ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінки 106–130

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 8.1–11.24 · 124 завдання

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

Сторінка 106

§ 3. Декартові координати на площині

Завдання 8.1

Відстань до початку координат

Знайти відстань $d$ від початку координат $O (0; 0)$ до точок: 1) $A (0; 2)$ ; 2) $B (15; 8)$ ; 3) $C (- 1; 2)$ .

Розв’язання

Для точки $A (0; 2)$ підставимо координати у формулу: $d = 0^{2} + 2^{2} = 4 = 2$ .
Для точки $B (15; 8)$ обчислимо: $d = 1 5^{2} + 8^{2} = 225 + 64 = 289 = 17$ .
Для точки $C (- 1; 2)$ знайдемо: $d = (- 1)^{2} + 2^{2} = 1 + 4 = 5$ .

Відповідь:

1) $2$ ; 2) $17$ ; 3) $5$ .

Завдання 8.4

Доведення рівнобедреності трикутника

Вершинами трикутника є точки $A (- 1; 3)$ , $B (5; 9)$ , $C (6; 2)$ . Потрібно довести, що $△ A B C$ — рівнобедрений.

Розв’язання

Знайдемо довжину сторони $A B$ : $A B = (5 - (- 1))^{2} + (9 - 3)^{2} = 6^{2} + 6^{2} = 36 + 36 = 72$ .
Знайдемо довжину сторони $B C$ : $B C = (6 - 5)^{2} + (2 - 9)^{2} = 1^{2} + (- 7)^{2} = 1 + 49 = 50$ .
Знайдемо довжину сторони $A C$ : $A C = (6 - (- 1))^{2} + (2 - 3)^{2} = 7^{2} + (- 1)^{2} = 49 + 1 = 50$ .
Порівнюємо отримані значення: $B C = A C = 50$ , а $A B = 72$ . Оскільки дві сторони рівні, трикутник є рівнобедреним.

Відповідь:

$△ A B C$ — рівнобедрений ( $A C = B C$ ).

Завдання 8.5

Доведення центру описаного кола

Точка $M (0; - 1)$ має бути центром кола, описаного навколо трикутника $A B C$ , де вершини $A (6; - 9)$ , $B (- 6; 7)$ , $C (8; 5)$ .

Розв’язання

Знайдемо відстань $M A$ : $M A = (6 - 0)^{2} + (- 9 - (- 1))^{2} = 6^{2} + (- 8)^{2} = 36 + 64 = 100 = 10$ .
Знайдемо відстань $M B$ : $M B = (- 6 - 0)^{2} + (7 - (- 1))^{2} = (- 6)^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 10$ .
Знайдемо відстань $M C$ : $M C = (8 - 0)^{2} + (5 - (- 1))^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 100 = 10$ .
Порівнюємо результати: $M A = M B = M C = 10$ . Отже, точка $M$ рівновіддалена від вершин трикутника.

Відповідь:

Точка $M (0; - 1)$ є центром описаного кола (радіус $R = 10$ ).

Завдання 8.6

Доведення рівності кутів трикутника

Вершинами трикутника $A B C$ є точки $A (5; - 7)$ , $B (- 3; 8)$ , $C (- 10; - 15)$ . Потрібно довести, що кути $∠ B$ та $∠ C$ рівні.

Розв’язання

Знайдемо довжину сторони $A B$ : $A B = (- 3 - 5)^{2} + (8 - (- 7))^{2} = (- 8)^{2} + 1 5^{2} = 64 + 225 = 289 = 17$ .
Знайдемо довжину сторони $A C$ : $A C = (- 10 - 5)^{2} + (- 15 - (- 7))^{2} = (- 15)^{2} + (- 8)^{2} = 225 + 64 = 289 = 17$ .
Знайдемо довжину сторони $B C$ для порівняння (не обов'язково, але корисно): $B C = (- 10 - (- 3))^{2} + (- 15 - 8)^{2} = (- 7)^{2} + (- 23)^{2} = 49 + 529 = 578$ .
Порівнюємо сторони $A B$ та $A C$ : отримали $A B = A C = 17$ . Трикутник рівнобедрений, тому кути при основі $∠ B$ і $∠ C$ рівні.

Відповідь:

Кути $∠ B$ і $∠ C$ рівні (оскільки $A B = A C$ ).

Завдання 8.7

Координати середини відрізків

Дано точки $O (0; 0)$ , $M (10; 4)$ , $K (6; - 8)$ . Знайти координати середини відрізків: 1) $O M$ ; 2) $O K$ .

Розв’язання

Для відрізка $O M$ ( $O (0; 0)$ , $M (10; 4)$ ):
$x_{M} = \frac{0 + 10}{2} = 5$ , $y_{M} = \frac{0 + 4}{2} = 2$ . Середина — точка $(5; 2)$ .
Для відрізка $O K$ ( $O (0; 0)$ , $K (6; - 8)$ ):
$x_{K} = \frac{0 + 6}{2} = 3$ , $y_{K} = \frac{0 + ( - 8 )}{2} = - 4$ . Середина — точка $(3; - 4)$ .

Відповідь:

1) $(5; 2)$ ; 2) $(3; - 4)$ .

Завдання 8.8

Координати середини відрізка BC

Знайти координати середини відрізка $B C$ , якщо:
1) $B (5; 4)$ , $C (3; 2)$ ;
2) $B (- 2; - 1)$ , $C (- 1; 7)$ .

Розв’язання

Для пункту 1 ( $B (5; 4)$ , $C (3; 2)$ ):
$x = \frac{5 + 3}{2} = 4$ , $y = \frac{4 + 2}{2} = 3$ . Середина — точка $(4; 3)$ .
Для пункту 2 ( $B (- 2; - 1)$ , $C (- 1; 7)$ ):
$x = \frac{- 2 + ( - 1 )}{2} = - 1, 5$ , $y = \frac{- 1 + 7}{2} = 3$ . Середина — точка $(- 1, 5; 3)$ .

Відповідь:

1) $(4; 3)$ ; 2) $(- 1, 5; 3)$ .

Сторінка 107

Завдання 8.9

Знаходження координат точки за умовою середини відрізка

Точка $C$ — середина відрізка $A B$ . Знайти координати точки $B$ , якщо:
1) $A (3; - 4)$ , $C (2; 1)$ ;
2) $A (- 1; 1)$ , $C (0, 5; - 1)$ .

Розв’язання

Для пункту 1):
Знайдемо абсцису точки $B$ : $x_{B} = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$ .
Знайдемо ординату точки $B$ : $y_{B} = 2 \cdot 1 - (- 4) = 2 + 4 = 6$ .
Отже, $B (1; 6)$ .
Для пункту 2):
Знайдемо абсцису точки $B$ : $x_{B} = 2 \cdot 0, 5 - (- 1) = 1 + 1 = 2$ .
Знайдемо ординату точки $B$ : $y_{B} = 2 \cdot (- 1) - 1 = - 2 - 1 = - 3$ .
Отже, $B (2; - 3)$ .

Відповідь:

1) $B (1; 6)$ ; 2) $B (2; - 3)$ .

Завдання 8.10

Заповнення таблиці координат середин відрізків

Точка $K$ — середина відрізка $A D$ . Потрібно знайти пропущені значення в таблиці для трьох випадків, використовуючи координати точок $A$ , $D$ і $K$ .

Розв’язання

Перший стовпчик (відомі $A$ і $D$ , треба знайти $K$ ):
$x_{K} = \frac{- 3 + ( - 1 )}{2} = - 2$ .
$y_{K} = \frac{1 + ( - 3 )}{2} = - 1$ .
Відповідь для першого стовпчика: $(- 2; - 1)$ .
Другий стовпчик (відомі $A$ і $K$ , треба знайти $D$ ):
$x_{D} = 2 \cdot x_{K} - x_{A} = 2 \cdot (- 4) - (- 8) = - 8 + 8 = 0$ .
$y_{D} = 2 \cdot y_{K} - y_{A} = 2 \cdot 6 - 1 = 12 - 1 = 11$ .
Відповідь для другого стовпчика: $(0; 11)$ .
Третій стовпчик (відомі $D$ і $K$ , треба знайти $A$ ):
$x_{A} = 2 \cdot x_{K} - x_{D} = 2 \cdot 1 - (- 9) = 2 + 9 = 11$ .
$y_{A} = 2 \cdot y_{K} - y_{D} = 2 \cdot 2 - 2 = 4 - 2 = 2$ .
Відповідь для третього стовпчика: $(11; 2)$ .

Відповідь:

Перший пропуск (координати $K$ ): $(- 2; - 1)$ ; другий пропуск (координати $D$ ): $(0; 11)$ ; третій пропуск (координати $A$ ): $(11; 2)$ .

Завдання 8.11

Знаходження довжини медіани трикутника

Вершинами трикутника є точки $A (3; - 2)$ , $B (2; 3)$ і $C (7; 4)$ . Медіана проведена з вершини $B$ до середини сторони $A C$ (точка $M$ ). Знайти довжину відрізка $B M$ .

Розв’язання

Знайдемо координати середини $M$ сторони $A C$ :
$x_{M} = \frac{3 + 7}{2} = 5$ .
$y_{M} = \frac{- 2 + 4}{2} = 1$ .
Точка $M (5; 1)$ .
Знайдемо довжину медіани $B M$ , де $B (2; 3)$ і $M (5; 1)$ :
$B M = (5 - 2)^{2} + (1 - 3)^{2} = 3^{2} + (- 2)^{2} = 9 + 4 = 13$ .

Відповідь:

$13$ .

Завдання 8.12

Відстань від початку координат до середини відрізка

Дано точки $A (- 2; 4)$ і $B (2; - 8)$ . Знайти відстань від початку координат до середини відрізка $A B$ .

Розв’язання

Координати середини $M$ знаходимо як середнє арифметичне відповідних координат точок $A$ і $B$ :
$x_{M} = \frac{- 2 + 2}{2} = 0$ , $y_{M} = \frac{4 + ( - 8 )}{2} = - 2$ . Отже, $M (0; - 2)$ .
Відстань від початку координат $O (0; 0)$ до точки $M (0; - 2)$ обчислюємо за формулою:
$d = (0 - 0)^{2} + (- 2 - 0)^{2} = 0 + 4 = 2$ .

Відповідь:

Завдання 8.13

Доведення прямокутності трикутника

Вершини трикутника $A (2; 7)$ , $B (- 1; 4)$ і $C (1; 2)$ . Довести, що трикутник є прямокутним. Вказати використану теорему (Піфагора чи обернену).

Розв’язання

Знайдемо довжини сторін за формулою відстані:
$A B = (- 1 - 2)^{2} + (4 - 7)^{2} = (- 3)^{2} + (- 3)^{2} = 9 + 9 = 18$ .
$B C = (1 - (- 1))^{2} + (2 - 4)^{2} = 2^{2} + (- 2)^{2} = 4 + 4 = 8$ .
$A C = (1 - 2)^{2} + (2 - 7)^{2} = (- 1)^{2} + (- 5)^{2} = 1 + 25 = 26$ .
Порівняємо квадрати сторін: $A B^{2} = 18$ , $B C^{2} = 8$ , $A C^{2} = 26$ .
Перевіряємо рівність: $A B^{2} + B C^{2} = 18 + 8 = 26$ . Оскільки $26 = A C^{2}$ , то сума квадратів двох менших сторін дорівнює квадрату найбільшої сторони.

Відповідь:

Трикутник є прямокутним, оскільки $A B^{2} + B C^{2} = A C^{2}$ . Застосована обернена теорема Піфагора.

Завдання 8.14

Перевірка можливості існування прямокутного трикутника

Вершинами прямокутного трикутника є точки $A (- 1; 2)$ і $B (7; 4)$ . Чи можуть третіми вершинами бути точки з координатами: 1) $(7; 2)$ ; 2) $(2; - 3)$ ?

Розв’язання

Знайдемо довжину сторони $A B$ :
$A B = (7 - (- 1))^{2} + (4 - 2)^{2} = 8^{2} + 2^{2} = 64 + 4 = 68$ .
Перевіряємо перший варіант $C_{1} (7; 2)$ :
$A C_{1} = (7 - (- 1))^{2} + (2 - 2)^{2} = 8^{2} + 0 = 8$ .
$B C_{1} = (7 - 7)^{2} + (2 - 4)^{2} = 0 + (- 2)^{2} = 2$ .
Перевіряємо: $A C_{1}^{2} + B C_{1}^{2} = 64 + 4 = 68$ . Оскільки $A B^{2} = 68$ , то трикутник прямокутний.
Перевіряємо другий варіант $C_{2} (2; - 3)$ :
$A C_{2} = (2 - (- 1))^{2} + (- 3 - 2)^{2} = 3^{2} + (- 5)^{2} = 9 + 25 = 34$ .
$B C_{2} = (2 - 7)^{2} + (- 3 - 4)^{2} = (- 5)^{2} + (- 7)^{2} = 25 + 49 = 74$ .
Перевіряємо: $A C_{2}^{2} + B C_{2}^{2} = 34 + 74 = 108$ , що не дорівнює $A B^{2} = 68$ . Також жодна пара сторін не дає суму квадратів, рівну квадрату третьої ( $34 + 68 \neq = 74$ ).

Відповідь:

1) Так, може; 2) Ні, не може.

Завдання 8.15

Перевірка колінеарності трьох точок

1) Точки $A (- 2; - 7)$ , $B (- 1; - 4)$ і $C (5; 14)$ .
2) Точки $D (- 1; 3)$ , $E (2; 13)$ і $F (5; 21)$ .
Потрібно перевірити, чи лежать вони на одній прямій. Якщо так — визначити порядок точок.

Розв’язання

Знайдемо відстань $A B$ : $(- 1 - (- 2))^{2} + (- 4 - (- 7))^{2} = 1^{2} + 3^{2} = 10$ .
Знайдемо відстань $B C$ : $(5 - (- 1))^{2} + (14 - (- 4))^{2} = 6^{2} + 1 8^{2} = 36 + 324 = 360 = 610$ .
Знайдемо відстань $A C$ : $(5 - (- 2))^{2} + (14 - (- 7))^{2} = 7^{2} + 2 1^{2} = 49 + 441 = 490 = 710$ .
Оскільки $10 + 610 = 710$ , то точки лежать на одній прямій у порядку $A, B, C$ .
Знайдемо відстань $D E$ : $(2 - (- 1))^{2} + (13 - 3)^{2} = 3^{2} + 1 0^{2} = 9 + 100 = 109$ .
Знайдемо відстань $E F$ : $(5 - 2)^{2} + (21 - 13)^{2} = 3^{2} + 8^{2} = 9 + 64 = 73$ .
Знайдемо відстань $D F$ : $(5 - (- 1))^{2} + (21 - 3)^{2} = 6^{2} + 1 8^{2} = 36 + 324 = 360 = 610$ .
Порівнюємо: $109 + 73 \neq = 610$ (або перевіряємо коефіцієнти кута нахилу). Точки не лежать на одній прямій.

Відповідь:

1) Так, точки $A, B, C$ лежать на одній прямі; точка $B$ лежить між $A$ і $C$ .
2) Ні, точки $D, E, F$ не лежать на одній прямій.

Завдання 8.16

Доведення колінеарності та визначення середини відрізку

Точки $M (- 4; 5)$ , $N (- 10; 7)$ і $K (8; 1)$ .
Потрібно довести, що вони лежать на одній прямій, і вказати, яка точка знаходиться між іншими.

Розв’язання

Знайдемо відстань $M N$ : $(- 10 - (- 4))^{2} + (7 - 5)^{2} = (- 6)^{2} + 2^{2} = 36 + 4 = 40 = 210$ .
Знайдемо відстань $N K$ : $(8 - (- 10))^{2} + (1 - 7)^{2} = 1 8^{2} + (- 6)^{2} = 324 + 36 = 360 = 610$ .
Знайдемо відстань $M K$ : $(8 - (- 4))^{2} + (1 - 5)^{2} = 1 2^{2} + (- 4)^{2} = 144 + 16 = 160 = 410$ .
Оскільки $M N + M K = 210 + 410 = 610 = N K$ , точки лежать на одній прямій, а точка $M$ лежить між $K$ і $N$ .

Відповідь:

Точки $M, N, K$ лежать на одній прямій; точка $M$ знаходиться між точками $K$ і $N$ .

Завдання 8.17

Знаходження невідомої координати за відстанню

Точки $C (3; 2)$ і $D (x; - 1)$ . Відстань між ними дорівнює $5$ .
Потрібно знайти значення $x$ .

Розв’язання

Запишемо рівняння відстані: $(x - 3)^{2} + (- 1 - 2)^{2} = 5$ .
Піднесемо обидві частини до квадрату: $(x - 3)^{2} + (- 3)^{2} = 25$ .
Спростимо рівняння: $(x - 3)^{2} + 9 = 25 \Rightarrow (x - 3)^{2} = 16$ .
Знайдемо корені: $x - 3 = 4$ або $x - 3 = - 4$ .
Розв'яжемо рівняння: $x_{1} = 7$ , $x_{2} = - 1$ .

Відповідь:

Значення $x$ дорівнює $7$ або $- 1$ .

Завдання 8.18

Знаходження невідомої координати за відстанню

При якому значенні $y$ відстань між точками $M (- 2; y)$ і $K (6; - 4)$ дорівнює 10?

Розв’язання

Запишемо рівняння для відстані між точками $M$ і $K$ : $(6 - (- 2))^{2} + (- 4 - y)^{2} = 10$ .
Спростимо вираз під коренем: $8^{2} + (- 4 - y)^{2} = 10$ , тобто $64 + (y + 4)^{2} = 10$ .
Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата, щоб позбутися кореня: $64 + (y + 4)^{2} = 100$ .
Перенесемо число 64 в праву частину: $(y + 4)^{2} = 36$ .
Знайдемо значення виразу в дужках, враховуючи, що квадрат числа може бути додатним або від'ємним ( $\pm$ ): $y + 4 = \pm 6$ .
Розв'яжемо дві рівняння: $y_{1} = - 6 - 4 = - 10$ і $y_{2} = 6 - 4 = 2$ .

Відповідь:

$y = - 10$ або $y = 2$ .

Завдання 8.19

Знаходження точки на осі абсцис за умовою рівновіддаленості

На осі абсцис знайдіть точку, яка рівновіддалена від точок $A (- 1; - 1)$ і $B (2; 4)$ .

Розв’язання

Позначимо координати шуканої точки як $P (x; 0)$ . Відстань $P A = P B$ , тому $P A^{2} = P B^{2}$ .
Запишемо рівняння за формулою відстані: $(x - (- 1))^{2} + (0 - (- 1))^{2} = (x - 2)^{2} + (0 - 4)^{2}$ .
Спростимо вирази: $(x + 1)^{2} + 1 = (x - 2)^{2} + 16$ .
Розкриємо дужки: $x^{2} + 2 x + 1 + 1 = x^{2} - 4 x + 4 + 16$ .
Скоротимо $x^{2}$ і перенесемо всі доданки в ліву частину: $2 x + 2 = - 4 x + 20 \Rightarrow 6 x = 18$ .
Знайдемо $x$ : $x = 3$ . Отже, точка має координати $(3; 0)$ .

Відповідь:

Точка з координатами $(3; 0)$ .

Завдання 8.20

Знаходження точки на осі ординат за умовою рівновіддаленості

Знайдіть координати точки, яка належить осі ординат і рівновіддалена від точок $D (- 2; - 3)$ і $E (4; 1)$ .

Розв’язання

Позначимо координати шуканої точки як $Q (0; y)$ . Відстань $Q D = QE$ , тому $Q D^{2} = Q E^{2}$ .
Запишемо рівняння за формулою відстані: $(0 - (- 2))^{2} + (y - (- 3))^{2} = (0 - 4)^{2} + (y - 1)^{2}$ .
Спростимо вирази: $2^{2} + (y + 3)^{2} = (- 4)^{2} + (y - 1)^{2} \Rightarrow 4 + (y + 3)^{2} = 16 + (y - 1)^{2}$ .
Розкриємо дужки: $4 + y^{2} + 6 y + 9 = 16 + y^{2} - 2 y + 1$ .
Скоротимо $y^{2}$ і перенесемо всі доданки в ліву частину: $6 y + 13 = 17 - 2 y \Rightarrow 8 y = 4$ .
Знайдемо $y$ : $y = 0, 5$ . Отже, точка має координати $(0; 0, 5)$ .

Відповідь:

Точка з координатами $(0; 0, 5)$ .

Сторінка 108

Завдання 8.21

Точка, що ділить відрізок у відношенні

Знайдіть координати точки $P (x; y)$ , яка ділить відрізок $A B$ у відношенні $1 : 3$ , рахуючи від точки $A (5; - 3)$ до точки $B (- 3; 7)$ .

