - 5) (3 + 5) = 6 - 24 = 2$ .
2) $\frac{15 \cdot 22}{121 - 120} = 330$ .
3) $\frac{( 5 + 3 ) ^{2} + ( 5 - 3 ) ^{2}}{5 - 3} = \frac{16}{2} = 8$ .
4) $\frac{1 - 3}{1 + 3} = \frac{( 1 - 3 ) ^{2}}{1 - 3} = 3 - 2$ , обернений дріб $= - 3 - 2$ ; $(3 - 2)^{2} + (3 + 2)^{2} = 7 - 43 + 7 + 43 = 14$ .

Відповідь:

2; 330; 8; 14.

Завдання 18.35

Обчислити (спряжені вирази) (2)

1) $(7 + 43 + 7 - 43)^{2}$ ; 2) $\frac{3}{10 - 3 11} + \frac{3}{10 + 3 11}$ ; 3) $\frac{7 + 6}{7 - 6} + \frac{7 - 6}{7 + 6}$ ; 4) $(\frac{1 + 5}{1 - 5})^{2} + (\frac{1 - 5}{1 + 5})^{2}$ .

Розв’язання

1) $(2 + 3 + 2 - 3)^{2} = 16$ .
2) $\frac{3 \cdot 20}{100 - 99} = 60$ .
3) $\frac{( 7 + 6 ) ^{2} + ( 7 - 6 ) ^{2}}{1} = 26$ .
4) $\frac{1 + 5}{1 - 5} = - \frac{3 + 5}{2}$ ; сума квадратів: $\frac{14 + 6 5}{4} + \frac{14 - 6 5}{4} = 7$ .

Відповідь:

16; 60; 26; 7.

Завдання 18.36

Телескопічна сума: Кубок України

Обчисліть $\frac{2}{1 + 5} + \frac{2}{5 + 9} + \frac{2}{9 + 13} + \dots + \frac{2}{45 + 49}$ — це кількість разів, коли Андрій Шевченко ставав володарем Кубка України з «Динамо».

Розв’язання

$\frac{2}{n + n + 4} = \frac{2 ( n + 4 - n )}{4} = \frac{n + 4 - n}{2}$ .
Сума «складається»: $\frac{( 5 - 1 ) + ( 9 - 5 ) + \dots + ( 49 - 45 )}{2} = \frac{49 - 1}{2} = 3$ .

Відповідь:

Завдання 18.37

Спростити вирази з коренями

1) $\frac{m + 1}{m m + m + m} : \frac{1}{m ^{2} - m}$ ; 2) $\frac{a + b}{ab - b} - \frac{2 a}{a - b}$ ; 3) $(\frac{x}{x + y} - \frac{x - y}{x}) : \frac{y}{x}$ ; 4) $\frac{a + b}{2 ab + 2 a} + \frac{b}{a + b}$ .

Розв’язання

1) $\frac{m + 1}{m ( m + m + 1 )} \cdot m (m - 1) (m + m + 1) = (m + 1) (m - 1) = m - 1$ .
2) Спільний знаменник $b (a - b)$ : $\frac{a + b - 2 ab}{b ( a - b )} = \frac{( a - b ) ^{2}}{b ( a - b )} = \frac{a - b}{b}$ .
3) Дужка: $\frac{x - ( x - y )}{x ( x + y )} = \frac{y}{x ( x + y )}$ ; ділимо на $\frac{y}{x}$ : $\frac{y}{x + y}$ .
4) Спільний знаменник $2 a (a + b)$ : $\frac{a + b + 2 ab}{2 a ( a + b )} = \frac{a + b}{2 a}$ .

Відповідь:

$m - 1$ ; $\frac{a - b}{b}$ ; $\frac{y}{x + y}$ ; $\frac{a + b}{2 a}$ .

Завдання 18.38

Обчислити (степені)

1) $\frac{21 6 ^{3}}{3 6 ^{4}}$ ; 2) $\frac{8 1 ^{6}}{2 7 ^{8}}$ ; 3) $\frac{4 ^{8} \cdot 16}{6 4 ^{3}}$ ; 4) $\frac{2 ^{8} \cdot 1 3 ^{8}}{2 6 ^{7}}$ .

Розв’язання

1) $\frac{6 ^{9}}{6 ^{8}} = 6$ ; 2) $\frac{3 ^{24}}{3 ^{24}} = 1$ ; 3) $\frac{2 ^{16} \cdot 2 ^{4}}{2 ^{18}} = 4$ ; 4) $\frac{2 6 ^{8}}{2 6 ^{7}} = 26$ .

Відповідь:

6; 1; 4; 26.

Завдання 18.39

Раціональне рівняння

$\frac{2 x + 1}{x} - \frac{1}{x - 1} = \frac{2 x ^{2}}{x ^{2} - x}$ .

Розв’язання

$(2 x + 1) (x - 1) - x = 2 x^{2}$ .
$2 x^{2} - 2 x - 1 = 2 x^{2}$ , $x = - \frac{1}{2}$ — входить в ОДЗ.

Відповідь:

−0,5.

Завдання 18.40

√(10n − 3) не натуральне

Доведіть, що $10 n - 3$ , $n \in N$ , не може бути натуральним числом.

Розв’язання

10n закінчується нулем, тож 10n − 3 закінчується цифрою 7.
Жоден квадрат натурального числа не закінчується на 7, тому 10n − 3 не є точним квадратом і корінь не натуральний.

Відповідь:

Доведено.

Завдання 18.41

Графік y = x², x ≥ 0

Побудуйте графік $y = x^{2}$ , де $x ⩾ 0$ . Яка область значень?

Розв’язання

Будуємо точки (0; 0), (1; 1), (2; 4), (3; 9) і з’єднуємо плавною кривою — права гілка параболи.
Область значень: y ≥ 0, тобто [0; +∞).

Відповідь:

$E = [0; + \infty)$ .