Обкладинка: Геометрія, 9 клас — Мерзляк А. Г., Якір М. С.

ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінки 10–62

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 1.1–5.51 · 218 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

Сторінка 10

§ 1. Розв’язування трикутників

Завдання 1.1

Побудова кутів за косинусом

Побудувати кути, вершиною яких є початок координат, а однією стороною — додатна піввісь осі абсцис:
1) ;
2) .

Розв’язання

  1. Нехай довжина одиничного радіуса-вектора дорівнює . Тоді для пункту 1 відкладнемо на осі абсцис відрізок довжиною вправо (оскільки косинус додатний).

  2. Через кінець цього відрізку проводимо перпендикуляр до осі, що перетинає півколо у точці . Кут є шуканим кутом для пункту 1.

  3. Для пункту 2 відкладаємо на осі абсцис відрізок довжиною вліво (оскільки косинус від'ємний).

  4. Через кінець цього відрізку проводимо перпендикуляр до осі, що перетинає півколо у точці . Кут є шуканим кутом для пункту 2.

Відповідь:

1) Побудовано кут у першій чверті ();
2) Побудовано кут у другій чверті ().

Сторінка 11

Завдання 1.2

Побудова кутів за тригонометричними функціями

Накреслити одиничне півколо (радіус клітинок). Побудувати кути , що мають вершину в початку координат і одну сторону на додатній піввісі абсцис, такі що:
1) ;
2) ;
3) .

Розв’язання

  1. Визначаємо координати точок на колі радіуса 6 клітинок:
    - Для пункту 1: . Оскільки , ордината клітинки. Абсциса (будуємо як гіпотенузу).
    - Для пункту 2: . Абсциса клітинка. Ордината (будуємо як гіпотенузу).
    - Для пункту 3: . Абсциса клітинки. Ордината (будуємо як гіпотенузу).

  2. Проводимо координатні осі та півколо радіусом у 6 клітинок.

  3. Відкладаємо знайдені координати на колі і проводимо кути.

Відповідь:

Кути побудовані за координатами , та .

Завдання 1.3

Знаходження точок на півколі за сумою функцій

Накреслити одиничне півколо і знайти точки, для яких . Визначити кількість таких точок.

Розв’язання

  1. Перетворимо умову: . Це означає, що точка лежить на прямій .

  2. Знайдемо перетин прямої з одиничним півколом ().

  3. Оскільки і , кут має бути тупим (друга координатна четверть). Єдиний розв'язок у межах — це .

Відповідь:

Існує одна така точка, що відповідає куту .

Завдання 1.4

Перевірка можливих значень синуса

Чи може синус кута , де , дорівнювати числам:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .

Розв’язання

  1. . Число від'ємне? Ні. Більше за 1? Ні. Можливо.

  2. . Число від'ємне? Ні. Більше за 1? Ні. Можливо.

  3. . Число від'ємне? Так. Синус не може бути від'ємним у цьому діапазоні кутів. Неможливо.

  4. . Число більше за 1. Синус не перевищує 1. Неможливо.

Відповідь:

1) Так; 2) Так; 3) Ні; 4) Ні.

Завдання 1.5

Межі значень косинуса тупого кута

Дати відповідь на питання, чи може косинус тупого кута дорівнювати числам: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Обговорити відповіді.

Розв’язання

  1. Перевіримо кожне число на відповідність умовам: воно має бути від'ємним (оскільки кут тупий) і не перевищувати за модулем 1.

  2. Число — додатне, тому не може бути косинусом тупого кута.

  3. Число — від'ємне і менше за модулем 1, тому такий кут існує.

  4. Число — має модуль більший за 1, значення косинуса не може перевищувати 1 або бути меншим -1, тому такого кута немає.

  5. Число — від'ємне і менше за модулем 1, тому такий кут існує.

Відповідь:

1) Ні; 2) Так; 3) Ні; 4) Так.

Завдання 1.6

Визначення типу кута за тригонометричною функцією

Визначити, гострим чи тупим є кут у випадках: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Розв’язання

  1. . Косинус додатний, отже кут гострий.

  2. . Косинус від'ємний, отже кут тупий.