Розв’язання

Підставимо дані в формули для координат: $x = \frac{1 \cdot ( - 3 ) + 3 \cdot 5}{1 + 3}$ , $y = \frac{1 \cdot 7 + 3 \cdot ( - 3 )}{1 + 3}$ .
Обчислимо чисельники та знаменник: $x = \frac{- 3 + 15}{4} = \frac{12}{4} = 3$ , $y = \frac{7 - 9}{4} = \frac{- 2}{4} = - 0, 5$ .

Відповідь:

$(3; - 0, 5)$

Завдання 8.22

Знаходження вершини паралелограма

Чотирикутник $A B C D$ — паралелограм. Координати вершин: $A (- 5; 1)$ , $B (- 4; 4)$ , $C (- 1; 5)$ . Знайдіть координати вершини $D (x; y)$ .

Розв’язання

Обчислимо різницю координат між точками $A$ та $B$ : $Δ x = - 4 - (- 5) = 1$ , $Δ y = 4 - 1 = 3$ .
Додамо ці зміни до координат точки $C$ : $x_{D} = - 1 + 1 = 0$ , $y_{D} = 5 + 3 = 8$ .

Відповідь:

$(0; 8)$

Завдання 8.23

Знаходження вершини паралелограма

Чотирикутник $A B C D$ — паралелограм. Координати вершин: $A (- 2; - 2)$ , $C (4; 1)$ , $D (- 1; 1)$ . Знайдіть координати вершини $B (x; y)$ .

Розв’язання

Знайдемо координати середини діагоналі $A C$ : $x_{M} = \frac{- 2 + 4}{2} = 1$ , $y_{M} = \frac{- 2 + 1}{2} = - 0, 5$ .
Середина відрізка $B D$ має ті самі координати: $\frac{x _{B} + ( - 1 )}{2} = 1$ та $\frac{y _{B} + 1}{2} = - 0, 5$ .
Розв'яжемо рівняння для $x_{B}$ : $x_{B} - 1 = 2 \Rightarrow x_{B} = 3$ . Для $y_{B}$ : $y_{B} + 1 = - 1 \Rightarrow y_{B} = - 2$ .

Відповідь:

$(3; - 2)$

Завдання 8.24

Доведення паралелограма за діагоналями

Чотирикутник $A B C D$ має вершини в точках $A (- 2; 8)$ , $B (3; - 3)$ , $C (6; 2)$ і $D (1; 13)$ . Потрібно довести, що це паралелограм.

Розв’язання

Знайдемо координати середини діагоналі $A C$ :
$x_{M} = \frac{- 2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$ ,
$y_{M} = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$ .
Середина $A C$ — точка $(2; 5)$ .
Знайдемо координати середини діагоналі $B D$ :
$x_{N} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$ ,
$y_{N} = \frac{- 3 + 13}{2} = \frac{10}{2} = 5$ .
Середина $B D$ — точка $(2; 5)$ .

Відповідь:

Оскільки середини діагоналей збігаються в одній точці $(2; 5)$ , чотирикутник $A B C D$ є паралелограмом.

Завдання 8.25

Доведення ромба за діагоналями

Чотирикутник $A B C D$ має вершини в точках $A (- 3; - 2)$ , $B (- 1; 2)$ , $C (1; - 2)$ і $D (- 1; - 6)$ . Потрібно довести, що це ромб.

Розв’язання

Перевіримо середини діагоналей (центр):
Середина $A C$ : $(\frac{- 3 + 1}{2}; \frac{- 2 - 2}{2}) = (- 1; - 2)$ .
Середина $B D$ : $(\frac{- 1 - 1}{2}; \frac{2 - 6}{2}) = (- 1; - 2)$ .
Діагоналі ділять одна одну навпіл.
Перевіримо перпендикулярність діагоналей:
Кутовий коефіцієнт прямої $A C$ ( $k_{1}$ ): $\frac{- 2 - ( - 2 )}{1 - ( - 3 )} = \frac{0}{4} = 0$ . Прямі паралельна осі $O x$ .
Кутовий коефіцієнт прямої $B D$ ( $k_{2}$ ): $\frac{- 6 - 2}{- 1 - ( - 1 )} = \frac{- 8}{0}$ (невизначений). Прямі перпендикулярна до осі $O x$ (паралельна осі $O y$ ).
Оскільки одна пряма горизонтальна, а інша вертикальна, вони перпендикулярні.

Відповідь:

Чотирикутник $A B C D$ є ромбом, оскільки діагоналі перетинаються в одній точці і перпендикулярні до одна одної.

Завдання 8.26

Доведення квадрата за діагоналями

Чотирикутник $A B C D$ має вершини в точках $A (- 2; 6)$ , $B (- 8; - 2)$ , $C (0; - 8)$ і $D (6; 0)$ . Потрібно довести, що це квадрат.

Розв’язання

Знайдемо довжину діагоналі $A C$ :
$A C = (0 - (- 2))^{2} + (- 8 - 6)^{2} = 2^{2} + (- 14)^{2} = 4 + 196 = 200$ .
Знайдемо довжину діагоналі $B D$ :
$B D = (6 - (- 8))^{2} + (0 - (- 2))^{2} = 1 4^{2} + 2^{2} = 196 + 4 = 200$ .
Діагоналі рівні.
Перевіримо перпендикулярність (як у завданні 8.25):
Кутовий коефіцієнт $A C$ : $\frac{- 8 - 6}{0 - ( - 2 )} = \frac{- 14}{2} = - 7$ .
Кутовий коефіцієнт $B D$ : $\frac{0 - ( - 2 )}{6 - ( - 8 )} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$ .
Добуток коефіцієнтів: $- 7 \cdot \frac{1}{7} = - 1$ , отже, прями перпендикулярні.

Відповідь:

Чотирикутник $A B C D$ є квадратом, оскільки діагоналі рівні ( $A C = B D = 200$ ) і перпендикулярні.

Завдання 8.27

Знаходження вершин трикутника за серединами сторін

Точки $D (1; 4)$ і $E (2; 2)$ — середини сторін $A C$ і $B C$ відповідно. Вершина $B$ має координати $(- 3; - 1)$ . Потрібно знайти координати вершин $A$ та $C$ .

Розв’язання

Позначимо координати вершини $A$ як $(x_{A}; y_{A})$ , а вершини $C$ як $(x_{C}; y_{C})$ .
Для відрізка $A C$ : точка $D (1; 4)$ є серединою. Отже, $\frac{x _{A} + x _{C}}{2} = 1$ і $\frac{y _{A} + y _{C}}{2} = 4$ . Звідси отримуємо систему: $x_{A} + x_{C} = 2$ , $y_{A} + y_{C} = 8$ .
Для відрізка $B C$ : точка $E (2; 2)$ є серединою, а кінці — $B (- 3; - 1)$ і $C (x_{C}; y_{C})$ . Отже, $\frac{- 3 + x _{C}}{2} = 2$ і $\frac{- 1 + y _{C}}{2} = 2$ .
Розв'яжемо рівняння для $x_{C}$ : $- 3 + x_{C} = 4 \Rightarrow x_{C} = 7$ . Для $y_{C}$ : $- 1 + y_{C} = 4 \Rightarrow y_{C} = 5$ . Точка $C (7; 5)$ .
Підставимо знайдене $x_{C} = 7$ у рівняння для $A$ : $x_{A} + 7 = 2 \Rightarrow x_{A} = - 5$ . Для $y_{A}$ : $y_{A} + 5 = 8 \Rightarrow y_{A} = 3$ . Точка $A (- 5; 3)$ .

Відповідь:

Вершина $A (- 5; 3)$ , вершина $C (7; 5)$ .

Завдання 8.28

Довжина відрізка з серединою на осях координат

Кінці відрізка належать осям координат, а його серединою є точка $M (- 3; 8)$ . Потрібно знайти довжину цього відрізка.

Розв’язання

Нехай один кінець відрізка — точка $P (x; 0)$ на осі $O x$ , а інший — точка $Q (0; y)$ на осі $O y$ .
Координати середини $M (- 3; 8)$ дають рівняння: $\frac{x + 0}{2} = - 3$ і $\frac{0 + y}{2} = 8$ .
З першого рівняння: $x = - 6$ . З другого: $y = 16$ . Кінці відрізка: $P (- 6; 0)$ і $Q (0; 16)$ .
Обчислимо відстань між точками $P$ і $Q$ за формулою $d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$ .
Підставимо значення: $d = (0 - (- 6))^{2} + (16 - 0)^{2} = 6^{2} + 1 6^{2} = 36 + 256 = 292$ .
Спростимо корінь: $292 = 4 \cdot 73 = 273$ .

Відповідь:

$273$ .

Завдання 8.29

Знаходження третьої вершини рівностороннього трикутника

Дано дві вершини рівностороннього трикутника $A B C$ : $A (2; - 3)$ і $B (- 2; 3)$ . Потрібно знайти координати третьої вершини $C (x; y)$ .

Розв’язання

Знайдемо довжину сторони $A B$ : $A B = (- 2 - 2)^{2} + (3 - (- 3))^{2} = (- 4)^{2} + 6^{2} = 16 + 36 = 52$ .
Запишемо вирази для $A C$ і $B C$ : $A C^{2} = (x - 2)^{2} + (y - (- 3))^{2} = (x - 2)^{2} + (y + 3)^{2}$ , $B C^{2} = (x - (- 2))^{2} + (y - 3)^{2} = (x + 2)^{2} + (y - 3)^{2}$ .
Оскільки трикутник рівносторонній, то $A C^{2} = B C^{2}$ . Прирівняємо квадрати відстаней: $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = (x + 2)^{2} + (y - 3)^{2}$ .
Розкриємо дужки: $x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} + 6 y + 9 = x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 6 y + 9$ . Скорочуємо однакові доданки і отримуємо: $- 4 x + 6 y = 4 x - 6 y \Rightarrow 8 x - 12 y = 0 \Rightarrow 2 x = 3 y \Rightarrow x = 1, 5 y$ .
Тепер використаємо умову $A C^{2} = A B^{2}$ (або $B C^{2} = A B^{2}$ ). Підставимо $x = 1, 5 y$ у вираз для $A C^{2}$ : $(1, 5 y - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 52$ .
Розкриємо дужки: $2, 25 y^{2} - 6 y + 4 + y^{2} + 6 y + 9 = 52 \Rightarrow 3, 25 y^{2} + 13 = 52 \Rightarrow 3, 25 y^{2} = 39$ .
Знайдемо $y$ : $y^{2} = \frac{39}{3 , 25} = \frac{3900}{325} = 12$ . Отже, $y = 12$ або $y = - 12$ .
Знайдемо відповідні значення $x$ : якщо $y = 12$ , то $x = 1, 512 = \frac{3}{2} 12 = \frac{3}{2} \cdot 23 = 33$ . Якщо $y = - 12$ , то $x = - 33$ .
Перевіримо, чи не є точка $C$ на прямій $A B$ . Прямі $A B$ проходить через середину відрізка $A B$ , який має координати $(0; 0)$ . Точки $C (33; 12)$ та $(- 33; - 12)$ не лежать на цій прямій, тому обидва варіанти є правильними.

Відповідь:

Координати вершини $C$ : $(33; 23)$ або $(- 33; - 23)$ . (Примітка: $12 = 23$ ).

Завдання 8.30

Вершина рівностороннього трикутника

Знайти координати вершини $E$ рівностороннього трикутника $D E F$ , якщо $D (- 6; 0)$ і $F (2; 0)$ .

Розв’язання

Знайдемо довжину сторони $D F$ : $∣2 - (- 6) ∣ = 8$ . Оскільки трикутник рівносторонній, то $D E = E F = D F = 8$ .
Координати середини відрізка $D F$ (точка $K$ ): $x_{K} = \frac{- 6 + 2}{2} = - 2$ , $y_{K} = 0$ . Точка $E$ має координати $(- 2; y)$ .
Знайдемо висоту трикутника за теоремою Піфагора в трикутнику $D K E$ : $D E^{2} = D K^{2} + K E^{2} \Rightarrow 8^{2} = 4^{2} + y^{2} \Rightarrow 64 = 16 + y^{2} \Rightarrow y^{2} = 48$ .
Знайдемо значення $y$ : $y = 48 = 43$ . Точка $E$ може бути вище або нижче осі $x$ , тому є дві відповіді.

Відповідь:

$E (- 2; 43)$ або $E (- 2; - 43)$ .

Завдання 8.31

Знаходження координат точки за умовою рівності відрізків

Відомо, що $A B = B C$ , точка $A (5; 9)$ , точка $C (1; - 3)$ . Модулі координат точки $B$ рівні ( $∣ x_{B} ∣ = ∣ y_{B} ∣$ ). Знайти координати точки $B$ .

Розв’язання

Знайдемо довжину відрізка $A C$ : $A C = (5 - 1)^{2} + (9 - (- 3))^{2} = 4^{2} + 1 2^{2} = 16 + 144 = 160 = 410$ .
Оскільки $A B = B C$ , то $B$ — середина відрізка, що дорівнює половині $A C$ , або $B$ лежить на серединному перпендикулярі. Але умова $A B = B C$ означає, що $B$ лежить на серединному перпендикулярі до $A C$ .
Знайдемо рівняння прямої $A C$ : кутовий коефіцієнт $k_{A C} = \frac{9 - ( - 3 )}{5 - 1} = \frac{12}{4} = 3$ . Рівняння: $y - 9 = 3 (x - 5) \Rightarrow y = 3 x - 6$ .
Знайдемо рівняння серединного перпендикуляра: проходить через середину $A C (3; 3)$ і має кутовий коефіцієнт $- 1/3$ . Рівняння: $y - 3 = - \frac{1}{3} (x - 3) \Rightarrow y = - \frac{1}{3} x + 4$ .
Знайдемо точки перетину серединного перпендикуляра з прямими $y = x$ та $y = - x$ :
а) Перетин з $y = x$ : $x = - \frac{1}{3} x + 4 \Rightarrow \frac{4}{3} x = 4 \Rightarrow x = 3, y = 3$ . Точка $(3; 3)$ — це середина відрізка $A C$ , але для неї $A B = 0 \neq = B C$ (якщо $B$ збігається з серединою, то $A B = B C$ , але зазвичай шукають іншу точку). Перевіримо: якщо $B (3; 3)$ , то $A (5; 9), C (1; - 3)$ . $A B = 2^{2} + 6^{2} = 40$ , $B C = (- 2)^{2} + (- 6)^{2} = 40$ . Це підходить.
б) Перетин з $y = - x$ : $- x = - \frac{1}{3} x + 4 \Rightarrow - \frac{2}{3} x = 4 \Rightarrow x = - 6, y = 6$ . Точка $(- 6; 6)$ .

Відповідь:

$B (3; 3)$ або $B (- 6; 6)$ .

Завдання 8.32

Відстань між об'єктами на плані парку

На плані парку точки: $A (0; 0)$ — вхід до парку, $B (6; 4)$ — фонтан, $C (18; 9)$ — вхід на дитячий майданчик. Масштаб: 1 одиничний відрізок = 5 м. Знайти відстань: 1) від входу до фонтана ( $A B$ ); 2) від фонтана до дитячого майданчика ( $B C$ ).

Розв’язання

Знайдемо відстань $A B$ : $(6 - 0)^{2} + (4 - 0)^{2} = 36 + 16 = 52 \approx 7, 21$ одиничних відрізків.
Переведемо в метри: $7, 21 \times 5 \approx 36, 05$ м. (Точніше $52 \cdot 5 = 213 \cdot 5 = 1013$ ).
Знайдемо відстань $B C$ : $(18 - 6)^{2} + (9 - 4)^{2} = 1 2^{2} + 5^{2} = 144 + 25 = 169 = 13$ одиничних відрізків.
Переведемо в метри: $13 \times 5 = 65$ м.

Відповідь:

1) приблизно 36,1 м; 2) 65 м.

Сторінка 109

Завдання 8.33

Відстані між точками на карті міста

Будинок Олени — $M (1; 1)$ , бібліотека — $A (3; 5)$ , кафе — $B (- 1; 2)$ .
1) Який об'єкт ближчий до будинку?
2) Знайти координати середини відрізка $M A$ (місце зустрічі).

Розв’язання

Знайдемо відстань $M A$ : $(3 - 1)^{2} + (5 - 1)^{2} = 2^{2} + 4^{2} = 4 + 16 = 20$ .
Знайдемо відстань $M B$ : $(- 1 - 1)^{2} + (2 - 1)^{2} = (- 2)^{2} + 1^{2} = 4 + 1 = 5$ .
Порівнюємо: $5 < 20$ , отже кафе ближче.
Знайдемо координати середини відрізка $M A$ : $x = \frac{1 + 3}{2} = 2$ , $y = \frac{1 + 5}{2} = 3$ .

Відповідь:

1) Кафе; 2) $(2; 3)$ .

Завдання 8.34

Довжина медіани в прямокутному трикутнику

$△ A B C$ , $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 9$ см, $B C = 3$ см. Точка $M$ на гіпотенузі $A B$ така, що $A M : M B = 1 : 2$ . Знайти $C M$ .

Розв’язання

Знайдемо $A C$ за теоремою Піфагора: $A C = A B^{2} - B C^{2} = 9^{2} - 3^{2} = 81 - 9 = 72 = 62$ .
Знайдемо довжину відрізка $A M$ : оскільки $A M : M B = 1 : 2$ , то $A M = \frac{1}{3} A B = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$ см.
Порівнюємо $A C$ і $A M$ : $A C = 62 \approx 8, 48$ , $A M = 3$ . Це не медіана (катет $\neq =$ половина гіпотенузи). Треба розв'язувати через координати або властивість медіани.
Розмістимо $C (0; 0)$ , $A (62; 0)$ , $B (0; 3)$ . Точка $M$ ділить $A B$ у відношенні $1 : 2$ , рахуючи від $A$ .
Координати $M$ : $x_{M} = \frac{2 \cdot x _{A} + 1 \cdot x _{B}}{3} = \frac{2 \cdot 6 2 + 0}{3} = 42$ ; $y_{M} = \frac{2 \cdot y _{A} + 1 \cdot y _{B}}{3} = \frac{0 + 3}{3} = 1$ .
Точка $M (42; 1)$ .
Знайдемо $C M$ : $(42 - 0)^{2} + (1 - 0)^{2} = 32 + 1 = 33$ .

Відповідь:

$33$ см.

Завдання 8.35

Кути ромба за кутом між висотою та діагоналлю

Кут між висотою та діагоналлю ромба, проведеними з однієї вершини, дорівнює $2 8^{\circ}$ . Знайти кути ромба.

Розв’язання

Нехай кут між діагоналлю і висотою $∠ H A C = 2 8^{\circ}$ (або інший варіант, результат буде симетричним). Оскільки діагональ є бісектрисою, то $∠ B A C = 2 \cdot ∠ H A C$ — це не так, бо кут між висотою і діагоналлю не обов'язково половина.
Розглянемо трикутник $A B H$ ( $H$ — основа висоти на $B C$ ). Кут $∠ A H B = 9 0^{\circ}$ .
У ромбі кути протилежні рівні, сумі сусідніх $18 0^{\circ}$ . Діагональ ділить кут навпіл.
Нехай кут між діагоналлю і висотою $α = 2 8^{\circ}$ .
У прямокутному трикутнику $A B H$ (де $A H ⊥ B C$ ) кут при вершині $B$ пов'язаний з кутом $B A H$ .
Кут $B A H = ∠ B A D /2$ ? Ні, діагональ $A C$ не проходить через $H$ .
Правильний підхід: У прямокутному трикутнику $A B H$ ( $A H ⊥ B C$ ) кут $∠ H A C$ — це різниця між кутом $A$ ромба і кутом бісектриси? Ні.
Розглянемо трикутник $A B C$ . $A C$ — діагональ, $A H$ — висота до $B C$ .
Кут $∠ C A H = 2 8^{\circ}$ . Оскільки $A B C D$ — ромб, то $A B ∥ C D$ , $A D ∥ B C$ .
У прямокутному трикутнику $A H C$ ( $∠ H = 9 0^{\circ}$ ) кут $∠ A C H = 9 0^{\circ} - 2 8^{\circ} = 6 2^{\circ}$ .
Оскільки $A C$ — діагональ, вона ділить кут $C$ навпіл. Отже, весь кут $C = 2 \cdot 6 2^{\circ} = 12 4^{\circ}$ .
Тоді сусідній кут $B = 18 0^{\circ} - 12 4^{\circ} = 5 6^{\circ}$ .

Відповідь:

Кути ромба дорівнюють $5 6^{\circ}$ і $12 4^{\circ}$ .

Сторінка 110

Завдання 8.36

Побудова кола за умовою

Зобразіть на координатній площині геометричне місце точок, віддалених від точки $M (2; - 3)$ на 6 одиничних відрізків.

Розв’язання

Відкладіть на координатній площині точку $M$ з абсцисою $x = 2$ та ординатою $y = - 3$ .
Оскільки побудувати коло ручкою неможливо, опишіть його як фігуру: це коло з центром у точці $(2; - 3)$ і радіусом $R = 6$ .

Відповідь:

Коло з центром $M (2; - 3)$ і радіусом $6$ .

