Сторінка 251

Розв’язання

1. Знайдемо $\cos \alpha$. Оскільки ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, маємо $(\frac{4}{5}{)}^2+{\cos }^2\alpha =1$, звідки ${\cos }^2\alpha =\frac{9}{25}$. Отже, $\cos {\alpha }_1=\frac{3}{5}$ і $\cos {\alpha }_2=-\frac{3}{5}$.

2. Знайдемо першу можливу довжину сторони $c_1$, якщо $\cos \alpha =\frac{3}{5}$: $c_1^2=4^2+10^2-2\cdot 4\cdot 10\cdot \frac{3}{5}=16+100-48=68$. Тоді $c_1=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$ см.

3. Знайдемо другу можливу довжину сторони $c_2$, якщо $\cos \alpha =-\frac{3}{5}$: $c_2^2=4^2+10^2-2\cdot 4\cdot 10\cdot (-\frac{3}{5})=16+100+48=164$. Тоді $c_2=\sqrt{164}=2\sqrt{41}$ см.

Розв’язання

1. Обчислимо площу паралелограма за формулою $S=AB\cdot AD\sin 60^{\circ }=2\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$.

2. Знайдемо довжини діагоналей: $B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2-2AB\cdot AD\cos 60^{\circ }=4+16-2\cdot 2\cdot 4\cdot \frac{1}{2}=20-8=12$, отже $BD=2\sqrt{3}$.
   $A{C}^2=A{B}^2+A{D}^2-2AB\cdot AD\cos (180^{\circ }-60^{\circ })=4+16-2\cdot 2\cdot 4\cdot (-\frac{1}{2})=20+8=28$, отже $AC=2\sqrt{7}$.

3. Площу паралелограма також можна записати як суму площ чотирьох трикутників, утворених діагоналями, або через формулу $S=\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin \varphi$. Маємо $4\sqrt{3}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{7}\cdot 2\sqrt{3}\sin \varphi$, звідки $4\sqrt{3}=2\sqrt{21}\sin \varphi$.
   $\sin \varphi =\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{21}}=\frac{2}{\sqrt{7}}$. Оскільки діагоналі перетинаються під гострим і тупим кутами, знайдемо $\cos \varphi$ через формулу $1-{\sin }^2\varphi$: ${\cos }^2\varphi =1-\frac{4}{7}=\frac{3}{7}$.
   $\cos \varphi =\pm \sqrt{\frac{3}{7}}=\pm \frac{\sqrt{21}}{7}$. (Загалом кут між прямими визначається острим кутом, але в задачі про кут між діагоналями часто шукають обидва значення або гострий).

Розв’язання

1. Сторони $4,4,5$. Найбільша сторона $c=5$. $c^2=25$. Сума квадратів інших: $4^2+4^2=16+16=32$. Оскільки $25<32$, трикутник гострокутний.

2. Сторони $5,6,9$. Найбільша сторона $c=9$. $c^2=81$. Сума квадратів інших: $5^2+6^2=25+36=61$. Оскільки $81>61$, трикутник тупокутний.

3. Сторони $5,12,13$. Найбільша сторона $c=13$. $c^2=169$. Сума квадратів інших: $5^2+12^2=25+144=169$. Оскільки $169=169$, трикутник прямокутний.

Розв’язання

1. Нехай невідомі сторони дорівнюють $3x$ і $8x$. Тоді третя сторона (відома) дорівнює сумі цих двох, якщо трикутник рівнобедрений? Ні, умова каже "Одна зі сторін... 21 см". Отже, або $3x=21$, або $8x=21$, або $a=21$ є третьою стороною. Перечитаємо: "Одна зі сторін ... дорівнює 21 см, а дві інші ... відносяться як 3:8". Це означає, що сторона 21 — це одна з двох, або третя? Зазвичай у таких задачах 21 — це сторона між кутами 60°? Ні, "кут між ними дорівнює 60°". Отже, сторони $b$ і $c$ утворюють кут 60°, а сторона $a=21$ протилежна цьому куту.
   Тоді $b+c$ не обов'язково дорівнює 21. Але в умові сказано "Одна зі сторін ... дорівнює 21". Це може бути сторона $a$ (протилежна куту) або одна з $b,c$.
   Варіант А: Сторона між кутами (або одна з них) = 21. Але зазвичай "одна зі сторін" означає третю сторону в трикутнику, якщо не вказано інше. Припустимо, сторона $a=21$ протилежна куту $60^{\circ }$. Тоді $b=3x$, $c=8x$.
   Рівняння: $(3x{)}^2+(8x{)}^2-2(3x)(8x)\cos 60^{\circ }=21^2$.
   $9x^2+64x^2-48x^2\cdot 0,5=441$.
   $73x^2-24x^2=441\Rightarrow 49x^2=441\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=3$.
   Сторони: $3\cdot 3=9$ см, $8\cdot 3=24$ см. Перевірка: $9+24-2\cdot 9\cdot 24\cdot 0,5=33-216\ne 441$. Ой, помилка в логіці.
   Правильна інтерпретація: Сторона між кутами? Ні, "кут між ними". Отже, сторони $b$ і $c$ утворюють кут $\alpha =60^{\circ }$. Тоді сторона $a$ (протилежна) дорівнює 21 см.
   Перерахуємо: $b=3x,c=8x$. $a^2=b^2+c^2-2bc\cos 60^{\circ }$.
   $441=9x^2+64x^2-24x^2=49x^2$.
   $x^2=9\Rightarrow x=3$.
   Сторони: $9$ см і $24$ см.