  3. . Синус додатний для всіх кутів від до , але це не дозволяє однозначно визначити тип кута без додатних даних. Однак у контексті таких задач часто шукають конкретний випадок, але тут лише знак синуса не вказує на гострий чи тупий (синус і того й іншого додатний). Якщо ж розглядати лише знаки: синус додатний для обох типів кутів.

  4. . Тангенс від'ємний, отже кут тупий.

  5. . Тангенс додатний, отже кут гострий.

  6. . Як і у пункті 3, синус додатний для обох типів кутів, тому лише за цим не можна визначити тип кута.

Відповідь:

1) Гострий; 2) Тупий; 3) Не можна визначити (синус додатний для обох); 4) Тупий; 5) Гострий; 6) Не можна визначити (синус додатний для обох).

Сторінка 12

Завдання 1.7

Існування трикутників за значеннями тригонометричних функцій

1) Синуси двох кутів дорівнюють 1;
2) Синус одного кута дорівнює 1;
3) Косинус кута дорівнює 1 або –1;
4) Косинус кута від'ємний.

Розв’язання

  1. Розглянемо пункт 1): означає . Якщо синуси двох кутів дорівнюють 1, то обидва кути прямі (), що неможливо в трикутнику.

  2. Розглянемо пункт 2): означає . Трикутник з одним прямим кутом існує (прямокутний).

  3. Розглянемо пункт 3): означає , а означає . Кути і не можуть бути кутами трикутника.

  4. Розглянемо пункт 4): Косинус від'ємний для тупого кута (). Трикутник з одним тупим кутом існує (тупокутний).

Відповідь:

1) Ні; 2) Так; 3) Ні; 4) Так.

Завдання 1.8

Заповнення таблиці типів кутів за значеннями тригонометричних функцій

Дано значення тригонометричних функцій для кутів :
; ; ; ; ; .
Потрібно визначити вид кута (гострий, тупий) або встановити неможливість для кожного.

Розв’язання

  1. Кут : . Це може бути як гострий, так і тупий кут (синус додатний у обох випадках). Встановити неможливо.

  2. Кут : . Косинус додатний, отже, кут гострий.

  3. Кут : . Тангенс від'ємний, отже, кут тупий.

  4. Кут : . Тангенс додатний, отже, кут гострий.

  5. Кут : . Синус додатний, це може бути як гострий, так і тупий кут. Встановити неможливо.

  6. Кут : . Косинус від'ємний, отже, кут тупий.

Відповідь:

: Встановити неможливо; : Гострий; : Тупий; : Гострий; : Встановити неможливо; : Тупий.

Завдання 1.9

Перевірка правильності тригонометричних рівностей

Визначити, чи є правильною наступна рівність:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) .

Розв’язання

  1. . Рівність правильна.

  2. . Отже, . Рівність неправильна.

  3. . Отже, . Рівність неправильна.

  4. . Рівність правильна.

  5. . Отже, . Рівність неправильна.

  6. . Рівність правильна.

Відповідь:

1) Так; 2) Ні; 3) Ні; 4) Так; 5) Ні; 6) Так.

Завдання 1.10

Перетворення синуса тупого кута

Використати формулу , щоб виразити синус кутів: 1) ; 2) ; 3) .

Розв’язання

  1. Для кута : .

  2. Для кута : .

  3. Для кута : .

Відповідь:

1) ; 2) ; 3) .

Завдання 1.11

Перетворення синуса тупого кута (продовження)

Виразити через синус гострого кута синус кутів: 1) ; 2) ; 3) .

Розв’язання

  1. Для кута : .

  2. Для кута : .

  3. Для кута : .

Відповідь:

1) ; 2) ; 3) .

Завдання 1.12

Перетворення косинуса тупого кута

Виразити через косинус гострого кута косинус кутів: 1) ; 2) ; 3) .

Розв’язання

  1. Для кута : .

  2. Для кута : .

  3. Для кута : .

Відповідь:

1) ; 2) ; 3) .

Завдання 1.13

Косинус тупого кута через косинус гострого

Виразити через косинус гострого кута косинус кута для: 1) ; 2) ; 3) .

Розв’язання

  1. Для : .

  2. Для : .