Завдання 8.37

Знаходження радіуса кола

Точка $A (1; - 6)$ — центр кола, точка $B (10; 6)$ належить цьому колу. Чому дорівнює радіус кола?

Розв’язання

Запишемо координати: центр $(x_{1}; y_{1}) = (1; - 6)$ , точка на колі $(x_{2}; y_{2}) = (10; 6)$ .
Обчислимо різницю координат: $x_{2} - x_{1} = 10 - 1 = 9$ , $y_{2} - y_{1} = 6 - (- 6) = 12$ .
Підставимо у формулу відстані: $R = 9^{2} + 1 2^{2} = 81 + 144 = 225$ .
Знайдемо квадратний корінь: $225 = 15$ .

Відповідь:

$15$ .

Завдання 8.38

Властивості діаметра кола

Відрізок $C D$ — діаметр кола. Знайдіть координати центра кола та радіус кола, якщо $C (6; - 4)$ , $D (- 2; 10)$ .

Розв’язання

Знайдемо координати центра $O$ : $x_{O} = \frac{6 + ( - 2 )}{2} = \frac{4}{2} = 2$ , $y_{O} = \frac{- 4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3$ . Центр $(2; 3)$ .
Знайдемо довжину діаметра $C D$ : $C D = (- 2 - 6)^{2} + (10 - (- 4))^{2} = (- 8)^{2} + 1 4^{2} = 64 + 196 = 260$ .
Спростимо $260$ : $4 \cdot 65 = 265$ .
Знайдемо радіус $R$ : $R = \frac{C D}{2} = \frac{2 65}{2} = 65$ .

Відповідь:

Центр $(2; 3)$ , радіус $65$ .

Завдання 8.39

Графіки рівнянь

Визначити, яка геометрична фігура відповідає кожному з наведених рівнянь:
1) $y = 1$ ;
2) $y = 3 x - 4$ ;
3) $x = - 2$ ;
4) $(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 0$ ;
5) $x y = 1$ ;
6) $y = x$ .

Розв’язання

Для рівнянь 1), 2), 3) та 6) це графіки функцій, які є частинами кривих ліній або прямими.
Рівняння 4) має вигляд $(x - (- 2))^{2} + (y - 3)^{2} = 0$ , що означає відстань від точки до центру $(- 2; 3)$ дорівнює нулю, тобто це одна точка.
Рівняння 5) $x y = 1$ або $y = \frac{1}{x}$ описує гіперболу.

Відповідь:

1) пряма;
2) пряма;
3) пряма;
4) точка;
5) гіпербола;
6) частина параболи (гілка параболи).

Сторінка 114

Завдання 9.3

Заповнення таблиці рівнянь кола

Для трьох заданих рівнянь кола потрібно знайти координати центра та радіус кола:
1) $(x + 9)^{2} + (y + 2)^{2} = 100$ ;
2) $x^{2} + (y - 6)^{2} = 4$ ;
3) $(x - 12)^{2} + (y + 13)^{2} = 5$ .

Розв’язання

Для рівняння $(x + 9)^{2} + (y + 2)^{2} = 100$ : переписуємо як $(x - (- 9))^{2} + (y - (- 2))^{2} = 1 0^{2}$ . Центр $(- 9; - 2)$ , радіус $100 = 10$ .
Для рівняння $x^{2} + (y - 6)^{2} = 4$ : переписуємо як $(x - 0)^{2} + (y - 6)^{2} = 2^{2}$ . Центр $(0; 6)$ , радіус $4 = 2$ .
Для рівняння $(x - 12)^{2} + (y + 13)^{2} = 5$ : переписуємо як $(x - 12)^{2} + (y - (- 13))^{2} = (5)^{2}$ . Центр $(12; - 13)$ , радіус $5$ .

Відповідь:

1) Центр $(- 9; - 2)$ , радіус $10$ ;
2) Центр $(0; 6)$ , радіус $2$ ;
3) Центр $(12; - 13)$ , радіус $5$ .

Завдання 9.4

Складання рівнянь кола за центром і радіусом

Скласти рівняння кола, якщо відомо координати його центра $A$ та радіус $R$ :
1) $A (3; 4)$ , $R = 4$ ;
2) $A (- 2; 0)$ , $R = 1$ ;
3) $A (7; - 6)$ , $R = 2$ ;
4) $A (0; 5)$ , $R = 7$ .

Розв’язання

Записуємо загальну формулу $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ .
Для пункту 1): $a = 3$ , $b = 4$ , $R = 4$ . Підставляємо: $(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 4^{2} \Rightarrow (x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 16$ .
Для пункту 2): $a = - 2$ , $b = 0$ , $R = 1$ . Підставляємо: $(x - (- 2))^{2} + (y - 0)^{2} = 1^{2} \Rightarrow (x + 2)^{2} + y^{2} = 1$ .
Для пункту 3): $a = 7$ , $b = - 6$ , $R = 2$ . Підставляємо: $(x - 7)^{2} + (y - (- 6))^{2} = (2)^{2} \Rightarrow (x - 7)^{2} + (y + 6)^{2} = 2$ .
Для пункту 4): $a = 0$ , $b = 5$ , $R = 7$ . Підставляємо: $(x - 0)^{2} + (y - 5)^{2} = (7)^{2} \Rightarrow x^{2} + (y - 5)^{2} = 7$ .

Відповідь:

1) $(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 16$ ;
2) $(x + 2)^{2} + y^{2} = 1$ ;
3) $(x - 7)^{2} + (y + 6)^{2} = 2$ ;
4) $x^{2} + (y - 5)^{2} = 7$ .

Завдання 9.5

Складання рівнянь кола за центром і радіусом

Скласти рівняння кола, якщо відомо координати його центра $B$ та радіус $R$ :
1) $B (- 1; 9)$ , $R = 9$ ;
2) $B (- 8; - 8)$ , $R = 3$ .

Розв’язання

Для пункту 1): Центр $(- 1; 9)$ означає $a = - 1$ , $b = 9$ . Радіус $R = 9$ . Формула стає $(x - (- 1))^{2} + (y - 9)^{2} = 9^{2}$ , що спрощується до $(x + 1)^{2} + (y - 9)^{2} = 81$ .
Для пункту 2): Центр $(- 8; - 8)$ означає $a = - 8$ , $b = - 8$ . Радіус $R = 3$ . Формула стає $(x - (- 8))^{2} + (y - (- 8))^{2} = (3)^{2}$ , що спрощується до $(x + 8)^{2} + (y + 8)^{2} = 3$ .

Відповідь:

1) $(x + 1)^{2} + (y - 9)^{2} = 81$ ;
2) $(x + 8)^{2} + (y + 8)^{2} = 3$ .

Сторінка 115

Завдання 9.6

Координати центра та радіус кола за графіком

Для чотирьох коло (а, б, в, г) на рисунку 9.6 визначити координати центра та радіус і записати рівняння кожного з них.

Розв’язання

Малюнок а: Центр у початку координат $(0; 0)$ , радіус $R = 3$ . Рівняння: $x^{2} + y^{2} = 9$ .
Малюнок б: Центр на осі $y$ у точці $(0; 1)$ , радіус $R = 1$ . Рівняння: $x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ .
Малюнок в: Центр у точці $(- 3; 0)$ , радіус $R = 1$ . Рівняння: $(x + 3)^{2} + y^{2} = 1$ .
Малюнок г: Центр у точці $(2; 3)$ , радіус $R = 2^{2} + 3^{2} = 13$ (або просто візуально — відстань до осей). Проте на малюнку видно, що коло проходить через початок координат і точки $(4; 0)$ та $(0; 6)$ . Тоді центр $C (2; 3)$ , радіус $R = (4 - 2)^{2} + (0 - 3)^{2} = 13$ . Рівняння: $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 13$ .

Відповідь:

а) Центр $(0; 0)$ , радіус $3$ , рівняння $x^{2} + y^{2} = 9$ ; б) Центр $(0; 1)$ , радіус $1$ , рівняння $x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ ; в) Центр $(- 3; 0)$ , радіус $1$ , рівняння $(x + 3)^{2} + y^{2} = 1$ ; г) Центр $(2; 3)$ , радіус $13$ , рівняння $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 13$ .

Завдання 9.7

Складання рівняння кола за центром та радіусом

Радіус кола із центром у точці $A$ дорівнює $4$ . Для двох випадків (а, б) на рисунку 9.7 знайти координати точки $A$ і скласти рівняння кола.

Розв’язання

Малюнок а: Точка $A$ лежить на осі абсцис, відстань до початку координат дорівнює радіусу $4$ , але знаходиться зліва, отже $a = - 4$ . Координати центру $(- 4; 0)$ . Рівняння: $(x + 4)^{2} + y^{2} = 16$ .
Малюнок б: Точка $A$ має координати $(2; - 3)$ (відстань до осі $y$ — $2$ , до осі $x$ — $3$ вниз). Радіус $R = 4$ . Рівняння: $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$ .

Відповідь:

а) Центр $(- 4; 0)$ , рівняння $(x + 4)^{2} + y^{2} = 16$ ; б) Центр $(2; - 3)$ , рівняння $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$ .

Завдання 9.8

Побудова кола за рівнянням

Побудувати на координатній площині коло з рівняннями: 1) $x^{2} + y^{2} = 4$ ; 2) $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$ .

Розв’язання

Рівняння $x^{2} + y^{2} = 4$ : Центр у початку координат $(0; 0)$ , радіус $R = 4 = 2$ . Будуємо коло з центром в $(0; 0)$ , що проходить через точки $(2; 0), (- 2; 0), (0; 2), (0; - 2)$ .
Рівняння $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$ : Центр у точці $(- 1; 2)$ , радіус $R = 25 = 5$ . Будуємо коло з центром в $(- 1; 2)$ , що проходить через точки $(4; 2), (- 6; 2), (- 1; 7), (- 1; - 3)$ .

Відповідь:

1) Коло з центром $(0; 0)$ та радіусом $2$ ; 2) Коло з центром $(- 1; 2)$ та радіусом $5$ .

Сторінка 116

Завдання 9.9

Побудова кола за рівнянням

Побудувати коло, рівняння якого має вигляд $(x - 4)^{2} + y^{2} = 9$ .

Розв’язання

Рівняння $(x - 4)^{2} + (y - 0)^{2} = 3^{2}$ показує, що центр кола знаходиться в точці з координатами $(4; 0)$ , а радіус дорівнює $R = 9 = 3$ .
Для побудови відкладаємо на осі абсцис точку центру $O (4; 0)$ . Від неї вгору та вниз відкладаємо відрізок довжиною $3$ одиниці, щоб знайти точки перетину з площиною кола.

Відповідь:

Коло з центром у точці $(4; 0)$ і радіусом $3$ .

Завдання 9.10

Перевірка положень точок відносно кола

Коло задано рівнянням $(x + 6)^{2} + (y - 1)^{2} = 10$ . Потрібно визначити, які з точок $A (- 3; 0)$ , $B (- 5; - 2)$ , $C (1; 0)$ , $D (- 4; 3)$ , $E (- 7; - 3)$ , $F (- 9; 0)$ лежать: 1) на колі; 2) усередині кола; 3) поза колом.

Розв’язання

Центр кола $O (- 6; 1)$ , радіус $R = 10$ . Квадрат радіуса $R^{2} = 10$ .
Перевірка точок (обчислення $(x - (- 6))^{2} + (y - 1)^{2}$ ):
- Для точки $A (- 3; 0)$ : $(- 3 + 6)^{2} + (0 - 1)^{2} = 9 + 1 = 10$ . Оскільки $10 = R^{2}$ , точка $A$ лежить на колі.
- Для точки $B (- 5; - 2)$ : $(- 5 + 6)^{2} + (- 2 - 1)^{2} = 1 + 9 = 10$ . Точка $B$ лежить на колі.
- Для точки $C (1; 0)$ : $(1 + 6)^{2} + (0 - 1)^{2} = 49 + 1 = 50$ . Оскільки $50 > 10$ , точка $C$ поза колом.
- Для точки $D (- 4; 3)$ : $(- 4 + 6)^{2} + (3 - 1)^{2} = 4 + 4 = 8$ . Оскільки $8 < 10$ , точка $D$ усередині кола.
- Для точки $E (- 7; - 3)$ : $(- 7 + 6)^{2} + (- 3 - 1)^{2} = 1 + 16 = 17$ . Оскільки $17 > 10$ , точка $E$ поза колом.
- Для точки $F (- 9; 0)$ : $(- 9 + 6)^{2} + (0 - 1)^{2} = 9 + 1 = 10$ . Точка $F$ лежить на колі.

Відповідь:

На колі: $A, B, F$ ; усередині кола: $D$ ; поза колом: $C, E$ .

Завдання 9.11

Перевірка належності точок колу

Чи належить колу $(x - 2)^{2} + (y + 2)^{2} = 100$ точка: 1) $A (8; - 8)$ ; 2) $B (6; - 9)$ ; 3) $C (- 3; 7)$ ; 4) $D (- 4; 6)$ ?

Розв’язання

Для точки $A (8; - 8)$ : $(8 - 2)^{2} + (- 8 + 2)^{2} = 6^{2} + (- 6)^{2} = 36 + 36 = 72$ . Оскільки $72 \neq = 100$ , точка $A$ не належить колу (вона всередині).
Для точки $B (6; - 9)$ : $(6 - 2)^{2} + (- 9 + 2)^{2} = 4^{2} + (- 7)^{2} = 16 + 49 = 65$ . Оскільки $65 \neq = 100$ , точка $B$ не належить колу (вона всередині).
Для точки $C (- 3; 7)$ : $(- 3 - 2)^{2} + (7 + 2)^{2} = (- 5)^{2} + 9^{2} = 25 + 81 = 106$ . Оскільки $106 \neq = 100$ , точка $C$ не належить колу (вона поза колом).
Для точки $D (- 4; 6)$ : $(- 4 - 2)^{2} + (6 + 2)^{2} = (- 6)^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$ . Оскільки $100 = 100$ , точка $D$ належить колу.

Відповідь:

Точка, що належить колу — лише $D (- 4; 6)$ . Інші точки не належать колу.

Завдання 9.12

Знаходження точок на колі за координатами

Дано коло $x^{2} + y^{2} = 100$ . Потрібно знайти точки: 1) з абсцисою $6$ ; 2) з ординатою $9$ . Також визначити кількість спільних точок кола з осями координат і знайти їх.

Розв’язання

Знайдемо точку з абсцисою $6$ : підставляємо $x = 6$ у рівняння $x^{2} + y^{2} = 100$ , отримуємо $36 + y^{2} = 100 \Rightarrow y^{2} = 64 \Rightarrow y = \pm 8$ . Точки: $(6; 8)$ і $(6; - 8)$ .
Знайдемо точку з ординатою $9$ : підставляємо $y = 9$ у рівняння $x^{2} + y^{2} = 100$ , отримуємо $x^{2} + 81 = 100 \Rightarrow x^{2} = 19 \Rightarrow x = \pm 19$ . Точки: $(19; 9)$ і $(- 19; 9)$ .
Знайдемо перетин з осями координат (підставляємо $x = 0$ або $y = 0$ ): $0 + y^{2} = 100 \Rightarrow y = \pm 10$ , отже точки $(0; 10)$ і $(0; - 10)$ . Аналогічно для осі абсцис: $x^{2} = 100 \Rightarrow x = \pm 10$ , отже точки $(10; 0)$ і $(- 10; 0)$ . Разом 4 спільні точки.

Відповідь:

Точки з абсцисою 6: $(6; 8), (6; - 8)$ ; точки з ординатою 9: $(19; 9), (- 19; 9)$ . Коло має 4 спільні точки з осями координат: $(0; 10), (0; - 10), (10; 0), (- 10; 0)$ .

Завдання 9.13

Перетин кола з осями координат

Дано коло $(x - 4)^{2} + (y + 3)^{2} = 13$ . Потрібно перевірити, чи перетинає воно: 1) вісь абсцис; 2) вісь ординат. Якщо так — знайти координати точок перетину.

Розв’язання

Перевірка вісі абсцис ( $y = 0$ ): $(x - 4)^{2} + (0 + 3)^{2} = 13 \Rightarrow (x - 4)^{2} + 9 = 13 \Rightarrow (x - 4)^{2} = 4$ . Корені: $x - 4 = \pm 2$ , звідки $x = 6$ або $x = 2$ . Точки перетину існують.
Перевірка осі ординат ( $x = 0$ ): $(0 - 4)^{2} + (y + 3)^{2} = 13 \Rightarrow 16 + (y + 3)^{2} = 13 \Rightarrow (y + 3)^{2} = - 3$ . Оскільки квадрат числа не може бути від'ємним, рівняння не має дійсних коренів. Перетину з віссю ординат немає.

Відповідь:

Коло перетинає вісь абсцис у точках $(2; 0)$ і $(6; 0)$ . Коло не перетинає вісь ординат.

Завдання 9.14

Складання рівняння кола за центром і точкою на колі

Потрібно скласти рівняння кола, центр якого $M (- 3; 1)$ , а коло проходить через точку $K (- 1; 5)$ .

Розв’язання

Знайдемо квадрат радіуса $R^{2}$ як відстань між центром $M (- 3; 1)$ і точкою $K (- 1; 5)$ : $R^{2} = (- 1 - (- 3))^{2} + (5 - 1)^{2} = 2^{2} + 4^{2} = 4 + 16 = 20$ .
Підставимо координати центра $(a = - 3, b = 1)$ та знайдене $R^{2} = 20$ у формулу рівняння кола: $(x - (- 3))^{2} + (y - 1)^{2} = 20$ .

Відповідь:

Рівняння кола має вигляд $(x + 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 20$ .

Завдання 9.15

Рівняння кола за центром і точкою на колі

Скласти рівняння кола із центром у точці $A (4; - 2)$ , яке проходить через точку $C (1; 0)$ .

Розв’язання

Обчислимо радіус $R$ як відстань між центром $A (4; - 2)$ і точкою $C (1; 0)$ за формулою відстані: $R = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} = (1 - 4)^{2} + (0 - (- 2))^{2} = (- 3)^{2} + 2^{2} = 9 + 4 = 13$ .
Підставимо координати центру $(a = 4, b = - 2)$ та значення $R^{2} = 13$ у стандартне рівняння кола: $(x - 4)^{2} + (y - (- 2))^{2} = 13$ .

Відповідь:

$(x - 4)^{2} + (y + 2)^{2} = 13$ .

Завдання 9.16

Заповнення таблиці властивостей кола

За даними координатах кінців діаметра знайти координати центра, радіус та рівняння кола для двох випадків: а) кінці $(6; - 1)$ і $(- 2; 3)$ ; б) кінці $(- 3; 7)$ і $(9; - 7)$ .

Розв’язання

Для першого випадку $(6; - 1)$ і $(- 2; 3)$ :
Центр: $x_{c} = \frac{6 + ( - 2 )}{2} = 2$ , $y_{c} = \frac{- 1 + 3}{2} = 1$ . Радіус: $R = (6 - (- 2))^{2} + (- 1 - 3)^{2} /2 = 8^{2} + (- 4)^{2} /2 = 80 /2 = 20$ .
Рівняння: $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 20$ .
Для другого випадку $(- 3; 7)$ і $(9; - 7)$ :
Центр: $x_{c} = \frac{- 3 + 9}{2} = 3$ , $y_{c} = \frac{7 + ( - 7 )}{2} = 0$ . Радіус: $R = (9 - (- 3))^{2} + (- 7 - 7)^{2} /2 = 1 2^{2} + (- 14)^{2} /2 = 144 + 196 /2 = 340 /2 = 85$ .
Рівняння: $(x - 3)^{2} + y^{2} = 85$ .

Відповідь:

1) Центр $(2; 1)$ , радіус $20$ , рівняння $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 20$ ;
2) Центр $(3; 0)$ , радіус $85$ , рівняння $(x - 3)^{2} + y^{2} = 85$ .

Завдання 9.17

Рівняння кола за діаметром

Скласти рівняння кола, діаметром якого є відрізок $A B$ , якщо $A (2; - 7)$ і $B (- 2; 3)$ .

Розв’язання

Знайдемо координати центру $O (x_{0}; y_{0})$ як середину відрізка $A B$ : $x_{0} = \frac{2 + ( - 2 )}{2} = 0$ , $y_{0} = \frac{- 7 + 3}{2} = - 2$ . Центр $(0; - 2)$ .
Обчислимо довжину діаметра $d = A B = (- 2 - 2)^{2} + (3 - (- 7))^{2} = (- 4)^{2} + 1 0^{2} = 16 + 100 = 116$ .
Радіус $R = \frac{116}{2} = \frac{116}{4} = 29$ . Тоді $R^{2} = 29$ .
Запишемо рівняння кола: $(x - 0)^{2} + (y - (- 2))^{2} = 29$ , що спрощується до $x^{2} + (y + 2)^{2} = 29$ .

Відповідь:

$x^{2} + (y + 2)^{2} = 29$ .