Розв’язання

1. Запишемо співвідношення за теоремою синусів для відомих величин: $\frac{3}{\sin A}=\frac{\sqrt{7}}{\sin 60^{\circ }}$. Але нам невідомий кут $A$. Краще знайти кут $C$ (протилежний стороні $a=3$) або скористатися теоремою косинусів для знаходження кута між сторонами.
   Нехай сторони $b=\sqrt{7}$ і $c$ утворюють кут $\gamma$, протилежний стороні $a=3$. Тоді $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \gamma$. Але ми не знаємо $\gamma$.
   Або: Нехай сторони $b=\sqrt{7}$ і $c$ утворюють кут, протилежний стороні $a=3$.
   Давайте використаємо теорему косинусів для сторони $b$: $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$. Але ми не знаємо $\angle A$ чи $\angle C$.

Розв’язання

1. Запишемо формулу: $12^2+14^2=2(a^2+b^2)$.
   $144+196=2(a^2+b^2)\Rightarrow 340=2(a^2+b^2)\Rightarrow a^2+b^2=170$.

2. Маємо систему рівнянь: $\{\begin{array}{l}a-b=4\\ a^2+b^2=170\end{array}$.
   З першого $a=b+4$. Підставимо у друге: $(b+4{)}^2+b^2=170$.
   $b^2+8b+16+b^2=170\Rightarrow 2b^2+8b-154=0\Rightarrow b^2+4b-77=0$.

3. Розв'яжемо квадратне рівняння: $D=16-4(-77)=16+308=324$. $\sqrt{D}=18$.
   $b=\frac{-4\pm 18}{2}$. Оскільки $b>0$, то $b=\frac{14}{2}=7$ см.
   Тоді $a=7+4=11$ см.

Розв’язання

1. Позначимо сторони трикутника як $a=11$, $b=12$, $c=13$. Медіана $m_c$ проведена до сторони $c$.

2. Використаємо формулу для медіани: $m_c=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$.

3. Підставимо значення: $m_c=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 11^2+2\cdot 12^2-13^2}=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 121+2\cdot 144-169}$.

4. Обчислимо: $m_c=\frac{1}{2}\sqrt{242+288-169}=\frac{1}{2}\sqrt{361}=\frac{1}{2}\cdot 19=9,5$.

Розв’язання

1. Позначимо сторони трикутника як $b$ та $c$, а відрізки на стороні — як $p=3$ та $q=4$. За теоремою бісектриси $\frac{b}{c}=\frac{q}{p}=\frac{4}{3}$, отже $b=4k$, $c=3k$.

2. Сторона трикутника $a=p+q=7$.

3. Використаємо формулу для бісектриси: $l^2=bc-pq$.

4. Підставимо вирази через $k$: $l^2=(4k)(3k)-3\cdot 4=12k^2-12$. Нам потрібно знайти $k$.

5. Знайдемо $k$ через косинус теорему для одного з трикутників або площу. Площа великого трикутника $S=\frac{1}{2}bc\sin A$, де $A=60^{\circ }$. Також $S=S_1+S_2=\frac{1}{2}bl\sin 60^{\circ }+\frac{1}{2}cl\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}l(b+c)\sin 60^{\circ }$.

6. Це дає співвідношення $bc=l(b+c)$. Підставимо $b=4k,c=3k$: $12k^2=l(7k)\Rightarrow l=\frac{12}{7}k$.

7. Підставимо $l$ у формулу бісектриси: $(\frac{12}{7}k{)}^2=12k^2-12\Rightarrow \frac{144}{49}{k}^2=12k^2-12$.

8. Розв'яжемо рівняння відносно $k^2$: $12=12k^2-\frac{144}{49}{k}^2=k^2(\frac{588-144}{49})=k^2\frac{444}{49}$. Отже $k^2=\frac{12\cdot 49}{444}=\frac{49}{37}$.

9. Знайдемо $l$: $l=\frac{12}{7}\sqrt{\frac{49}{37}}=\frac{12}{7}\cdot \frac{7}{\sqrt{37}}=\frac{12}{\sqrt{37}}$.