  3. Для : .

Відповідь:

1) ; 2) ; 3) .

Завдання 1.14

Значення тригонометричних функцій тупого кута

Знайти значення виразів: 1) , якщо ; 2) , якщо ; 3) , якщо ; 4) , якщо .

Розв’язання

  1. .

  2. .

  3. .

  4. .

Відповідь:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Сторінка 13

Завдання 1.15

Суміжні кути та тригонометрія

Кути і суміжні, .
1) Знайдіть .
2) Який із кутів і є гострим, а який — тупим?

Розв’язання

  1. Оскільки кути і суміжні, то . Звідси . Підставимо значення: .

  2. Знак косинуса вказує на тип кута (для кутів від до ): якщо , кут гострий; якщо , кут тупий. Оскільки , то — тупий кут. Оскільки , то — гострий кут.

Відповідь:

1) ; 2) — тупий, — гострий.

Завдання 1.16

Значення тригонометричних функцій стандартних кутів

Знайдіть значення виразів:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .

Розв’язання

  1. .

  2. .

  3. Оскільки , то весь добуток дорівнює нулю: .

  4. За основною тригонометричною тотожністю сума квадратів синуса і косинуса будь-якого кута дорівнює одиниці: .

Відповідь:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Завдання 1.17

Обчислення тригонометричних виразів та розшифрування слова

Обчисліть значення виразів:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
Використовуючи знайдені значення виразів, розшифруйте назву українського музичного інструмента. Номер завдання відповідає місцю, на якому стоїть буква у слові.

Розв’язання

  1. . У таблиці за числом стоїть буква «К».

  2. . У таблиці за числом стоїть буква «О».

  3. . У таблиці за числом стоїть буква «Б».

  4. . У таблиці за числом стоїть буква «З».

  5. . У таблиці за числом стоїть буква «А».
    Отримуємо послідовність букв: К, О, Б, З, А. Прочитавши слово задом наперед (оскільки номери йдуть від 1 до 5), або просто збираючи слова за порядком виконання, ми отримуємо «КОЗА».

Відповідь:

Відповідно до таблиці: 1) К, 2) О, 3) Б, 4) З, 5) А. Слово: КОЗА.

Завдання 1.18

Синус кута за косинуса

Знайти значення синуса кута, якщо його косинус дорівнює: 1) ; 2) .

Розв’язання

  1. Для випадку 1): якщо , то кут . Синус нуля дорівнює ().

  2. Для випадку 2): якщо , то кут . Синус прямого кута дорівнює ().

Відповідь:

1) ; 2) .

Завдання 1.19

Косинус кута за синусом

Знайти значення косинуса кута, якщо його синус дорівнює: 1) ; 2) .

Розв’язання

  1. Для випадку 1): якщо , то кут . Косинус прямого кута дорівнює ().

  2. Для випадку 2): якщо , то кут (оскільки розглядаємо діапазон від до ). Косинус нуля дорівнює ().

Відповідь:

1) ; 2) .

Завдання 1.20

Тригонометричні функції кута 135°

Знайти , , .

Розв’язання

  1. Знаходимо синус: .

  2. Знаходимо косинус: .

  3. Знаходимо тангенс: .

Відповідь:

, , .

Завдання 1.21

Тригонометричні функції кута 150°

Знайти значення , та .

Розв’язання

  1. Знайдемо суміжний гострий кут: .

  2. Обчислимо синус: .

  3. Обчислимо косинус: .

  4. Обчислимо тангенс: (або ).

Відповідь:

, , .

Завдання 1.22

Кути рівнобічної трапеції

У рівнобічній трапеції () відомо, що . Потрібно знайти всі кути трапеції.

Розв’язання

  1. Знайдемо кут : оскільки , то (кут у II чверті).

  2. Оскільки трапеція рівнобічна, кут також дорівнює .

  3. Кути при основі ( і ) є суміжними з тупими кутами, тому вони гострі: .

Відповідь:

Кути трапеції: , , , .

Завдання 1.23

Кути паралелограма

У паралелограмі відомо, що . Потрібно знайти всі кути фігури.

Розв’язання

  1. Знайдемо гострий кут, тангенс якого дорівнює : це .