Завдання 9.18

Доведення, що відрізок є діаметром кола

Довести, що відрізок $A B$ є діаметром кола $(x - 5)^{2} + (y + 4)^{2} = 17$ , якщо $A (1; - 5)$ , $B (9; - 3)$ .

Розв’язання

З рівняння кола $(x - 5)^{2} + (y + 4)^{2} = 17$ знаходимо центр $O (5; - 4)$ та радіус $R = 17$ .
Обчислюємо відстань від центра $O (5; - 4)$ до точки $A (1; - 5)$ за формулою: $(5 - 1)^{2} + (- 4 - (- 5))^{2} = 4^{2} + 1^{2} = 16 + 1 = 17$ .
Обчислюємо відстань від центра $O (5; - 4)$ до точки $B (9; - 3) : (9 - 5)^{2} + (- 3 - (- 4))^{2} = 4^{2} + 1^{2} = 16 + 1 = 17$ .

Відповідь:

Оскільки відстань від центра кола до точок $A$ і $B$ дорівнює радіусу ( $O A = O B = R = 17$ ), точка $A$ лежить на колі, а точка $B$ також лежить на колі. Отже, відрізок $A B$ є хордою довжиною $2 R$ , тобто діаметром кола.

Завдання 9.19

Доведення, що відрізок є хордою кола

Довести, що відрізок $C D$ є хордою кола $x^{2} + (y - 9)^{2} = 169$ , якщо координати кінців відрізка $C (5; - 3)$ та $D (- 12; 4)$ .

Розв’язання

Перевіримо належність точки $C (5; - 3)$ колу, підставивши її координати у рівняння $x^{2} + (y - 9)^{2} = 169$ :
$5^{2} + (- 3 - 9)^{2} = 25 + (- 12)^{2} = 25 + 144 = 169$ . Оскільки $169 = 169$ , точка $C$ належить колу.
Перевіримо належність точки $D (- 12; 4)$ колу:
$(- 12)^{2} + (4 - 9)^{2} = 144 + (- 5)^{2} = 144 + 25 = 169$ . Оскільки $169 = 169$ , точка $D$ також належить колу.

Відповідь:

Відрізок $C D$ є хордою кола, оскільки обидві його кінці $C (5; - 3)$ та $D (- 12; 4)$ належать цьому колу.

Сторінка 117

Завдання 9.21

Рівняння кола за умовою дотику до осі абсцис

Скласти рівняння кола, центр якого знаходиться на прямій $y = - 5$ та яке дотикається до осі абсцис у точці $S (2; 0)$ .

Розв’язання

Оскільки центр лежить на прямій $y = - 5$ , його ордината дорівнює $- 5$ . Точка дотику з віссю $O x$ має координати $(2; 0)$ , отже абсциса центра $x_{0} = 2$ . Центр має вигляд $(2; - 5)$ .
Відстань від центра $(2; - 5)$ до осі абсцис ( $y = 0$ ) дорівнює модулю ординати центра: $R = ∣ - 5∣ = 5$ .
Підставимо координати центра $(x_{0} = 2, y_{0} = - 5)$ та радіус $R = 5$ у загальне рівняння кола: $(x - 2)^{2} + (y - (- 5))^{2} = 5^{2}$ .

Відповідь:

$(x - 2)^{2} + (y + 5)^{2} = 25$ .

Завдання 9.22

Доведення властивостей кола за рівнянням

Довести, що коло $(x + 6)^{2} + (y - 3)^{2} = 36$ : 1) дотикається до осі ординат; 2) перетинає вісь абсцис; 3) не має спільних точок із прямою $y = 10$ .

Розв’язання

З рівняння бачимо, що центр кола $A (- 6; 3)$ , а радіус $R = 6$ .
Відстань від центра до осі ординат ( $x = 0$ ) дорівнює модулю абсциси центра: $d_{1} = ∣ - 6∣ = 6$ . Оскільки $d_{1} = R$ , коло дотикається до осі ординат.
Відстань від центра до осі абсцис ( $y = 0$ ) дорівнює модулю ординати центра: $d_{2} = ∣3∣ = 3$ . Оскільки $d_{2} < R$ ( $3 < 6$ ), коло перетинає вісь абсцис.
Відстань від центра до прямої $y = 10$ дорівнює різниці ординат: $d_{3} = ∣10 - 3∣ = 7$ . Оскільки $d_{3} > R$ ( $7 > 6$ ), коло не має спільних точок із цією прямою.

Відповідь:

1) дотикається; 2) перетинає; 3) не має спільних точок.

Завдання 9.23

Кіла з центром на осі ординат, що проходять через точку

Знайти кількість кіл, які проходять через точку $(3; 5)$ , радіуси яких дорівнюють $35$ і центри яких належать осі ординат. Записати рівняння кожного такого кола.

Розв’язання

Запишемо рівняння кола з центром $(0; y_{0})$ та радіусом $R = 35$ : $x^{2} + (y - y_{0})^{2} = (35)^{2}$ .
Спростимо правою частиною: $x^{2} + (y - y_{0})^{2} = 9 \cdot 5 = 45$ .
Підставимо координати точки $(3; 5)$ замість $x$ і $y$ : $3^{2} + (5 - y_{0})^{2} = 45$ , тобто $9 + (5 - y_{0})^{2} = 45$ .
Перенесемо 9 вправо: $(5 - y_{0})^{2} = 45 - 9 = 36$ .
Знайдемо корінь з обох частин: $5 - y_{0} = \pm 6$ . Отримуємо два випадки:
а) $5 - y_{0} = 6 \Rightarrow y_{0} = - 1$ . Центр $(0; - 1)$ . Рівняння: $x^{2} + (y + 1)^{2} = 45$ .
б) $5 - y_{0} = - 6 \Rightarrow y_{0} = 11$ . Центр $(0; 11)$ . Рівняння: $x^{2} + (y - 11)^{2} = 45$ .

Відповідь:

Існує 2 такі кола. Їхні рівняння: $x^{2} + (y + 1)^{2} = 45$ та $x^{2} + (y - 11)^{2} = 45$ .

Завдання 9.24

Рівняння кола через дві точки

Скласти рівняння кола, яке проходить через точки $A (- 4; 1)$ і $B (8; 5)$ і центр якого належить осі абсцис.

Розв’язання

Нехай центр кола $O (a; 0)$ . Радіус $R = O A = O B$ .
Запишемо рівняння для відстаней: $(a - (- 4))^{2} + (0 - 1)^{2} = (a - 8)^{2} + (0 - 5)^{2}$ .
Піднесемо обидві частини до квадрату та розкриємо дужки: $(a + 4)^{2} + 1 = (a - 8)^{2} + 25$ .
Розкриємо дужки: $a^{2} + 8 a + 16 + 1 = a^{2} - 16 a + 64 + 25$ .
Спростимо рівняння, скоротивши $a^{2}$ і перенесення доданків: $8 a + 17 = - 16 a + 89 \Rightarrow 24 a = 72 \Rightarrow a = 3$ .
Знайдемо радіус, підставивши $a = 3$ у вираз для $O A$ : $R^{2} = (3 + 4)^{2} + 1 = 49 + 1 = 50$ .

Відповідь:

Рівняння кола: $(x - 3)^{2} + y^{2} = 50$ або $x^{2} - 6 x + y^{2} - 17 = 0$ .

Завдання 9.25

Перевірка рівнянь на коло

Установити, чи є дані рівняння рівняннями кола. Якщо так — знайти центр та радіус $R$ :
1) $x^{2} + 2 x + y^{2} - 10 y - 23 = 0$ ;
2) $x^{2} - 12 x + y^{2} + 4 y + 40 = 0$ ;
3) $x^{2} + y^{2} + 6 y + 8 x + 34 = 0$ ;
4) $x^{2} + y^{2} - 4 x - 14 y + 51 = 0$ .

Розв’язання

Рівняння 1: $(x^{2} + 2 x + 1) + (y^{2} - 10 y + 25) = 23 + 1 + 25 \Rightarrow (x + 1)^{2} + (y - 5)^{2} = 49$ . Це коло. Центр $(- 1; 5)$ , радіус $R = 7$ .
Рівняння 2: $(x^{2} - 12 x + 36) + (y^{2} + 4 y + 4) = - 40 + 36 + 4 \Rightarrow (x - 6)^{2} + (y + 2)^{2} = 0$ . Це точка (дегенеративне коло), радіус дорівнює 0.
Рівняння 3: $(x^{2} + 8 x + 16) + (y^{2} + 6 y + 9) = - 34 + 16 + 9 \Rightarrow (x + 4)^{2} + (y + 3)^{2} = - 9$ . Під коренем від'ємне число, рівняння кола не є.
Рівняння 4: $(x^{2} - 4 x + 4) + (y^{2} - 14 y + 49) = - 51 + 4 + 49 \Rightarrow (x - 2)^{2} + (y - 7)^{2} = 2$ . Це коло. Центр $(2; 7)$ , радіус $R = 2$ .

Відповідь:

1) Так, центр $(- 1; 5)$ , $R = 7$ ; 2) Ні (точка); 3) Ні; 4) Так, центр $(2; 7)$ , $R = 2$ .

Завдання 9.26

Аналіз рівнянь кола

Довести, що дані рівняння є рівняннями кола, і вказати координати центра та радіус $R$ :
1) $x^{2} + y^{2} + 16 y + 60 = 0$ ;
2) $x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 15 = 0$ .

Розв’язання

Рівняння 1: $(x^{2} + 0 x + 0) + (y^{2} + 16 y + 64) = - 60 + 64 \Rightarrow x^{2} + (y + 8)^{2} = 4$ . Це коло. Центр $(0; - 8)$ , радіус $R = 2$ .
Рівняння 2: $(x^{2} - 8 x + 16) + (y^{2} + 4 y + 4) = - 15 + 16 + 4 \Rightarrow (x - 4)^{2} + (y + 2)^{2} = 5$ . Це коло. Центр $(4; - 2)$ , радіус $R = 5$ .

Відповідь:

1) Так, центр $(0; - 8)$ , $R = 2$ ; 2) Так, центр $(4; - 2)$ , $R = 5$ .

Завдання 9.27

Прямокутний трикутник і описане коло

Довести, що трикутник із вершинами в точках $A (- 1; - 2)$ , $B (- 1; 2)$ , $C (5; 2)$ є прямокутним, і скласти рівняння кола, описаного навколо цього трикутника.

Розв’язання

Знайдемо довжини сторін трикутника за формулою відстані між двома точками: $A B = ∣2 - (- 2) ∣ = 4$ , $B C = ∣5 - (- 1) ∣ = 6$ . Оскільки координати точки $A$ і $B$ однакові по $x$ , а координати $B$ і $C$ — однакові по $y$ , сторони $A B$ (вертикальна) та $B C$ (горизонтальна) перпендикулярні. Значить, $∠ B = 9 0^{\circ}$ .
Трикутник прямокутний з гіпотенузою $A C$ . Центр описаного кола — середина відрізка $A C$ . Координати центра: $x_{0} = \frac{- 1 + 5}{2} = 2$ , $y_{0} = \frac{- 2 + 2}{2} = 0$ . Тобто центр $O (2; 0)$ .
Знайдемо радіус як половину довжини гіпотенузи $A C$ : $A C = (5 - (- 1))^{2} + (2 - (- 2))^{2} = 6^{2} + 4^{2} = 36 + 16 = 52 = 213$ . Радіус $R = \frac{A C}{2} = 13$ .

Відповідь:

Трикутник прямокутний; рівняння кола: $(x - 2)^{2} + y^{2} = 13$ .

Завдання 9.28

Рівняння кола за дотиком до осей та прямої

Скласти рівняння кола, яке дотикається до координатних осей ( $O x$ і $O y$ ) і прямої $y = - 4$ .

Розв’язання

Оскільки коло дотикається до обох осей координат, відстань між точками дотику на осях дорівнює $2 R$ . Координати центру кола $(x_{0}; y_{0})$ мають вигляд $(\pm R; \pm R)$ .
За умовою коло дотикається до прямої $y = - 4$ . Відстань від центру $(x_{0}; y_{0})$ до цієї прямої має дорівнювати радіусу $R$ . Тобто $∣ y_{0} - (- 4) ∣ = R$ , або $∣ y_{0} + 4∣ = R$ .
Розглянемо можливі випадки для координати центру $y_{0}$ :
а) Якщо центр у верхньому півплощині ( $y_{0} > 0$ ), то $y_{0} = R$ . Тоді $R + 4 = R$ , що неможливо.
б) Якщо центр у нижньому півплощині ( $y_{0} < 0$ ), то $y_{0} = - R$ . Підставимо: $∣ - R + 4∣ = R$ . Це дає дві рівності: $- R + 4 = R \Rightarrow 2 R = 4 \Rightarrow R = 2$ (тоді $y_{0} = - 2$ ) або $- (- R + 4) = R \Rightarrow R - 4 = R \Rightarrow - 4 = 0$ (неможливо).
в) Також можна розглянути випадок, коли коло знаходиться між осями ( $x_{0} > 0, y_{0} < 0$ ), але умова дотику до $y = - 4$ обмежує розміри. Перевіримо: якщо центр $(R; - R)$ , то відстань до $y = - 4$ : $∣ - R - (- 4) ∣ = ∣4 - R ∣$ . Якщо $R = 2$ , то $∣4 - 2∣ = 2 = R$ . Центр $(2; - 2)$ . Рівняння: $(x - 2)^{2} + (y + 2)^{2} = 4$ .
г) Перевіримо випадок, коли коло знаходиться ліворуч ( $x_{0} < 0$ ). Центри можуть бути $(- R; R)$ або $(- R; - R)$ . Для $(- R; - R)$ : відстань до $y = - 4$ дорівнює $∣ - R + 4∣ = R \Rightarrow 4 - R = R \Rightarrow R = 2$ . Центр $(- 2; - 2)$ . Рівняння: $(x + 2)^{2} + (y + 2)^{2} = 4$ .
д) Перевіримо випадок, коли коло знаходиться праворуч ( $x_{0} > 0$ ), але центр вище осі абсцис? Ні, бо тоді відстань до $y = - 4$ буде більшою за радіус. Якщо центр $(R; R)$ , то $∣ R + 4∣ = R$ , що неможливо для додатних $R$ .
е) Можливий випадок, коли коло дотикається до осей і прямої зверху? Ні, бо пряма $y = - 4$ нижче. Отже, центр кола обов'язково має ординату від'ємну або нульову (але нульова неможлива при дотику до осей).
є) Перевіримо ще один варіант: коло може знаходитися між осями в четвертому квадранті? Так, центр $(2; - 2)$ і $(- 2; - 2)$ . Чи можуть бути інші? Якщо коло дотикається до осей, то $∣ x_{0} ∣ = ∣ y_{0} ∣ = R$ . Відстань від центру до прямої $y = - 4$ дорівнює $R$ . $∣ y_{0} + 4∣ = R$ . Оскільки $y_{0} = \pm R$ , маємо $∣ \pm R + 4∣ = R$ .
- Якщо $y_{0} = R$ : $∣ R + 4∣ = R \Rightarrow R + 4 = R$ (неможливо) або $- R - 4 = R \Rightarrow 2 R = - 4$ (неможливо).
- Якщо $y_{0} = - R$ : $∣ - R + 4∣ = R \Rightarrow ∣4 - R ∣ = R$ . Це дає два випадки: $4 - R = R \Rightarrow 2 R = 4 \Rightarrow R = 2$ ; або $- (4 - R) = R \Rightarrow - 4 + R = R \Rightarrow - 4 = 0$ (неможливо).
ж) Отже, єдині можливі координати центру: $(2; - 2)$ і $(- 2; - 2)$ . Радіус у обох випадках дорівнює 2.

Відповідь:

Існує два такі кола:
1) $(x - 2)^{2} + (y + 2)^{2} = 4$
2) $(x + 2)^{2} + (y + 2)^{2} = 4$

Завдання 9.29

Рівняння кола за умовами дотику

Скласти рівняння кола, яке дотикається до обох координатних осей ( $O x$ та $O y$ ) і до прямої $x = 2$ .

Розв’язання

Оскільки коло дотикається до обох осей, його центр має координати $(R; R)$ , $(- R; R)$ , $(R; - R)$ або $(- R; - R)$ , де $∣ x_{c} ∣ = ∣ y_{c} ∣ = R$ .
Умова дотику до прямої $x = 2$ означає, що відстань від центра $(x_{c}; y_{c})$ до цієї прямої дорівнює радіусу: $∣ x_{c} - 2∣ = R$ .
Розглянемо випадки для абсциси центра $x_{c}$ :
- Якщо коло знаходиться праворуч від осі $O y$ ( $x_{c} > 0$ ), то $x_{c} = R$ . Підставимо в умову дотику: $∣ R - 2∣ = R$ . Це дає два випадки: $R - 2 = R$ (неможливо) або $- (R - 2) = R \Rightarrow 2 - R = R \Rightarrow 2 R = 2 \Rightarrow R = 1$ . Тоді $x_{c} = 1$ . Центр $(1; 1)$ або $(1; - 1)$ . Перевіримо дотик до прямої $x = 2$ : відстань від точки з абсцисою 1 до прямої $x = 2$ дорівнює 1, що дорівнює радіусу.
- Якщо коло знаходиться ліворуч від осі $O y$ ( $x_{c} < 0$ ), то $x_{c} = - R$ . Відстань до прямої $x = 2$ : $∣ - R - 2∣ = R \Rightarrow ∣ - (R + 2) ∣ = R \Rightarrow R + 2 = R$ (неможливо). Отже, коло не може бути зліва від осі.
Таким чином, можливі центри: $(1; 1)$ та $(1; - 1)$ . Радіус у обох випадках $R = 1$ .

Відповідь:

Існує два такі кола з рівняннями: $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ та $(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 1$ .

Завдання 9.30

Рівняння кола за трьома точками

Скласти рівняння кола, яке проходить через точки:
1) $A (- 3; 7)$ , $B (- 8; 2)$ , $C (- 6; - 2)$ ;
2) $M (- 1; 10)$ , $N (12; - 3)$ , $K (4; 9)$ .

Розв’язання

Для пункту 1: Знайдемо середину відрізку $A B$ : $x_{M_{1}} = \frac{- 3 + ( - 8 )}{2} = - 5, 5$ , $y_{M_{1}} = \frac{7 + 2}{2} = 4, 5$ . Кут нахилу прямої $A B$ знаходимо через коефіцієнт кута: $k_{A B} = \frac{2 - 7}{- 8 - ( - 3 )} = \frac{- 5}{- 5} = 1$ . Коефіцієнт кута серединного перпендикуляра $k_{⊥} = - 1$ . Рівняння перпендикуляра: $y - 4, 5 = - 1 (x + 5, 5)$ , тобто $x + y + 1 = 0$ .
Для пункту 1: Знайдемо середину відрізку $B C$ : $x_{M_{2}} = \frac{- 8 + ( - 6 )}{2} = - 7$ , $y_{M_{2}} = \frac{2 + ( - 2 )}{2} = 0$ . Коефіцієнт кута прямої $B C$ : $k_{B C} = \frac{- 2 - 2}{- 6 - ( - 8 )} = \frac{- 4}{2} = - 2$ . Коефіцієнт перпендикуляра $k_{⊥}^{'} = 0, 5$ . Рівняння: $y - 0 = 0, 5 (x + 7)$ , тобто $x - 2 y + 7 = 0$ .
Для пункту 1: Розв'яжемо систему ${x + y + 1 = 0 x - 2 y + 7 = 0$ . Віднімаємо перше рівняння від другого: $- 3 y + 6 = 0 \Rightarrow y = 2$ . Підставляємо в перше: $x + 2 + 1 = 0 \Rightarrow x = - 3$ . Центр $O (- 3; 2)$ . Радіус $R = (- 3 - (- 3))^{2} + (2 - 7)^{2} = 0 + 25 = 5$ . Рівняння: $(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$ .
Для пункту 2: Аналогічно знаходимо середину $M N$ : $(- 5, 5; - 1, 5)$ , коефіцієнт кута $k_{M N} = \frac{- 3 - 10}{12 - ( - 1 )} = \frac{- 13}{13} = - 1$ , перпендикуляр $y + 1, 5 = x + 5, 5 \Rightarrow x - y - 4 = 0$ .
Для пункту 2: Середина $N K$ : $(7; 3, 5)$ , коефіцієнт кута $k_{N K} = \frac{9 - ( - 3 )}{4 - 12} = \frac{12}{- 8} = - 1, 5$ , перпендикуляр $y - 3, 5 = \frac{2}{3} (x - 7) \Rightarrow 2 x - 3 y + 0, 5 = 0$ .
Для пункту 2: Розв'язуємо систему ${x - y - 4 = 0 2 x - 3 y + 0, 5 = 0$ . Помножимо перше на 2 і віднімемо друге: $- 6 y - 8 + 0, 5 = 0 \Rightarrow y = - 1, 5$ (перевірка підстановкою дає помилку в обчисленні, перевіримо точніше).
Перепишемо рівняння перпендикулярів для пункту 2:
Середина $M N$ : $x_{s} = - 5, 5$ , $y_{s} = - 1, 5$ . $k_{M N} = \frac{- 3 - 10}{12 - ( - 1 )} = - 1$ . Рівняння перпендикуляра: $y + 1, 5 = x + 5, 5 \Rightarrow x - y - 4 = 0$ .
Середина $N K$ : $x_{s} = \frac{- 1 + 4}{2} = 1, 5$ , $y_{s} = \frac{10 + 9}{2} = 9, 5$ . (Помилка в попередньому кроці: середина $N K$ це $(\frac{- 1 + 4}{2}; \frac{10 + 9}{2}) = (1, 5; 9, 5)$ ).
$k_{N K} = \frac{9 - ( - 3 )}{4 - 12} = \frac{12}{- 8} = - 1, 5$ . Рівняння перпендикуляра: $y - 9, 5 = \frac{2}{3} (x - 1, 5) \Rightarrow 3 y - 28, 5 = 2 x - 3 \Rightarrow 2 x - 3 y + 25, 5 = 0$ .
Система: ${x - y - 4 = 0 2 x - 3 y + 25, 5 = 0$ . $x = y + 4$ . Підставимо: $2 (y + 4) - 3 y + 25, 5 = 0 \Rightarrow 2 y + 8 - 3 y + 25, 5 = 0 \Rightarrow - y + 33, 5 = 0 \Rightarrow y = 33, 5$ . Це не ціле число, перевіримо умову. Точки $M (- 1; 10)$ , $N (12; - 3)$ , $K (4; 9)$ .
Перевірка: $x - y - 4 = 0$ і $2 x - 3 y + 25, 5 = 0$ . $y = 33, 5$ , $x = 37, 5$ . Радіус буде великим. Перевіримо розрахунки ще раз.
Середина $M N$ : $(- 5, 5; - 1, 5)$ . $k_{M N} = \frac{- 3 - 10}{12 - ( - 1 )} = - 1$ . Рівняння: $y + 1, 5 = - (x + 5, 5) \Rightarrow y + 1, 5 = - x - 5, 5 \Rightarrow x + y + 7 = 0$ .
Середина $N K$ : $(1, 5; 9, 5)$ . $k_{N K} = \frac{9 - ( - 3 )}{4 - 12} = - 1, 5$ . Рівняння: $y - 9, 5 = \frac{2}{3} (x - 1, 5) \Rightarrow 3 (y - 9, 5) = 2 (x - 1, 5) \Rightarrow 3 y - 28, 5 = 2 x - 3 \Rightarrow 2 x - 3 y + 25, 5 = 0$ .
Система: ${x + y + 7 = 0 2 x - 3 y + 25, 5 = 0$ . $x = - y - 7$ . Підставимо: $2 (- y - 7) - 3 y + 25, 5 = 0 \Rightarrow - 2 y - 14 - 3 y + 25, 5 = 0 \Rightarrow - 5 y + 11, 5 = 0 \Rightarrow y = 2, 3$ .

Відповідь:

$(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$ ; $(x + 2, 3)^{2} + (y - 2, 3)^{2} = R^{2}$ .

Завдання 9.31

Зона поливу розприскувача

Садовий розприскувач знаходиться в точці $S (3; 2)$ і поливає рослини в радіусі $4$ м. Одиничний відрізок сітки — $1$ м.
1) Записати рівняння межі зони поливу.
2) Визначити, чи потрапляє кущ у точці $T (6; 5)$ в зону поливу.

Розв’язання

Центр кола $O (3; 2)$ , радіус $R = 4$ . Рівняння: $(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 4^{2}$ , тобто $(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 16$ .
Обчислимо відстань між точками $S (3; 2)$ та $T (6; 5)$ : $S T = (6 - 3)^{2} + (5 - 2)^{2} = 3^{2} + 3^{2} = 9 + 9 = 18$ .
Порівнюємо відстань з радіусом: $18 \approx 4, 24$ . Оскільки $4, 24 > 4$ , то точка $T$ знаходиться поза колом.

Відповідь:

1) $(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 16$ ; 2) Ні, кущ не потрапляє в зону поливу.

Сторінка 118

Завдання 9.32

Перевірка покриття сигналом вежі

Вежа зв'язку у точці $C (0; 0)$ , радіус покриття $5$ км ( $R = 5$ ). Будинок учня — точка $H (3; 4)$ , друга — точка $D (5; 1)$ . Одиничний відрізок сітки = $1$ км. Чи досягає сигнал до точок $H$ та $D$ ?

Розв’язання

Рівняння зони покриття вежі (центр $C (0; 0)$ , радіус $R = 5$ ): $x^{2} + y^{2} = 5^{2}$ , тобто $x^{2} + y^{2} = 25$ .
Перевіряємо точку дому $H (3; 4)$ : підставляємо в ліву частину: $3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$ . Оскільки $25 = 25$ , точка лежить на межі покриття, сигнал досягає.
Перевіряємо точку друга $D (5; 1)$ : підставляємо в ліву частину: $5^{2} + 1^{2} = 25 + 1 = 26$ . Оскільки $26 > 25$ , точка знаходиться поза зоною покриття.

Відповідь:

1) Так, сигнал досягає вашого дому (точка лежить на межі зони). 2) Ні, сигнал не досягає місця проживання друга (він знаходиться за межами зони покриття).

Завдання 9.33

Площа паралелограма через бісектрису

Паралелограм $A B C D$ , бісектриса кута $B$ перетинає сторону $A D$ у точці $E$ . Відомо: $A B = B E = 12$ см, $E D = 18$ см. Знайти площу паралелограма.

Розв’язання

Розглянемо трикутник $A B E$ . Оскільки $A B = B E = 12$ см, це рівнобедрений трикутник. Бісектриса кута $B$ паралелограма ділить кут $B$ навпіл. Нехай $∠ B = 2 α$ , тоді $∠ A B E = ∠ C B E = α$ . Оскільки $A D ∥ B C$ , то $∠ B E A = ∠ C B E = α$ (альтернативні кути). Отже, $△ A B E$ рівнобедрений з основою $A E$ , але в умові сказано $A B = B E$ , отже $∠ B A E = ∠ B E A$ .
Перевіримо логіку: У трикутнику $A B E$ кути при основі $A E$ рівні. Але $A B = B E$ , отже кути проти цих сторін рівні: $∠ B E A = ∠ B A E$ . Оскільки $A D ∥ B C$ , то $∠ A E B = ∠ E B C$ . Отже, $∠ B A E = ∠ E B C$ . Бісектриса ділить кут $B$ на два рівні кути. Тоді трикутник $A B E$ — рівнобедрений з $A B = B E$ .
Знайдемо довжину сторони $A D$ . Сторона $A D = A E + E D$ . У трикутнику $A B E$ сума кутів $18 0^{\circ}$ . Але простіше використати властивість бісектриси в паралелограмі: $\frac{A E}{E D} = \frac{A B}{B C}$ . Оскільки $A B = C D$ , а $A D = B C$ , то $\frac{A E}{18} = \frac{12}{A D}$ . Також $A D = A E + 18$ .
З рівняння $\frac{A E}{18} = \frac{12}{A E + 18}$ знайдемо $A E$ : $A E (A E + 18) = 12 \cdot 18 \Rightarrow A E^{2} + 18 A E - 216 = 0$ . Дискримінант $D = 324 - 4 (1) (- 216) = 324 + 864 = 1188$ . Це складно.
Перепишемо умову уважніше: $A B = B E = 12$ . Трикутник $A B E$ рівнобедрений ( $A B = B E$ ). Тоді $∠ B A E = ∠ B E A$ . Оскільки $A D ∥ B C$ , то $∠ B E A = ∠ E B C$ (альтернативні). Отже, $∠ B A E = ∠ E B C$ . Але $B E$ — бісектриса кута $B$ , отже $∠ A B E = ∠ E B C$ . Тоді $∠ B A E = ∠ A B E$ . Трикутник $A B E$ рівнобедрений з основою $A E$ ? Ні, якщо кути при основі рівні, то сторони рівні. Тут $∠ B A E = ∠ A B E$ , отже сторони проти них рівні: $B E = A E$ . Але в умові $A B = B E$ . Отже $A B = B E = A E$ . Трикутник $A B E$ — рівносторонній!
Якщо трикутник $A B E$ рівносторонній, то $A E = A B = 12$ см. Тоді сторона $A D = A E + E D = 12 + 18 = 30$ см. Сторона $B C = A D = 30$ см.
Знайдемо висоту паралелограма, опущену з вершини $B$ на сторону $A D$ . Нехай це висота $h$ . В трикутнику $A B E$ (рівносторонньому зі стороною $12$ ) висота до сторони $A E$ дорівнює $\frac{3}{2} \cdot 12 = 63$ . Але нам потрібна висота до сторони $A D$ , яка є основою рівнобедреного трикутника? Ні, $A D$ — це пряма. Висота паралелограма — це відстань між паралельними сторонами $A B$ і $C D$ або $A D$ і $B C$ . Тут висоту треба знайти до сторони $A D$ .
Розглянемо трикутник $A B E$ . Він рівносторонній зі стороною $12$ . Кут $A = 6 0^{\circ}$ . Висота паралелограма, опущена з точки $B$ на пряму $A D$ , є висотою рівнобедреного трикутника $A B D$ ? Ні. Висота $h$ у трикутнику $A B E$ до сторони $A E$ (яка лежить на $A D$ ) дорівнює $\frac{3}{2} \cdot 12 = 63$ .
Площа паралелограма $S = A D \cdot h = 30 \cdot 63 = 1803$ см $^{2}$ .

Відповідь:

Площа паралелограма дорівнює $1803$ см $^{2}$ .

Завдання 9.34

Периметр прямокутника через діагональ

Перпендикуляр з вершини прямокутника ділить діагональ на відрізки $9$ см і $16$ см. Знайти периметр прямокутника.

Розв’язання

Довжина діагоналі $d = 9 + 16 = 25$ см.
Сторони прямокутника обчислюються за формулами $a = p \cdot d$ і $b = q \cdot d$ , де $p = 9$ , $q = 16$ .
Знайдемо першу сторону: $a = 9 \cdot 25 = 225 = 15$ см.
Знайдемо другу сторону: $b = 16 \cdot 25 = 400 = 20$ см.
Перевірка: $1 5^{2} + 2 0^{2} = 225 + 400 = 625 = 2 5^{2}$ . Все вірно.
Знайдемо периметр: $P = 2 (a + b) = 2 (15 + 20) = 2 \cdot 35 = 70$ см.

Відповідь:

Периметр прямокутника дорівнює $70$ см.

Завдання 9.35

Побудова точки за допомогою циркуля

На площині дано точки $A$ і $B$ . Потрібно побудувати точку $C$ , щоб точка $B$ була серединою відрізка $A C$ .

Розв’язання

Проведіть пряму, що проходить через точки $A$ і $B$ , та продовжте її за точку $B$ .
Відкладіть на продовженні відрізка $A B$ від точки $B$ відрізок $B C$ , рівний відрізку $A B$ , використовуючи циркуль (закріпіть голку циркуля в точці $A$ , відкрийте його до довжини $A B$ , перенесіть цей радіус на продовження відрізка від точки $B$ ).
Точка, у якій кінець цього нового відрізка перетне пряму, є шуканою точкою $C$ .

Відповідь:

Побудована точка $C$ така, що $A B = B C$ , і точка $B$ є серединою відрізка $A C$ .

Сторінка 122

Завдання 10.1

Ідентифікація рівнянь прямої

Дано вісім рівнянь, з яких треба вибрати ті, що є рівняннями прямої: 1) $2 x - 3 y = 5$ ; 2) $2 x - 3 y = 0$ ; 3) $2 x^{2} - 3 y = 5$ ; 4) $2 x = 5$ ; 5) $- 3 y = 5$ ; 6) $2 x + 0 y = 0$ ; 7) $0 x + 0 y = 0$ ; 8) $0 x + 0 y = 5$ .

Розв’язання

Розглянемо рівняння $2 x^{2} - 3 y = 5$ : воно містить $x^{2}$ , тому не є лінійним, а отже, не задає пряму.
Розглянемо випадки $0 x + 0 y = 0$ та $0 x + 0 y = 5$ : перше тотожно виконується для будь-яких $x, y$ (це вся площина), друге — ніколи не виконується (пустий набір точок), жодне з них не є прямою.
Перевіримо решту рівнянь: $2 x - 3 y = 5$ , $2 x - 3 y = 0$ , $2 x = 5$ ( $- 3 y = 0$ ), $- 3 y = 5$ , $2 x + 0 y = 0$ . Усі вони мають вигляд $a x + b y = c$ з хоча б одним ненульовим коефіцієнтом при змінній.

Відповідь:

Рівняннями прямої є: 1), 2), 4), 5), 6). Рівняння 3) — не лінійне; 7) і 8) — не задають пряму.

Завдання 10.2

Перетин прямої з осями та перевірка точок

Пряма задана рівнянням $4 x - 5 y = 20$ . Потрібно знайти координати точок перетину з осями координат і визначити, чи належать цій прямій точки: 1) $A (10; 4)$ ; 2) $B (6; 1)$ ; 3) $C (- 1, 5; 5, 2)$ ; 4) $D (- 1; 5)$ .

Розв’язання

Знайдемо точки перетину: при $y = 0$ маємо $4 x = 20 \Rightarrow x = 5$ , точка $(5; 0)$ . При $x = 0$ маємо $- 5 y = 20 \Rightarrow y = - 4$ , точка $(0; - 4)$ .
Перевіримо точку $A (10; 4)$ : підставимо в рівняння $4 \cdot 10 - 5 \cdot 4 = 40 - 20 = 20$ . Рівність виконується, точка належить прямій.
Перевіримо точку $B (6; 1)$ : $4 \cdot 6 - 5 \cdot 1 = 24 - 5 = 19 \neq = 20$ . Точка не належить прямій.
Перевіримо точку $C (- 1, 5; 5, 2)$ : $4 \cdot (- 1, 5) - 5 \cdot 5, 2 = - 6 - 26 = - 32 \neq = 20$ . Точка не належить прямій.
Перевіримо точку $D (- 1; 5)$ : $4 \cdot (- 1) - 5 \cdot 5 = - 4 - 25 = - 29 \neq = 20$ . Точка не належить прямій.

Відповідь:

Точки перетину з осями: $(5; 0)$ та $(0; - 4)$ . З точок лише точка $A (10; 4)$ належить прямій.

Завдання 10.3

Перетин прямої з осями та перевірка точок

Пряма задана рівнянням $3 x + 4 y = 12$ . Потрібно знайти координати точок перетину з осями координат і визначити, яка з точок $M (- 2; 4)$ та $K (8; - 3)$ належить цій прямій.

Розв’язання

Знайдемо точки перетину: при $y = 0$ маємо $3 x = 12 \Rightarrow x = 4$ , точка $(4; 0)$ . При $x = 0$ маємо $4 y = 12 \Rightarrow y = 3$ , точка $(0; 3)$ .
Перевіримо точку $M (- 2; 4)$ : підставимо в рівняння $3 \cdot (- 2) + 4 \cdot 4 = - 6 + 16 = 10 \neq = 12$ . Точка $M$ не належить прямій.
Перевіримо точку $K (8; - 3)$ : підставимо в рівняння $3 \cdot 8 + 4 \cdot (- 3) = 24 - 12 = 12$ . Рівність виконується, точка $K$ належить прямій.

Відповідь:

Точки перетину з осями: $(4; 0)$ та $(0; 3)$ . Належить прямій точка $K (8; - 3)$ .

Завдання 10.4

Рівняння прямих за графіком

Скласти рівняння прямих $a$ і $b$ , зображених на рисунку 10.3. Пряма $a$ проходить через точку $(0; 3)$ і паралельна осі абсцис. Пряма $b$ проходить через точку $(- 4; 0)$ і перпендикулярна до осі абсцис.

Розв’язання

Пряма $a$ є горизонтальною і перетинає вісь $y$ в точці з ординатою 3, тому її рівняння має вигляд $y = 3$ .
Пряма $b$ є вертикальною і перетинає вісь $x$ в точці з абсцисою -4, тому її рівняння має вигляд $x = - 4$ .

Відповідь:

$a : y = 3$ , $b : x = - 4$ .

Сторінка 123

Завдання 10.5

Пряма, перпендикулярна до осі x

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку $A (6; - 3)$ і перпендикулярна до осі $x$ . Знайти координати точки перетину цієї прямої з віссю $x$ .

Розв’язання

Оскільки пряма проходить через точку $A (6; - 3)$ і перпендикулярна до осі $x$ , абсциса всіх її точок дорівнює 6. Рівняння прямої: $x = 6$ .
Точка перетину з віссю $x$ має координати $(6; 0)$ , оскільки на цій осі ордината завжди дорівнює нулю.

Відповідь:

Рівняння прямої: $x = 6$ ; точка перетину з віссю $x$ : $(6; 0)$ .

Завдання 10.6

Пряма, перпендикулярна до осі y

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку $B (5; - 8)$ і перпендикулярна до осі $y$ . Знайти координати точки перетину цієї прямої з віссю $y$ .

Розв’язання

Оскільки пряма проходить через точку $B (5; - 8)$ і перпендикулярна до осі $y$ , ордината всіх її точок дорівнює $- 8$ . Рівняння прямої: $y = - 8$ .
Точка перетину з віссю $y$ має координати $(0; - 8)$ , оскільки на цій осі абсциса завжди дорівнює нулю.

Відповідь:

Рівняння прямої: $y = - 8$ ; точка перетину з віссю $y$ : $(0; - 8)$ .

Завдання 10.7

Пряма, паралельна осям координат

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку $C (- 4; 9)$ і паралельно: 1) осі абсцис; 2) осі ординат.

Розв’язання

Пряма паралельна осі $x$ , тому її рівняння залежить від ординати точки $C (- 4; 9)$ , яка дорівнює 9. Рівняння: $y = 9$ .
Пряма паралельна осі $y$ , тому її рівняння залежить від абсциси точки $C (- 4; 9)$ , яка дорівнює $- 4$ . Рівняння: $x = - 4$ .

Відповідь:

1) $y = 9$ ; 2) $x = - 4$ .

Завдання 10.8

Рівняння осей та бісектрис

Скласти рівняння: 1) осі абсцис; 2) осі ординат; 3) прямої, що містить бісектрису третього координатного кута; 4) прямої, що містить бісектрису другого координатного кута.

Розв’язання

Рівняння осі абсцис: оскільки це вісь $x$ , то ордината будь-якої точки на ній дорівнює нулю, отже $y = 0$ .
Рівняння осі ординат: оскільки це вісь $y$ , то абсциса будь-якої точки на ній дорівнює нулю, отже $x = 0$ .
Третій координатний кут знаходиться в III чверті ( $x < 0, y < 0$ ). Бісектриса цього кута ділить його навпіл, тому для будь-якої точки на ній виконується умова $y = x$ . Рівняння: $y = x$ .
Другий координатний кут знаходиться в II чверті ( $x < 0, y > 0$ ). Бісектриса цього кута має кутовий коефіцієнт $- 1$ , тому рівняння має вигляд $y = - x$ .

Відповідь:

1) $y = 0$ ; 2) $x = 0$ ; 3) $y = x$ ; 4) $y = - x$ .

Завдання 10.9

Точка перетину прямих

Знайти координати точки перетину прямих: 1) $y = 3 x - 7$ і $y = 5 x + 9$ ; 2) $2 x - 7 y = - 16$ і $6 x + 11 y = 16$ .

Розв’язання

Перший випадок ( $y = 3 x - 7$ і $y = 5 x + 9$ ): Прирівнюємо праві частини рівнянь: $3 x - 7 = 5 x + 9$ . Переносимо змінні в одну сторону, числа в іншу: $- 2 x = 16$ , звідки $x = - 8$ . Підставляємо $x$ у перше рівняння: $y = 3 (- 8) - 7 = - 24 - 7 = - 31$ . Точка: $(- 8; - 31)$ .
Другий випадок ( $2 x - 7 y = - 16$ і $6 x + 11 y = 16$ ): Помножимо перше рівняння на 3, щоб коефіцієнт при $x$ став таким самим як у другому: $6 x - 21 y = - 48$ . Віднімемо це від другого рівняння: $(6 x + 11 y) - (6 x - 21 y) = 16 - (- 48)$ , що дає $32 y = 64$ , звідки $y = 2$ . Підставимо $y = 2$ у перше рівняння: $2 x - 7 (2) = - 16 \Rightarrow 2 x - 14 = - 16 \Rightarrow 2 x = - 2 \Rightarrow x = - 1$ . Точка: $(- 1; 2)$ .

Відповідь:

1) $(- 8; - 31)$ ; 2) $(- 1; 2)$ .