  2. Оскільки , кут є тупим і дорівнює .

  3. Суміжні кути і дорівнюють .

Відповідь:

Кути паралелограма: , , , .

Завдання 1.24

Знаходження тригонометричних функцій за умовою

Знайти значення та , якщо відомі відповідні функції та діапазон кута :
1) , .
2) , .

Розв’язання

  1. Для пункту 1: обчислимо . Оскільки кут гострий, знак «+».

  2. Для пункту 2: обчислимо . Знак «мінус», бо кут тупий.

Відповідь:

1) ; 2) .

Сторінка 14

Завдання 1.25

Знаходження тригонометричних функцій

Знайти: 1) , якщо ; 2) , якщо ; 3) , якщо і .

Розв’язання

  1. Пункт 1: Знайдемо за формулою . Підставимо значення: . Отже, . Оскільки в умові не вказано діапазон кута, обидва знаки можливі.

  2. Пункт 2: Знайдемо за формулою . Підставимо значення: . Отже, .

  3. Пункт 3: Спочатку знайдемо як у пункті 1: , звідки (знак «плюс», оскільки кут гострий). Тепер знайдемо тангенс: .

Відповідь:

1) ; 2) ; 3) .

Завдання 1.26

Аналіз тверджень про тригонометричні функції

Оцінити правильність тверджень: 1) косинус гострого кута більший за косинус тупого; 2) існує тупий кут з рівним синусом і косинусом; 3) існує кут з нульовими синусом і косинусом; 4) синус кута (відмінний від прямого) менший за синус прямого; 5) косинус розгорнутого кута менший за косинус будь-якого іншого кута; 6) синуси суміжних кутів рівні; 7) косинуси нерівних суміжних кутів є протилежними числами; 8) якщо косинуси двох кутів рівні, то кути рівні; 9) якщо синуси двох кутів рівні, то кути рівні; 10) тангенс гострого кута більший за тангенс тупого.

Розв’язання

  1. Твердження 1: Правильне. Косинус гострого кута () завжди більший за косинус тупого ().

  2. Твердження 2: Неправильне. Для тупого кута синус додатний, а косинус від'ємний, тому вони не можуть бути рівними.

  3. Твердження 3: Неправильне. Синус дорівнює нулю тільки при і , де косинус дорівнює . Косинус дорівнює нулю тільки при , де синус дорівнює .

  4. Твердження 4: Правильне. Синус прямого кута () — це максимум функції в діапазоні від до .

  5. Твердження 5: Неправильне. Косинус розгорнутого кута () менший за косинус гострого, але більший за косинус тупого кута (наприклад, ).

  6. Твердження 6: Правильне. Суміжні кути доповнюють один одного до , тому їх синуси рівні ().

  7. Твердження 7: Правильне. Оскільки , косинуси суміжних кутів є протилежними числами.

  8. Твердження 8: Правильне (в межах ). Якщо , то .

  9. Твердження 9: Неправильне. Наприклад, , але кути різні.

  10. Твердження 10: Правильне. Тангенс гострого кута додатний і зростає до нескінченності, тангенс тупого кута від'ємний.

Відповідь:

1) так; 2) ні; 3) ні; 4) так; 5) ні; 6) так; 7) так; 8) так; 9) ні; 10) так.

Завдання 1.27

Можливість від'ємних косинусів у трикутнику

Чи можуть косинуси двох кутів трикутника дорівнювати від'ємним числам? Обґрунтуйте.

Розв’язання

  1. Припустимо, що два кути та мають від'ємні косинуси. Це означає, що обидва вони є тупими ( і ).

  2. Сума цих двох кутів буде .

  3. Третій кут мав би бути від'ємним, що неможливо для трикутника.

Відповідь:

Ні, косинуси двох кутів трикутника не можуть одночасно бути від'ємними, оскільки це вимагало б наявності двох тупих кутів, а сума кутів у трикутнику дорівнює .

Завдання 1.28

Порівняння з нулем тригонометричних виразів

1) ;
2) ;
3) ;
4) .

Розв’язання

  1. Розглядаємо пункт 1: — кут тупий, синус додатний (); — кут тупий, косинус від'ємний (). Добуток додатного і від'ємного є від'ємним. Отже, .