Завдання 10.10

Перетин прямих та історичний факт

Знайти координати точки перетину прямих $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5438$ (у тексті зображення дріб зіпсований, але за логікою вправ це рівняння прямої у відрізках або подібне; однак, оглядаючи умову уважніше на зображенні, там написано $3 x + 2 y = 5438$ і $x - 10 y = 1610$ . У тексті підручника це виглядає як $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = ...$ , але цифри 5438 та 1610 дуже великі для дробів. Перевіримо зображення: там чітко видно $3 x + 2 y = 5438$ і $x - 10 y = 1610$ . Використовуємо ці рівняння). Додати абсцису й ординату знайденої точки, щоб дізнатися рік вистави «Наталка Полтавка».

Розв’язання

Маємо систему: ${3 x + 2 y = 5438 x - 10 y = 1610$ . Помножимо друге рівняння на 3: $3 x - 30 y = 4830$ . Віднімемо це від першого рівняння: $(3 x + 2 y) - (3 x - 30 y) = 5438 - 4830 \Rightarrow 32 y = 608 \Rightarrow y = 19$ .
Знайдемо $x$ : $x - 10 (19) = 1610 \Rightarrow x - 190 = 1610 \Rightarrow x = 1800$ . Точка перетину: $(1800; 19)$ .
Знайдемо рік: додаємо координати $x + y = 1800 + 19 = 1819$ . Це відповідає історичним даним про прем'єру п'єси Івана Котляревського.

Відповідь:

Координати точки перетину: $(1800; 19)$ . Рік вистави: 1819.

Завдання 10.11

Рівняння прямої через дві точки

Скласти рівняння прямої, що проходить через пари точок:
1) $A (1; - 3)$ і $B (- 2; - 9)$ ;
2) $C (3; 5)$ і $D (3; - 10)$ ;
3) $E (- 4; - 1)$ і $F (9; - 1)$ ;
4) $M (3; - 3)$ і $K (- 6; 12)$ .

Розв’язання

Для пункту 1): $k = \frac{- 9 - ( - 3 )}{- 2 - 1} = \frac{- 6}{- 3} = 2$ . Підставимо точку $A (1; - 3)$ у $y = 2 x + p$ : $- 3 = 2 \cdot 1 + p \Rightarrow p = - 5$ . Рівняння: $y = 2 x - 5$ .
Для пункту 2): Абсциси точок $C$ і $D$ дорівнюють $3$ . Це вертикальна пряма. Рівняння: $x = 3$ .
Для пункту 3): Ординати точок $E$ і $F$ дорівнюють $- 1$ . Це горизонтальна пряма. Рівняння: $y = - 1$ .
Для пункту 4): $k = \frac{12 - ( - 3 )}{- 6 - 3} = \frac{15}{- 9} = - \frac{5}{3}$ . Підставимо точку $M (3; - 3)$ у $y = - \frac{5}{3} x + p$ : $- 3 = - \frac{5}{3} \cdot 3 + p \Rightarrow - 3 = - 5 + p \Rightarrow p = 2$ . Рівняння: $y = - \frac{5}{3} x + 2$ або $5 x + 3 y = 6$ .

Відповідь:

1) $y = 2 x - 5$ ; 2) $x = 3$ ; 3) $y = - 1$ ; 4) $y = - \frac{5}{3} x + 2$ (або $5 x + 3 y = 6$ ).

Завдання 10.12

Рівняння прямої через дві точки

Скласти рівняння прямої, що проходить через пари точок:
1) $A (2; - 5)$ і $B (- 3; 10)$ ;
2) $C (6; - 1)$ і $D (24; 2)$ .

Розв’язання

Для пункту 1): Знайдемо $k = \frac{10 - ( - 5 )}{- 3 - 2} = \frac{15}{- 5} = - 3$ . Підставимо точку $A (2; - 5)$ у рівняння $y = - 3 x + p$ : $- 5 = - 3 \cdot 2 + p \Rightarrow - 5 = - 6 + p \Rightarrow p = 1$ . Рівняння: $y = - 3 x + 1$ .
Для пункту 2): Знайдемо $k = \frac{2 - ( - 1 )}{24 - 6} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$ . Підставимо точку $C (6; - 1)$ у рівняння $y = \frac{1}{6} x + p$ : $- 1 = \frac{1}{6} \cdot 6 + p \Rightarrow - 1 = 1 + p \Rightarrow p = - 2$ . Рівняння: $y = \frac{1}{6} x - 2$ або $x - 6 y = 12$ .

Відповідь:

1) $y = - 3 x + 1$ ; 2) $y = \frac{1}{6} x - 2$ (або $x - 6 y = 12$ ).

Завдання 10.13

Рівняння медіани трикутника

Точки $A (- 6; - 1)$ , $B (1; 2)$ і $C (- 5; - 8)$ — вершини трикутника $A B C$ . Скласти рівняння прямої, яка містить медіану $A K$ трикутника.

Розв’язання

Знайдемо координати середини сторони $B C$ (позначимо її як $K$ ). $x_{K} = \frac{1 + ( - 5 )}{2} = - 2$ , $y_{K} = \frac{2 + ( - 8 )}{2} = - 3$ . Точка $K (- 2; - 3)$ .
Складемо рівняння прямої, що проходить через точки $A (- 6; - 1)$ і $K (- 2; - 3)$ . Кутовий коефіцієнт $k = \frac{- 3 - ( - 1 )}{- 2 - ( - 6 )} = \frac{- 2}{4} = - 0, 5 = - \frac{1}{2}$ .
Підставимо координати точки $A (- 6; - 1)$ у рівняння $y = - \frac{1}{2} x + p$ : $- 1 = - \frac{1}{2} \cdot (- 6) + p \Rightarrow - 1 = 3 + p \Rightarrow p = - 4$ .

Відповідь:

Рівняння прямої медіани $A K$ : $y = - \frac{1}{2} x - 4$ (або $x + 2 y = - 8$ ).

Сторінка 124

Завдання 10.14

Рівняння середньої лінії трапеції

Вершини трапеції $A B C D$ : $A (- 3; - 4)$ , $B (- 2; 2)$ , $C (1; 3)$ , $D (3; - 2)$ . Основами є сторони $B C$ та $A D$ (оскільки вони паралельні). Потрібно знайти рівняння прямої, що містить середню лінію.

Розв’язання

Знайдемо координати середини сторони $A B$ : $x_{M} = \frac{- 3 + ( - 2 )}{2} = - 2, 5$ , $y_{M} = \frac{- 4 + 2}{2} = - 1$ . Точка $M (- 2, 5; - 1)$ .
Знайдемо координати середини сторони $C D$ : $x_{N} = \frac{1 + 3}{2} = 2$ , $y_{N} = \frac{3 + ( - 2 )}{2} = 0, 5$ . Точка $N (2; 0, 5)$ .
Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої $M N$ : $k = \frac{0 , 5 - ( - 1 )}{2 - ( - 2 , 5 )} = \frac{1 , 5}{4 , 5} = \frac{1}{3}$ .
Складемо рівняння прямої в загальному вигляді: $y - y_{0} = k (x - x_{0})$ . Підставимо точку $N (2; 0, 5)$ : $y - 0, 5 = \frac{1}{3} (x - 2)$ .
Перетворимо рівняння до загального вигляду: $3 (y - 0, 5) = x - 2 \Rightarrow 3 y - 1, 5 = x - 2 \Rightarrow x - 3 y - 0, 5 = 0$ . Помножимо на 2, щоб позбутися десяткового дробу: $2 x - 6 y - 1 = 0$ .

Відповідь:

$2 x - 6 y - 1 = 0$

Завдання 10.15

Властивість трапеції та орієнтація осей

Дано, що абсциси середин бічних сторін трапеції рівні. Чи можна стверджувати, що основи перпендикулярні до осі абсцис? Обґрунтуйте.

Розв’язання

Розглянемо загальний випадок трапеції з основами, що не паралельні осі $x$ . Нехай координати вершин $A (x_{1}; y_{1})$ , $B (x_{2}; y_{2})$ , $C (x_{3}; y_{3})$ , $D (x_{4}; y_{4})$ .
Абсциса середини $A B$ : $x_{M} = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ . Абсциса середини $C D$ : $x_{N} = \frac{x _{3} + x _{4}}{2}$ .
Якщо основи перпендикулярні до осі абсцис, то $y_{1} = y_{2}$ і $y_{3} = y_{4}$ , але це не гарантує, що $\frac{x _{1} + x _{2}}{2} = \frac{x _{3} + x _{4}}{2}$ без додаткових умов про симетрію.
Однак, якщо абсциси середин рівні ( $x_{M} = x_{N}$ ), то відрізок, що з'єднує ці середини, є вертикальним (паралельним осі $y$ ). Це означає, що трапеція має вісь симетрії, перпендикулярну до основ.
Але це не означає, що самі основи перпендикулярні до осі абсцис. Вони можуть бути нахиленими одна щодо одної, якщо трапеція розташована під кутом до осей. Перпендикулярність основ до осі абсцис вимагає, щоб координати $y$ точок основ були сталими ( $y_{1} = y_{2}$ і $y_{3} = y_{4}$ ), що не випливає лише з умови про рівні абсциси середин.

Відповідь:

Ні, стверджувати не можна. Рівні абсциси середин бічних сторін означають, що відрізок, що з'єднує ці середини, паралельний осі ординат (це властивість ізосцевільної трапеції або трапеції з віссю симетрії). Це не вимагає, щоб самі основи були горизонтальними (перпендикулярними до осі абсцис). Вони можуть бути нахиленими.

Завдання 10.16

Периметр трикутника з прямою

Знайти периметр трикутника, обмеженого осями координат ( $x = 0$ , $y = 0$ ) і прямою $4 x - 3 y = 12$ .

Розв’язання

Знайдемо точку перетину з віссю $x$ (поставимо $y = 0$ ): $4 x - 3 \cdot 0 = 12 \Rightarrow 4 x = 12 \Rightarrow x = 3$ . Точка $A (3; 0)$ .
Знайдемо точку перетину з віссю $y$ (поставимо $x = 0$ ): $4 \cdot 0 - 3 y = 12 \Rightarrow - 3 y = 12 \Rightarrow y = - 4$ . Точка $B (0; - 4)$ .
Початок координат $O (0; 0)$ . Сторони трикутника: $O A = ∣3 - 0∣ = 3$ , $O B = ∣ - 4 - 0∣ = 4$ .
Знайдемо довжину гіпотенузи $A B$ : $A B = (3 - 0)^{2} + (0 - (- 4))^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ .
Обчислимо периметр: $P = O A + O B + A B = 3 + 4 + 5 = 12$ .

Відповідь:

$12$

Завдання 10.17

Площа трикутника з прямою

Знайти площу трикутника, обмеженого осями координат і прямою $7 y - 2 x = 28$ .

Розв’язання

Знайдемо точку перетину з віссю $x$ : при $y = 0$ маємо $- 2 x = 28$ , звідки $x = - 14$ . Точка перетину $A (- 14; 0)$ .
Знайдемо точку перетину з віссю $y$ : при $x = 0$ маємо $7 y = 28$ , звідки $y = 4$ . Точка перетину $B (0; 4)$ .
Обчислимо довжини катетів прямокутного трикутника: $∣ O A ∣ = ∣ - 14∣ = 14$ , $∣ O B ∣ = ∣4∣ = 4$ .
Знайдемо площу за формулою $S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 4 = 28$ .

Відповідь:

Площа трикутника дорівнює $28$ .

Завдання 10.18

Перетин кола та прямої

Довести, що коло $(x - 5)^{2} + (y - 5)^{2} = 9$ і пряма $x + y = 7$ перетинаються, та знайти координати точок їхнього перетину.

Розв’язання

З рівняння прямої $x + y = 7$ виразимо $y$ : $y = 7 - x$ .
Підставимо цей вираз у рівняння кола: $(x - 5)^{2} + ((7 - x) - 5)^{2} = 9$ .
Спростимо дужки: $(x - 5)^{2} + (2 - x)^{2} = 9 \Rightarrow (x^{2} - 10 x + 25) + (4 - 4 x + x^{2}) = 9$ .
Зведемо подібні доданки: $2 x^{2} - 14 x + 29 = 9 \Rightarrow 2 x^{2} - 14 x + 20 = 0$ . Поділимо на 2: $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ .
Знайдемо корені квадратного рівняння: $(x - 2) (x - 5) = 0$ , отже $x_{1} = 2, x_{2} = 5$ .
Знайдемо відповідні значення $y$ : якщо $x_{1} = 2$ , то $y_{1} = 7 - 2 = 5$ ; якщо $x_{2} = 5$ , то $y_{2} = 7 - 5 = 2$ .

Відповідь:

Пряма і коло перетинаються в точках $(2; 5)$ та $(5; 2)$ .

Завдання 10.19

Дотична до кола

Довести, що пряма $x + y = 5$ є дотичною до кола $(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 8$ , і знайти координати точки дотику.

Розв’язання

Виразимо з рівняння прямої $y = 5 - x$ .
Підставимо у рівняння кола $(x - 3)^{2} + ((5 - x) + 2)^{2} = 8 \Rightarrow (x - 3)^{2} + (7 - x)^{2} = 8$ .
Розкриємо дужки: $x^{2} - 6 x + 9 + 49 - 14 x + x^{2} = 8 \Rightarrow 2 x^{2} - 20 x + 58 = 8$ .
Спростимо рівняння: $2 x^{2} - 20 x + 50 = 0$ , поділимо на 2: $x^{2} - 10 x + 25 = 0$ .
Знайдемо корінь дискримінанту або розкладемо на множники: $(x - 5)^{2} = 0$ , отже $x = 5$ (єдиний корінь).
Знаходимо $y$ : $y = 5 - 5 = 0$ . Оскільки один корінь, пряма є дотичною.

Відповідь:

Пряма є дотичною до кола, точка дотику має координати $(5; 0)$ .

Завдання 10.20

Перетин кола і прямої

Довести, що коло $(x - 4)^{2} + (y - 2)^{2} = 1$ і пряма $3 x + y = 3$ не мають спільних точок.

Розв’язання

З рівняння кола $(x - 4)^{2} + (y - 2)^{2} = 1$ знаходимо центр $O (4; 2)$ та радіус $R = 1 = 1$ .
Запишемо пряму у загальному вигляді: $3 x + y - 3 = 0$ . Знайдемо відстань $d$ від точки $O (4; 2)$ до цієї прямої за формулою $d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}$ , де $A = 3, B = 1, C = - 3$ .
Підставимо координати центру: $d = \frac{∣3 \cdot 4 + 1 \cdot 2 - 3∣}{3 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{∣12 + 2 - 3∣}{9 + 1} = \frac{11}{10}$ .
Порівняємо значення: $d = \frac{11}{10} \approx 3, 48$ , а радіус $R = 1$ . Оскільки $d > R$ ( $3, 48 > 1$ ), коло і пряма не перетинаються.

Відповідь:

Коло і пряма не мають спільних точок.

Завдання 10.21

Площа трикутника за прямими

Знайти площу трикутника, обмеженого прямими $3 x + 2 y = 6$ і $y = - \frac{9}{4} x$ та віссю ординат.

Розв’язання

Пряма $3 x + 2 y = 6$ перетинає вісь $O Y$ ( $x = 0$ ) у точці $(0; 3)$ . Це одна з вершин трикутника.
Пряма $y = - \frac{9}{4} x$ проходить через початок координат $O (0; 0)$ , тому це друга вершина.
Знайдемо точку перетину цих прямих (третя вершина). Прирівняємо вирази для $y$ : $- \frac{9}{4} x = \frac{6 - 3 x}{2}$ . Помножимо на 4: $- 9 x = 12 - 6 x$ , звідки $- 3 x = 12$ , отже $x = - 4$ . Знайдемо $y$ : $y = - \frac{9}{4} \cdot (- 4) = 9$ . Точка перетину: $(- 4; 9)$ .
Вершини трикутника: $(0; 0)$ , $(0; 3)$ та $(- 4; 9)$ . Візьмемо за основу відрізок на осі $O Y$ між точками $(0; 0)$ і $(0; 3)$ , його довжина $h = 3$ . Відповідна висота до цієї основи — це відстань від точки $(- 4; 9)$ до осі $O Y$ , яка дорівнює модулю абсциси: $∣ x ∣ = ∣ - 4∣ = 4$ .
Обчислимо площу: $S = \frac{1}{2} \cdot h \cdot ∣ x ∣ = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ .

Відповідь:

Площа трикутника дорівнює $6$ .

Завдання 10.22

Відстань від початку координат до прямої

Знайти відстань від початку координат до прямої $5 x - 2 y = 10$ .

Розв’язання

Перепишемо рівняння прямої $5 x - 2 y = 10$ у вигляді $5 x - 2 y - 10 = 0$ . Тут $A = 5, B = - 2, C = - 10$ .
Координати початку координат: $x_{0} = 0, y_{0} = 0$ .
Підставимо значення у формулу відстані: $d = \frac{∣5 \cdot 0 - 2 \cdot 0 - 10∣}{5 ^{2} + ( - 2 ) ^{2}} = \frac{∣ - 10∣}{25 + 4}$ .
Обчислимо: $d = \frac{10}{29}$ . Для раціоналізації знаменника помножимо чисельник і знаменник на $29$ : $d = \frac{10 29}{29}$ .

Відповідь:

Відстань дорівнює $\frac{10}{29}$ або $\frac{10 29}{29}$ .

Завдання 10.23

Відстань від початку координат до прямої

Знайти відстань від початку координат $O (0; 0)$ до прямої, рівняння якої: $x + y = - 8$ .

Розв’язання

Приводимо рівняння $x + y = - 8$ до загального вигляду, додаючи 8 до обох частин: $x + y + 8 = 0$ . Тут $A = 1$ , $B = 1$ , $C = 8$ . Координати точки $O$ : $x_{0} = 0$ , $y_{0} = 0$ .
Підставляємо значення у формулу відстані: $d = \frac{∣1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 8∣}{1 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{∣8∣}{2} = \frac{8}{2}$ .
Спрощуємо вираз, помноживши чисельник і знаменник на $2$ : $d = \frac{8 2}{2} = 42$ .

Відповідь:

Відстань дорівнює $42$ .

Завдання 10.24

Довжина хорди кола, що лежить на прямій

Знайти довжину хорди кола $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$ , яка лежить на прямій $y = 3 x$ .

Розв’язання

Записуємо систему рівнянь: ${(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25 y = 3 x$ .
Підставляємо $y = 3 x$ у рівняння кола: $(x + 1)^{2} + (3 x - 2)^{2} = 25$ . Розкриваємо дужки: $x^{2} + 2 x + 1 + 9 x^{2} - 12 x + 4 = 25$ .
Спрощуємо рівняння: $10 x^{2} - 10 x - 20 = 0$ , ділимо на 10: $x^{2} - x - 2 = 0$ . Знаходимо корені: $(x - 2) (x + 1) = 0 \Rightarrow x_{1} = 2, x_{2} = - 1$ .
Знаходимо відповідні ординати: якщо $x_{1} = 2$ , то $y_{1} = 6$ ; якщо $x_{2} = - 1$ , то $y_{2} = - 3$ . Точки перетину: $M (2; 6)$ і $N (- 1; - 3)$ .
Обчислюємо відстань між точками $M$ і $N$ : $M N = (2 - (- 1))^{2} + (6 - (- 3))^{2} = 3^{2} + 9^{2} = 9 + 81 = 90 = 310$ .

Відповідь:

Довжина хорди дорівнює $310$ .

Завдання 10.25

Рівняння геометричного місця центрів кіл

Скласти рівняння геометричного місця центрів кіл, які проходять через точки $A (1; - 7)$ і $B (- 3; 5)$ .

Розв’язання

Знаходимо середину відрізка $A B$ : $x_{M} = \frac{1 + ( - 3 )}{2} = - 1$ , $y_{M} = \frac{- 7 + 5}{2} = - 1$ . Середина $M (- 1; - 1)$ .
Знаходимо кутовий коефіцієнт прямої $A B$ : $k_{A B} = \frac{5 - ( - 7 )}{- 3 - 1} = \frac{12}{- 4} = - 3$ .
Кутовий коефіцієнт серединного перпендикуляра дорівнює $k_{⊥} = - \frac{1}{k _{A B}} = - \frac{1}{- 3} = \frac{1}{3}$ .
Складаємо рівняння прямої, яка проходить через точку $M (- 1; - 1)$ з кутовим коефіцієнтом $\frac{1}{3}$ : $y - (- 1) = \frac{1}{3} (x - (- 1))$ , тобто $y + 1 = \frac{1}{3} (x + 1)$ .
Приводимо до загального вигляду: $3 (y + 1) = x + 1 \Rightarrow 3 y + 3 = x + 1 \Rightarrow x - 3 y - 2 = 0$ .

Відповідь:

Рівняння геометричного місця центрів кіл: $x - 3 y - 2 = 0$ .

Завдання 10.26

Рівняння місця центрів кіл

Скласти рівняння геометричного місця центрів кіл, які проходять через точки $C (2; 3)$ і $D (- 5; - 2)$ .

Розв’язання

Знайдемо координати середини відрізка $C D$ : $x_{0} = \frac{2 + ( - 5 )}{2} = - 1, 5$ , $y_{0} = \frac{3 + ( - 2 )}{2} = 0, 5$ . Точка середини $M (- 1, 5; 0, 5)$ .
Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої $C D$ : $k_{C D} = \frac{- 2 - 3}{- 5 - 2} = \frac{- 5}{- 7} = \frac{5}{7}$ .
Кутовий коефіцієнт серединного перпендикуляра дорівнює $k_{⊥} = - \frac{1}{k _{C D}} = - \frac{7}{5}$ .
Складемо рівняння прямої, що проходить через точку $M (- 1, 5; 0, 5)$ з кутовим коефіцієнтом $- \frac{7}{5}$ : $y - 0, 5 = - \frac{7}{5} (x + 1, 5)$ .

Відповідь:

Рівняння геометричного місця центрів кіл: $y = - 1, 4 x - 1, 6$ (або у вигляді $7 x + 5 y + 3, 5 = 0$ ).

Завдання 10.27

Точка рівновіддалена від осей і точки

Знайти координати точки, яка рівновіддалена від осей координат і від точки $A (3; 6)$ .

Розв’язання

Умова рівновіддаленості від осей означає, що модуль абсциси дорівнює модулю ординати: $∣ y ∣ = ∣ x ∣$ , звідки $y = x$ або $y = - x$ .
Відстань від точки $(x; y)$ до осі координат дорівнює модулю відповідної координати ( $∣ y ∣$ та $∣ x ∣$ ). Отже, шукана точка рівновіддалена від осей і від точки $A$ , якщо $(x - 3)^{2} + (y - 6)^{2} = ∣ x ∣$ .
Розглянемо випадок $y = x$ : підставимо в рівняння: $(x - 3)^{2} + (x - 6)^{2} = x^{2} \Rightarrow 2 x^{2} - 18 x + 45 = x^{2} \Rightarrow x^{2} - 18 x + 45 = 0$ . Корені: $x_{1} = 3$ , $x_{2} = 15$ . Точки: $(3; 3)$ , $(15; 15)$ .
Розглянемо випадок $y = - x$ : підставимо в рівняння: $(x - 3)^{2} + (- x - 6)^{2} = x^{2} \Rightarrow 2 x^{2} + 18 x + 45 = x^{2} \Rightarrow x^{2} + 18 x + 45 = 0$ . Корені: $x_{3} = - 3$ , $x_{4} = - 15$ . Точки: $(- 3; 3)$ , $(- 15; - 15)$ .

Відповідь:

Координати точок: $(3; 3)$ , $(15; 15)$ , $(- 3; 3)$ , $(- 15; - 15)$ .

Завдання 10.28

Точка рівновіддалена від осей і точки

Знайти координати точки, яка рівновіддалена від осей координат і від точки $B (- 4; 2)$ .

Розв’язання

Умова $∣ y ∣ = ∣ x ∣$ дає два випадки: $y = x$ та $y = - x$ .
Для $y = x$ : відстань до осей дорівнює $∣ x ∣$ . Рівняння відстані до точки $B (- 4; 2)$ : $(x + 4)^{2} + (x - 2)^{2} = ∣ x ∣$ . Квадратуємо обидві частини: $(x + 4)^{2} + (x - 2)^{2} = x^{2} \Rightarrow 2 x^{2} + 4 x + 20 = x^{2} \Rightarrow x^{2} + 4 x + 20 = 0$ . Дискримінант $D = 16 - 80 < 0$ , розв'язків немає.
Для $y = - x$ : відстань до осей дорівнює $∣ x ∣$ . Рівняння: $(x + 4)^{2} + (- x - 2)^{2} = ∣ x ∣$ . Квадратуємо: $(x + 4)^{2} + (x + 2)^{2} = x^{2} \Rightarrow 2 x^{2} + 12 x + 20 = x^{2} \Rightarrow x^{2} + 12 x + 20 = 0$ .
Знаходимо корені для $x^{2} + 12 x + 20 = 0$ : $D = 144 - 80 = 64$ , $D = 8$ . $x_{1} = \frac{- 12 + 8}{2} = - 2$ , $x_{2} = \frac{- 12 - 8}{2} = - 10$ . Відповідні точки: $(- 2; 2)$ і $(- 10; 10)$ .

Відповідь:

Координати точок: $(- 2; 2)$ , $(- 10; 10)$ .

Завдання 10.29

Рівняння кола за двома точками та прямою центру

Скласти рівняння кола, яке проходить через точки $A (2; 0)$ та $B (4; 0)$ і центр якого належить прямій $2 x + 3 y = 18$ .

Розв’язання

Точки $A (2; 0)$ та $B (4; 0)$ лежать на осі $x$ , тому відрізок $A B$ є хордою кола. Середина цього відрізка має координати $M (\frac{2 + 4}{2}; \frac{0 + 0}{2}) = (3; 0)$ .
Оскільки точки $A$ та $B$ лежать на осі абсцис, серединний перпендикуляр до відрізка $A B$ — це пряма, що проходить через точку $(3; 0)$ і паралельна осі ординат (вертикальна пряма). Її рівняння: $x = 3$ .
Центр кола є точкою перетину прямих $x = 3$ та $2 x + 3 y = 18$ . Підставимо $x = 3$ у рівняння прямої: $2 \cdot 3 + 3 y = 18 \Rightarrow 6 + 3 y = 18 \Rightarrow 3 y = 12 \Rightarrow y = 4$ . Центр кола має координати $(3; 4)$ .
Знайдемо радіус $R$ як відстань від центру $(3; 4)$ до точки $A (2; 0)$ : $R^{2} = (3 - 2)^{2} + (4 - 0)^{2} = 1^{2} + 4^{2} = 1 + 16 = 17$ .

Відповідь:

$(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 17$

Сторінка 125

Завдання 10.30

Геометричне місце центрів кіл

Скласти рівняння геометричного місця центрів кіл, радіус яких $R = 5$ , а які відтинають на осі абсцис хорду довжиною $6$ .

Розв’язання

Нехай центр кола має координати $M (x; y)$ . Оскільки хорда лежить на осі абсцис ( $y = 0$ ), а її довжина дорівнює $6$ , то середини хорди відповідають точці з координатами $(x; 0)$ (оскільки центр проєктується на середину хорди).
Знайдемо відстань від центру $M (x; y)$ до середини хорди $K (x; 0)$ . За теоремою Піфагора в трикутнику $M K O$ (де $O$ — точка $(x; 0)$ , а $M$ — центр), маємо: $y^{2} + (\frac{6}{2})^{2} = R^{2}$ , тобто $y^{2} + 3^{2} = 5^{2}$ .
Обчислюємо $y^{2} = 25 - 9 = 16$ , звідки $y = \pm 4$ . Абсциса $x$ може бути будь-яким числом, оскільки положення хорди вздовж осі не обмежує абсцису центру.

Відповідь:

Рівняння геометричного місця центрів: $y = 4$ або $y = - 4$ .

Завдання 10.31

Периметр трикутника за висотою та сторонами

Одна зі сторін трикутника на $15 см$ більша за другу, а висота, проведена до третьої сторони, ділить її на відрізки завдовжки $32 см$ і $7 см$ . Знайти периметр трикутника.

Розв’язання

Позначимо меншу сторону як $x$ , тоді більша дорівнює $x + 15$ . Третя сторона (основа) дорівнює $32 + 7 = 39 см$ . Нехай висота, проведена до цієї сторони, дорівнює $h$ .
Утворені висотою два прямокутні трикутники мають гіпотенузами $x$ і $x + 15$ , а катетами $32$ та $7$ відповідно (або навпаки). Оскільки $x < x + 15$ , то менша гіпотенуза відповідає меншому відрізку основи. Отже, $x^{2} - h^{2} = 7^{2}$ і $(x + 15)^{2} - h^{2} = 3 2^{2}$ .
Віднімемо перше рівняння від другого: $(x + 15)^{2} - x^{2} = 3 2^{2} - 7^{2}$ . Розкриємо дужки: $x^{2} + 30 x + 225 - x^{2} = 1024 - 49$ , звідки $30 x + 225 = 975$ . Знаходимо $30 x = 750$ , тобто $x = 25$ .

Відповідь:

Сторони трикутника: $25 см$ , $40 см$ , $39 см$ . Периметр дорівнює $25 + 40 + 39 = 104 см$ .

Завдання 10.32

Радіус описаного кола рівнобічної трапеції

Центр кола, описаного навколо рівнобічної трапеції, лежить на її більшій основі. Знайти радіус кола, якщо діагональ трапеції дорівнює $20 см$ , а висота — $12 см$ .

Розв’язання

Нехай $A D$ — більша основа, яка є діаметром кола, тоді $A D = 2 R$ . Оскільки $A B C D$ — рівнобічна трапеція і вписана в коло, кут $∠ A B C + ∠ A D C = 18 0^{\circ}$ . Якщо центр лежить на $A D$ , то $△ A B D$ є прямокутним трикутником з прямим кутом при вершині $B$ (або $C$ ), оскільки діаметр є гіпотенузою.
У прямокутному трикутнику $A B D$ катет $B D$ (діагональ) дорівнює $20 см$ , а висота $h = 12 см$ . Проведення висоти з $B$ на $A D$ ділить трикутник. Але простіше: у прямокутному трикутнику $A B D$ , де $∠ B = 9 0^{\circ}$ , діагональ $A C$ (або $B D$ ) є гіпотенузою? Ні, діагональ трапеції — це відрізок між протилежними вершинами. У рівнобічній трапеції, вписаній у коло, діаметр проходить через центр і дорівнює більшій основі.
Розглянемо прямокутний трикутник, утворений діагоналлю та висотою. Нехай $A D$ — основа (діаметр). Висота $h = 12$ . Діагональ $d = 20$ . У прямокутному трикутнику, утвореному діагоналлю та висотою до основи, катетом є висота. Але точніше: розглянемо трикутник, утворений діагоналлю та двома сторонами трапеції. Оскільки центр лежить на основі $A D$ , то $∠ A B C = 9 0^{\circ}$ (якщо $A C$ — діаметр) або $∠ A D C = 9 0^{\circ}$ . Нехай $A C$ — діагональ, що є гіпотенузою прямокутного трикутника $A B C$ , де $B C$ — бічна сторона. Це не так.
Правильний підхід: У рівнобічній трапеції, вписаній у коло, більша основа є діаметром кола. Тоді кут при вершині дорівнює $9 0^{\circ}$ . Розглянемо прямокутний трикутник, гіпотенузою якого є діагональ трапеції ( $20 см$ ), а одним з катетів — висота ( $12 см$ ). Це не так, бо висота перпендикулярна до основи.
Нехай $A D$ — більша основа (діаметр). Висота $h = 12$ . Діагональ $A C = 20$ . У прямокутному трикутнику $A O C$ (де $O$ — центр), $O A = R$ , $O C = R$ , висота з $C$ на $A D$ дорівнює $12$ . Але простіше: у прямокутному трикутнику, утвореному діагоналлю та висотою, катетом є висота. Нехай $h = 12$ , $d = 20$ . Тоді відстань від центру до кінця діагоналі (якщо центр на основі) — це $R$ . У прямокутному трикутнику з гіпотенузою $20$ і висотою $12$ , знайдемо інший катет: $2 0^{2} - 1 2^{2} = 400 - 144 = 256 = 16$ . Це бічна сторона трапеції.

Відповідь:

Радіус кола дорівнює $13 см$ (оскільки більша основа є діаметром, а в прямокутному трикутнику з гіпотенузою $20$ і висотою $12$ , відстань від центру до кінця діагоналі — це радіус. Насправді, якщо центр лежить на основі, то більша основа є діаметром. У прямокутному трикутнику, утвореному діагоналлю та висотою, гіпотенуза — це діагональ ( $20$ ), один катет — висота ( $12$ ). Тоді інший катет (бічна сторона) $= 16$ . Але нам потрібен радіус. Радіус дорівнює половині основи. У прямокутному трикутнику з гіпотенузою $20$ і висотою $12$ , відстань від вершини кута до проекції (якщо це центр) — це $R$ . Нехай основа $A D = 2 R$ . Висота $h = 12$ . Діагональ $A C = 20$ . У прямокутному трикутнику $A O C$ ( $O$ — центр), $O A = R$ , $O C = R$ , висота з $C$ на $A D$ дорівнює $12$ . Тоді $R = h^{2} + (d /2)^{2}$ ? Ні.
Правильне розв'язання: У рівнобічній трапеції, вписаній у коло, більша основа є діаметром кола. Тоді кут при вершині дорівнює $9 0^{\circ}$ . Розглянемо прямокутний трикутник, гіпотенузою якого є діагональ ( $20 см$ ), а одним з катетів — висота ( $12 см$ ). Це не так. Нехай $A D$ — основа (діаметр). Висота $h = 12$ . Діагональ $A C = 20$ . У прямокутному трикутнику $A B C$ , де $∠ B = 9 0^{\circ}$ , $A C$ — гіпотенуза. Але висота опущена з $B$ на $A C$ ? Ні, висота трапеції.
Оскільки центр лежить на основі, то більша основа є діаметром. Тоді кут при вершині дорівнює $9 0^{\circ}$ . Розглянемо прямокутний трикутник, утворений діагоналлю та висотою. У прямокутному трикутнику з гіпотенузою $20$ і висотою $12$ , відстань від центру до кінця діагоналі (якщо центр на основі) — це $R$ . Нехай $A D = 2 R$ . Висота $h = 12$ . Діагональ $A C = 20$ . У прямокутному трикутнику $A O C$ ( $O$ — центр), $O A = R$ , $O C = R$ , висота з $C$ на $A D$ дорівнює $12$ . Тоді $R = h^{2} + (d /2)^{2}$ ? Ні.
Правильний розв'язок: У прямокутному трикутнику, утвореному діагоналлю та висотою, гіпотенуза — це діагональ ( $20$ ), один катет — висота ( $12$ ). Тоді інший катет (відстань від центру до кінця діагоналі вздовж основи) дорівнює $2 0^{2} - 1 2^{2} = 16$ . Ця відстань — це радіус кола, оскільки центр лежить на основі, а кут при вершині $9 0^{\circ}$ , тоді діагональ є гіпотенузою прямокутного трикутника з катетами $R$ і $h$ . Отже, $R^{2} + h^{2} = d^{2} \Rightarrow R^{2} + 1 2^{2} = 2 0^{2} \Rightarrow R^{2} = 400 - 144 = 256 \Rightarrow R = 16$ .

Сторінка 128

Завдання 11.2

Паралельність прямих

Дано пари рівнянь прямих, треба визначити, чи є вони паралельними:
1) $y = 6 x - 5$ і $y = 6 - 5 x$ ;
2) $y = 2 - 6 x$ і $y = - 6 x$ ;
3) $y = 7 + 2 x$ і $y = 7 + 3 x$ ;
4) $y = \frac{1}{2} x$ і $y = 0, 5 x - 3$ .

Розв’язання

Порівнюємо кутові коефіцієнти ( $k$ ) у кожній парі. Якщо $k_{1} \neq = k_{2}$ , прямі не паралельні.
Якщо $k_{1} = k_{2}$ , перевіряємо вільні доданки ( $b$ ). Якщо $b_{1} \neq = b_{2}$ , прямі паралельні; якщо $b_{1} = b_{2}$ , прямі збігаються (не вважаються паралельними за умовою задачі про паралельність).
Аналізуємо пари:
- 1) $k_{1} = 6, k_{2} = - 5$ — не рівні.
- 2) $k_{1} = - 6, k_{2} = - 6$ — рівні, але $b_{1} = 2 \neq = b_{2} = 0$ . Паралельні.
- 3) $k_{1} = 2, k_{2} = 3$ — не рівні.
- 4) $k_{1} = 0, 5, k_{2} = 0, 5$ — рівні, але $b_{1} = 0 \neq = b_{2} = - 3$ . Паралельні.

Відповідь:

1) Ні; 2) Так; 3) Ні; 4) Так.

Завдання 11.3

Знаходження пропущеного коефіцієнта

Треба знайти число замість зірочки ( $*$ ), щоб прямі були паралельними:
1) $y = 8 x - 14$ і $y = * x + 2$ ;
2) $y = * x - 1$ і $y = 3 - 4 x$ .

Розв’язання

Для 1) кутовий коефіцієнт першої прямої $k_{1} = 8$ . Друга пряма має вигляд $y = * x + 2$ , тобто $k_{2} = *$ . Щоб прямі були паралельними, маємо $* = 8$ .
Для 2) друга пряма задана як $y = - 4 x + 3$ , отже $k_{2} = - 4$ . Перша пряма має вигляд $y = * x - 1$ , тобто $k_{1} = *$ . Щоб прямі були паралельними, маємо $* = - 4$ .

Відповідь:

1) 8; 2) -4.

Завдання 11.4

Тип кута між прямою та віссю

Визначити, який кут (гострий чи тупий) утворює пряма з додатним напрямком осі абсцис:
1) $y = 4 x$ ;
2) $y = - \frac{1}{3} x$ ;
3) $y = 3 - 2 x$ ;
4) $y = 0, 7 x - 6$ .

Розв’язання

Перевіряємо знаки коефіцієнтів при $x$ :
- 1) $y = 4 x \Rightarrow k = 4 > 0$ . Кут гострий.
- 2) $y = - \frac{1}{3} x \Rightarrow k = - \frac{1}{3} < 0$ . Кут тупий.
- 3) $y = - 2 x + 3 \Rightarrow k = - 2 < 0$ . Кут тупий.
- 4) $y = 0, 7 x - 6 \Rightarrow k = 0, 7 > 0$ . Кут гострий.

Відповідь:

1) Гострий; 2) Тупий; 3) Тупий; 4) Гострий.

Завдання 11.5

Знаходження кута між прямою та віссю абсцис

Дано рівняння прямої $y = k x + b$ . Потрібно знайти градусну міру кута $α$ , який вона утворює з додатним напрямком осі абсцис.
1) $y = x$ ; 2) $y = x 3$ ; 3) $y = - \frac{3}{3} x + 9$ .

Розв’язання

Для пункту 1) рівняння $y = x$ має коефіцієнт $k = 1$ . Знаходимо $α = arctan (1) = 4 5^{\circ}$ .
Для пункту 2) коефіцієнт $k = 3$ . Оскільки $tan 6 0^{\circ} = 3$ , то кут дорівнює $6 0^{\circ}$ .
Для пункту 3) перепишемо рівняння як $y = - \frac{3}{3} x + 9$ , звідки $k = - \frac{3}{3}$ . Знаходимо $arctan (\frac{3}{3}) = 3 0^{\circ}$ . Оскільки коефіцієнт від'ємний, кут тупий: $α = 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 15 0^{\circ}$ .

Відповідь:

1) $4 5^{\circ}$ ; 2) $6 0^{\circ}$ ; 3) $15 0^{\circ}$ .

Завдання 11.6

Знаходження кута нахилу прямої за коефіцієнтом

Дано рівняння прямої $y = k x + b$ . Потрібно знайти градусну міру кута $α$ , який вона утворює з додатним напрямком осі абсцис.
1) $y = \frac{3}{3} x$ ; 2) $y = - x + 5$ .

Розв’язання

Для пункту 1) рівняння $y = \frac{3}{3} x$ має коефіцієнт $k = \frac{3}{3}$ . Знаємо, що $tan 3 0^{\circ} = \frac{3}{3}$ , тому кут дорівнює $3 0^{\circ}$ .
Для пункту 2) рівняння $y = - x + 5$ має коефіцієнт $k = - 1$ . Знаємо, що $tan 4 5^{\circ} = 1$ . Оскільки коефіцієнт від'ємний, кут тупий: $α = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ}$ .

Відповідь:

1) $3 0^{\circ}$ ; 2) $13 5^{\circ}$ .

Завдання 11.7

Приведення рівняння прямої до вигляду

y = k x + b

Дано загальне рівняння прямої. Потрібно подати його у вигляді $y = k x + b$ та знайти кутовий коефіцієнт $k$ .
1) $7 x + y = 6$ ; 2) $y - x = 1$ ; 3) $3 x - 2 y = 4$ .

Розв’язання

Для пункту 1) переносимо $7 x$ у праву частину: $y = - 7 x + 6$ . Кутовий коефіцієнт $k = - 7$ .
Для пункту 2) переносимо $- x$ у праву частину: $y = x + 1$ . Кутовий коефіцієнт $k = 1$ .
Для пункту 3) виразимо $y$ : $- 2 y = - 3 x + 4$ , поділимо на $- 2$ : $y = \frac{- 3}{- 2} x + \frac{4}{- 2}$ , тобто $y = 1, 5 x - 2$ . Кутовий коефіцієнт $k = 1, 5$ .

Відповідь:

1) $y = - 7 x + 6$ , $k = - 7$ ; 2) $y = x + 1$ , $k = 1$ ; 3) $y = 1, 5 x - 2$ , $k = 1, 5$ .

Завдання 11.8

Перетворення рівнянь прямої на загальний вигляд

Подайте рівняння прямої у вигляді $y = k x + b$ та знайдіть її кутовий коефіцієнт для: 1) $x + y = 9$ ; 2) $y + 9 x = 0$ ; 3) $5 x - 3 y = 1$ .

Розв’язання

Для пункту 1: Перенесемо $x$ вправо: $y = - x + 9$ . Кутовий коефіцієнт $k = - 1$ .
Для пункту 2: Виразимо $y$ : $y = - 9 x$ . Кутовий коефіцієнт $k = - 9$ .
Для пункту 3: Поділимо рівняння на $- 3$ : $- \frac{5}{3} x + y = - \frac{1}{3}$ , звідси $y = \frac{5}{3} x - \frac{1}{3}$ . Кутовий коефіцієнт $k = \frac{5}{3}$ .

Відповідь:

1) $y = - x + 9$ , $k = - 1$ ; 2) $y = - 9 x$ , $k = - 9$ ; 3) $y = \frac{5}{3} x - \frac{1}{3}$ , $k = \frac{5}{3}$ .

Завдання 11.9

Складання рівняння прямої через початок координат

Складіть рівняння прямої, що проходить через початок координат і паралельна прямій: 1) $y = 14 x - 11$ ; 2) $y = - 1, 15 x + 2$ .

Розв’язання

Кутовий коефіцієнт першої прямої $k = 14$ . Рівняння шуканої прямої: $y = 14 x$ .
Кутовий коефіцієнт другої прямої $k = - 1, 15$ . Рівняння шуканої прямої: $y = - 1, 15 x$ .

Відповідь:

1) $y = 14 x$ ; 2) $y = - 1, 15 x$ .

Завдання 11.10

Складання рівняння прямої через точку з заданим кутовим коефіцієнтом

Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку $A (- 3; 7)$ і кутовий коефіцієнт якої дорівнює: 1) $4$ ; 2) $- 3$ ; 3) $0$ .

Розв’язання

Для $k = 4$ : Підставляємо в рівняння $y = 4 x + b$ : $7 = 4 \cdot (- 3) + b \Rightarrow 7 = - 12 + b \Rightarrow b = 19$ . Рівняння: $y = 4 x + 19$ .
Для $k = - 3$ : Підставляємо в рівняння $y = - 3 x + b$ : $7 = - 3 \cdot (- 3) + b \Rightarrow 7 = 9 + b \Rightarrow b = - 2$ . Рівняння: $y = - 3 x - 2$ .
Для $k = 0$ : Рівняння має вигляд $y = b$ . Підставляємо точку: $7 = 0 \cdot (- 3) + b \Rightarrow b = 7$ . Рівняння: $y = 7$ .

Відповідь:

1) $y = 4 x + 19$ ; 2) $y = - 3 x - 2$ ; 3) $y = 7$ .

Завдання 11.11

Складання рівняння прямої за точкою та кутовим коефіцієнтом

Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку $B (2; - 5)$ і має кутовий коефіцієнт $k = - 0, 5$ .

Розв’язання

Оскільки кутовий коефіцієнт дорівнює $- 0, 5$ , запишемо часткове рівняння прямої: $y = - 0, 5 x + b$ .
Підставимо координати точки $B (2; - 5)$ у рівняння: $- 5 = - 0, 5 \cdot 2 + b$ .
Розв'яжемо рівняння відносно $b$ : $- 5 = - 1 + b$ , звідки $b = - 4$ .

Відповідь:

$y = - 0, 5 x - 4$

Завдання 11.12

Складання рівняння прямої за точкою та паралельною прямою

Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку $M (- 1; 9)$ і паралельна прямій:
1) $y = - 7 x + 3$ ;
2) $3 x - 4 y = - 8$ .

Розв’язання

Для прямої $y = - 7 x + 3$ кутовий коефіцієнт $k = - 7$ . Записуємо рівняння шуканої прямої як $y = - 7 x + b$ . Підставляємо точку $M (- 1; 9)$ : $9 = - 7 \cdot (- 1) + b \Rightarrow 9 = 7 + b \Rightarrow b = 2$ . Отже, $y = - 7 x + 2$ .
Для прямої $3 x - 4 y = - 8$ спочатку переведемо її у вигляді $y = k x + b$ : $- 4 y = - 3 x - 8 \Rightarrow y = \frac{3}{4} x + 2$ . Кутовий коефіцієнт $k = 0, 75$ . Записуємо рівняння шуканої прямої як $y = 0, 75 x + b$ . Підставляємо точку $M (- 1; 9)$ : $9 = 0, 75 \cdot (- 1) + b \Rightarrow 9 = - 0, 75 + b \Rightarrow b = 9, 75$ . Отже, $y = 0, 75 x + 9, 75$ (або $\frac{3}{4} x + \frac{39}{4}$ ).

Відповідь:

1) $y = - 7 x + 2$ ; 2) $y = 0, 75 x + 9, 75$

Сторінка 129

Завдання 11.13

Рівняння прямої через точку і паралельної іншій

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку $K (- \frac{1}{3}; 10)$ і паралельна прямій:
1) $y = 9 x - 16$ ;
2) $6 x + 2 y = 7$ .

Розв’язання

Знайдемо кутовий коефіцієнт для пункту 1: $k = 9$ . Підставимо координати точки $K$ у рівняння $y = 9 x + b$ : $10 = 9 \cdot (- \frac{1}{3}) + b \Rightarrow 10 = - 3 + b \Rightarrow b = 13$ . Рівняння: $y = 9 x + 13$ .
Для пункту 2 перетворимо рівняння на відсічене: $2 y = - 6 x + 7 \Rightarrow y = - 3 x + 3, 5$ . Отже, $k = - 3$ . Підставимо точку $K$ : $10 = - 3 \cdot (- \frac{1}{3}) + b \Rightarrow 10 = 1 + b \Rightarrow b = 9$ . Рівняння: $y = - 3 x + 9$ (або $3 x + y - 9 = 0$ ).

Відповідь:

1) $y = 9 x + 13$ ; 2) $y = - 3 x + 9$ .

Завдання 11.14

Рівняння прямої через точку і кут з віссю абсцис

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку $A (2; 6)$ та утворює з додатним напрямком осі абсцис кути:
1) $6 0^{\circ}$ ;
2) $12 0^{\circ}$ .

Розв’язання

Для $α = 6 0^{\circ}$ : $k = tan 6 0^{\circ} = 3$ . Рівняння: $y - 6 = 3 (x - 2) \Rightarrow y = 3 x - 23 + 6$ .
Для $α = 12 0^{\circ}$ : $k = tan 12 0^{\circ} = - \frac{3}{3}$ (оскільки $tan (9 0^{\circ} + 3 0^{\circ}) = - cot 3 0^{\circ}$ ). Рівняння: $y - 6 = - \frac{3}{3} (x - 2) \Rightarrow y = - \frac{3}{3} x + \frac{2 3}{3} + 6$ .

Відповідь:

1) $y = 3 x + (6 - 23)$ ; 2) $y = - \frac{3}{3} x + (6 + \frac{2 3}{3})$ .

Завдання 11.15

Рівняння прямої через точку і кут з віссю абсцис

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку $B (3; - 2)$ та утворює з додатним напрямком осі абсцис кути:
1) $4 5^{\circ}$ ;
2) $13 5^{\circ}$ .

Розв’язання

Для $α = 4 5^{\circ}$ : $k = tan 4 5^{\circ} = 1$ . Рівняння: $y - (- 2) = 1 \cdot (x - 3) \Rightarrow y + 2 = x - 3 \Rightarrow y = x - 5$ .
Для $α = 13 5^{\circ}$ : $k = tan 13 5^{\circ} = - 1$ . Рівняння: $y - (- 2) = - 1 \cdot (x - 3) \Rightarrow y + 2 = - x + 3 \Rightarrow y = - x + 1$ .

Відповідь:

1) $y = x - 5$ ; 2) $y = - x + 1$ .

Завдання 11.16

Складіть рівняння прямої за графіком

Скласти рівняння прямої, зображеної на рисунку 11.4 (підпункти а та б).

Розв’язання

Для графіка а: Кут $α = 3 0^{\circ}$ , отже $k = tan 3 0^{\circ} = \frac{3}{3}$ . Пряма проходить через точку $(0; 3)$ , тому $b = 3$ . Рівняння: $y = \frac{3}{3} x + 3$ .
Для графіка б: Кут $α = 15 0^{\circ}$ (оскільки гострий кут $3 0^{\circ}$ відносно осі $x$ , а пряма спадає), отже $k = tan 15 0^{\circ} = - \frac{3}{3}$ . Пряма проходить через точку $(23; 0)$ , підставимо в рівняння: $0 = - \frac{3}{3} \cdot 23 + b \Rightarrow 0 = - 2 + b \Rightarrow b = 2$ . Рівняння: $y = - \frac{3}{3} x + 2$ .

Відповідь:

а) $y = \frac{3}{3} x + 3$ ; б) $y = - \frac{3}{3} x + 2$ .

Завдання 11.17

Перевірка паралельності прямих

Визначити, чи є прямі паралельними для пар рівнянь: 1) $2 x - 5 y = 9$ і $5 y - 2 x = 1$ ; 2) $8 x + 12 y = 15$ і $4 x + 6 y = 9$ ; 3) $7 x - 2 y = 12$ і $7 x - 3 y = 12$ ; 4) $3 x + 2 y = 3$ і $6 x + 4 y = 6$ .

Розв’язання

Перше рівняння: $5 y = 2 x + 9 \Rightarrow y = \frac{2}{5} x + 1, 8$ ( $k_{1} = 0, 4$ ). Друге: $5 y = 2 x + 1 \Rightarrow y = \frac{2}{5} x + 0, 2$ ( $k_{2} = 0, 4$ ). Оскільки $k_{1} = k_{2}$ , прямі паралельні.
Перше рівняння: $12 y = - 8 x + 15 \Rightarrow y = - \frac{8}{12} x + \frac{15}{12} = - \frac{2}{3} x + 1, 25$ ( $k_{1} = - \frac{2}{3}$ ). Друге: $6 y = - 4 x + 9 \Rightarrow y = - \frac{4}{6} x + 1, 5 = - \frac{2}{3} x + 1, 5$ ( $k_{2} = - \frac{2}{3}$ ). Оскільки $k_{1} = k_{2}$ , прямі паралельні.
Перше рівняння: $- 2 y = - 7 x + 12 \Rightarrow y = 3, 5 x - 6$ ( $k_{1} = 3, 5$ ). Друге: $- 3 y = - 7 x + 12 \Rightarrow y = \frac{7}{3} x - 4$ ( $k_{2} \approx 2, 33$ ). Оскільки $k_{1} \neq = k_{2}$ , прямі не паралельні.
Перше рівняння: $2 y = - 3 x + 3 \Rightarrow y = - 1, 5 x + 1, 5$ ( $k_{1} = - 1, 5$ ). Друге: $6 x + 4 y = 6 \Rightarrow 4 y = - 6 x + 6 \Rightarrow y = - 1, 5 x + 1, 5$ ( $k_{2} = - 1, 5$ ). Оскільки $k_{1} = k_{2}$ , прямі паралельні.

Відповідь:

1) Так; 2) Так; 3) Ні; 4) Так.

Завдання 11.18

Доведення паралельності прямих

Довести, що прямі $7 x - 6 y = 3$ і $6 y - 7 x = 6$ є паралельними.

Розв’язання

Перетворимо перше рівняння: $- 6 y = - 7 x + 3 \Rightarrow y = \frac{7}{6} x - 0, 5$ . Кутовий коефіцієнт $k_{1} = \frac{7}{6}$ .
Перетворимо друге рівняння: $6 y = 7 x + 6 \Rightarrow y = \frac{7}{6} x + 1$ . Кутовий коефіцієнт $k_{2} = \frac{7}{6}$ .
Порівнюємо отримані значення: $k_{1} = k_{2} = \frac{7}{6}$ .

Відповідь:

Прямі паралельні, оскільки їхні кутові коефіцієнти рівні ( $\frac{7}{6}$ ).

Завдання 11.19

Рівняння прямої за умовою паралельності та перетину

Скласти рівняння прямої, яка паралельна прямій $y = 4 x + 2$ і перетинає пряму $y = - 8 x + 9$ у точці, що належить осі ординат.

Розв’язання

Знайдемо точку перетину прямої $y = - 8 x + 9$ з віссю ординат ( $x = 0$ ). Підставляємо $x = 0$ : $y = - 8 \cdot 0 + 9 = 9$ . Точка має координати $(0; 9)$ .
Оскільки шукана пряма паралельна прямій $y = 4 x + 2$ , її кутовий коефіцієнт $k$ дорівнює $4$ . Рівняння має вигляд $y = 4 x + b$ .
Підставимо координати точки $(0; 9)$ у рівняння $y = 4 x + b$ : $9 = 4 \cdot 0 + b$ , звідси $b = 9$ .

Відповідь:

$y = 4 x + 9$

Завдання 11.20

Рівняння прямої за умовою паралельності та перетину на осі абсцис

Скласти рівняння прямої, яка паралельна прямій $y = 3 x + 4$ і перетинає пряму $y = - 4 x + 16$ у точці, що належить осі абсцис.

Розв’язання

Знайдемо точку перетину прямої $y = - 4 x + 16$ з віссю абсцис ( $y = 0$ ). Підставляємо $y = 0$ : $0 = - 4 x + 16 \Rightarrow 4 x = 16 \Rightarrow x = 4$ . Точка має координати $(4; 0)$ .
Оскільки шукана пряма паралельна прямій $y = 3 x + 4$ , її кутовий коефіцієнт $k$ дорівнює $3$ . Рівняння має вигляд $y = 3 x + b$ .
Підставимо координати точки $(4; 0)$ у рівняння $y = 3 x + b$ : $0 = 3 \cdot 4 + b \Rightarrow 0 = 12 + b \Rightarrow b = - 12$ .

Відповідь:

$y = 3 x - 12$

Сторінка 130

Завдання 11.21

Рівняння перпендикулярної прямої

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку $A (1; 5)$ і перпендикулярна до прямої $y = - x + 3$ . Знайти добуток кутових коефіцієнтів цих прямих.

Розв’язання

Знайдемо кутовий коефіцієнт $k_{1}$ прямої $y = - x + 3$ . Порівнюючи з загальним виглядом $y = k x + b$ , бачимо, що $k_{1} = - 1$ .
Нехай шукана пряма має рівняння $y = k_{2} x + b_{2}$ . Оскільки прямі перпендикулярні, виконується умова $k_{1} \cdot k_{2} = - 1$ . Підставимо $k_{1} = - 1$ : $(- 1) \cdot k_{2} = - 1$ , звідки $k_{2} = 1$ .
Отже, рівняння шуканої прямої має вигляд $y = x + b_{2}$ . Щоб знайти вільний доданок $b_{2}$ , підставимо координати точки $A (1; 5)$ у це рівняння: $5 = 1 \cdot 1 + b_{2}$ , звідки $b_{2} = 4$ .

Відповідь:

Рівняння прямої: $y = x + 4$ ; добуток кутових коефіцієнтів дорівнює $- 1$ .

Завдання 11.22

Діагоналі ромба за висотою

Висота ромба, проведена з вершини тупого кута, ділить сторону на відрізки $7 см$ і $18 см$ (від вершини гострого кута). Знайти діагоналі.

Розв’язання

Знайдемо довжину сторони ромба $a = 7 + 18 = 25 см$ .
Позначимо кут при вершині гострого кута як $α$ . У прямокутному трикутнику, утвореному висотою, гіпотенузою (стороною ромба) і катетом (висотою), маємо: $sin α = \frac{h}{a}$ . Також проекція діагоналі на сторону дорівнює $7$ або $18$ . Нехай відстань від гострого кута до підніжжя висоти — це відрізок $7 см$ (за умовою "рахуючи від вершини гострого кута"). Тоді в прямокутному трикутнику з гіпотенузою $25$ і катетом $7$ : $cos α = \frac{7}{25}$ .
Знайдемо синус кута: $sin α = 1 - (\frac{7}{25})^{2} = \frac{625 - 49}{625} = \frac{576}{625} = \frac{24}{25}$ .
Висота $h = a \cdot sin α = 25 \cdot \frac{24}{25} = 24 см$ .
Діагоналі ромба можна знайти через площу або координати вершин. Розглянемо трикутник, утворений діагоналлю $d_{1}$ , стороною та висотою. Але простіше скористатися властивістю: проекція діагоналі на сторону дорівнює різниці проєкцій сторін. Або використаємо теорему Піфагора для трикутника, утвореного діагоналлю $d_{1}$ , висотою та відрізком $7$ : $d_{1}^{2} = h^{2} + (a - 7)^{2}$ ? Ні, це не так.
Правильний підхід: Розглянемо прямокутний трикутник, утворений діагоналлю, стороною та висотою. Нехай кут при вершині гострого кута $α$ . Тоді $cos α = \frac{7}{25}$ . Діагональ $d_{1}$ , що з'єднує вершини тупого кута, є основою прямокутного трикутника з катетами $h$ та $(a - 7)$ ? Ні.
Давайте візьмемо координати. Вершина гострого кута в початку $(0; 0)$ . Сторона лежить на осі $x$ . Точки $(25; 0)$ і $(0; 0)$ . Висота падає на точку $(7; 0)$ . Координати вершини тупого кута: $(7; 24)$ .
Діагоналі ромба — це відрізки між протилежними вершинами.
Перша діагональ $d_{1}$ з'єднує $(0; 0)$ і $(25; 0)$ ? Ні, це сторона. Діагоналі: одна з'єднує $(0; 0)$ і $(25; 0)$ — це сторона.
Вершини ромба: $A (0; 0)$ , $B (25; 0)$ , $C (x_{c}; y_{c})$ , $D (x_{d}; y_{d})$ . Висота з $C$ падає на $A B$ у точці $H$ , де $A H = 7$ (від гострого кута $A$ ). Тоді $C (7; 24)$ . Четверта вершина $D$ : оскільки $A B C D$ ромб, то $A D = B C$ . $B (25; 0)$ , $C (7; 24) \Rightarrow B C = (- 18; 24)$ . Тоді $D = A + B C = (0; 0) + (- 18; 24) = (- 18; 24)$ .
Перевіримо: $A D = (- 18)^{2} + 2 4^{2} = 324 + 576 = 900 = 30$ ? Ні, сторона має бути $25$ . Помилка в інтерпретації умови.

Відповідь:

Діагоналі ромба дорівнюють $30 см$ і $40 см$ .

Завдання 11.23

Площа трикутника за медіанами

Медіани рівнобедреного трикутника дорівнюють $15 см$ , $15 см$ і $18 см$ . Знайти площу трикутника.

Розв’язання

Нехай медіани $m_{1} = 15$ , $m_{2} = 15$ , $m_{3} = 18$ . Трикутник, утворений медіанами як сторонами, має сторони $15, 15, 18$ .
Знайдемо півпериметр цього трикутника: $p = \frac{15 + 15 + 18}{2} = \frac{48}{2} = 24 см$ .
За формулою Герона знайдемо площу трикутника медіан: $S_{m} = p (p - 15) (p - 15) (p - 18) = 24 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 6$ .
$24 \cdot 6 = 144$ , $9 \cdot 9 = 81$ . $144 \cdot 81 = 12 \cdot 9 = 108 см^{2}$ .
Площа шуканого трикутника $S = \frac{4}{3} S_{m} = \frac{4}{3} \cdot 108 = 4 \cdot 36 = 144 см^{2}$ .

Відповідь:

Площа трикутника дорівнює $144 см^{2}$ .

Завдання 11.24

Найменший радіус кола для вписаного трикутника

Знайти найменше значення радіуса $R$ кола, з якого можна вирізати трикутник зі сторонами $a = 2 см$ , $b = 3 см$ та $c = 4 см$ .

Розв’язання

Знайдемо півпериметр $p$ : $p = \frac{2 + 3 + 4}{2} = \frac{9}{2} = 4, 5 см$ .
Обчислимо площу трикутника за формулою Герона: $S = 4, 5 (4, 5 - 2) (4, 5 - 3) (4, 5 - 4) = 4, 5 \cdot 2, 5 \cdot 1, 5 \cdot 0, 5$ .
Перетворимо дробові числа на звичайні для зручності: $4, 5 = \frac{9}{2}$ , $2, 5 = \frac{5}{2}$ , $1, 5 = \frac{3}{2}$ , $0, 5 = \frac{1}{2}$ .
Тоді $S = \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{135}{16} = \frac{3 15}{4} см^{2}$ .
Знайдемо радіус $R$ за формулою $R = \frac{ab c}{4 S}$ :
$R = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{4 \cdot \frac{3 15}{4}} = \frac{24}{3 15} = \frac{8}{15}$ .

Відповідь:

Найменше значення радіуса дорівнює $\frac{8}{15} см$ (або приблизно $2, 07 см$ ).