  2. Розглядаємо пункт 2: — кут гострий, синус додатний (); — кут тупий, косинус від'ємний (); — кут тупий, косинус від'ємний (). Добуток трьох множників: . Отже, .

  3. Розглядаємо пункт 3: — кут тупий, синус додатний (); — квадрат будь-якого числа (крім нуля) додатний, а косинус відмінний від нуля, отже квадрат додатний (); — кут тупий, тангенс від'ємний (). Добуток: . Отже, .

  4. Розглядаємо пункт 4: — кут гострий, синус додатний (); ; — кут тупий, тангенс від'ємний (). Добуток будь-яких чисел на нуль дорівнює нулю. Отже, .

Відповідь:

1) ;
2) ;
3) ;
4) .

Сторінка 15

Завдання 1.29

Порівняння виразів з нулем

1) ;
2) .

Розв’язання

  1. Розглядаємо перший вираз: , , . Оскільки один із множників дорівнює нулю, то весь добуток дорівнює нулю.

  2. Розглядаємо другий вираз: (другий координатний кут), (перший координатний кут), (другий координатний кут). Добуток додатного числа, додатного числа та від'ємного числа є від'ємним.

Відповідь:

1) ;
2) .

Завдання 1.30

Обчислення значень виразів

1) ;
2) ;
3) .

Розв’язання

  1. Для пункту 1: .

  2. Для пункту 2: .

  3. Для пункту 3: Оскільки , а дужки в квадраті будуть додатними (квадрат будь-якого числа), то добуток буде від'ємним. Обчислимо вираз у дужках: . Квадрат цього виразу додатний. Отже, . Точне значення: .

Відповідь:

1) ;
2) ;
3) .

Завдання 1.31

Обчислення значень виразів

1) ;
2) .

Розв’язання

  1. Для пункту 1: .

  2. Для пункту 2: Спочатку спростимо вираз у дужках, винесемо спільний множник : . Підставимо значення: . Тепер піднесемо до квадрата та помножимо на : .

Відповідь:

1) ;
2) .

Завдання 1.32

Значення тригонометричних функцій суміжних кутів

Знайдіть значення виразу, не користуючись калькулятором:
1) ;
2) ;
3) .

Розв’язання

  1. Знайдемо суміжний кут до : .

  2. Розглянемо перший вираз: .

  3. Розглянемо другий вираз: .

  4. Розглянемо третій вираз: .

Відповідь:

1) ; 2) ; 3) .

Завдання 1.33

Значення тригонометричних функцій кутів, пов'язаних через суму

Знайдіть значення виразу, не користуючись калькулятором:
1) ;
2) ;
3) .

Розв’язання

  1. У першому випадку . Оскільки , то .

  2. У другому випадку . Оскільки , то .

  3. У третьому випадку . Оскільки , то .

Відповідь:

1) ; 2) ; 3) .

Завдання 1.34

Знаходження кутів трикутника за значеннями тригонометричних функцій

Знайдіть кути трикутника , якщо та .

Розв’язання

  1. Знайдемо кут : (оскільки в трикутнику кути менші за ).

  2. Знайдемо можливі значення для кута : . Це відповідає двом гострим і тупим кутам: та .

  3. Перевіримо суму кутів. Якщо , то , що неможливо. Отже, має бути гострим: .

  4. Знайдемо третій кут : .

Відповідь:

Кути трикутника дорівнюють .

Завдання 1.35

Знаходження кутів трикутника за синусом та косинусом

У трикутнику відомо, що , . Потрібно знайти всі кути трикутника.

Розв’язання

  1. Знайдемо кут . Оскільки , то може дорівнювати або .

  2. Знайдемо кут . Оскільки , кут є гострим, отже .

  3. Перевіримо суму кутів для обох випадків:
    - Якщо , то . Це допустимий трикутник.
    - Якщо , то сума , що менше , отже . Це також допустимий трикутник.

Відповідь:

Кути трикутника можуть бути: 1) ; 2) .

Завдання 1.36

Знаходження кутів трикутника за синусом та тангенсом

У трикутнику відомо, що , . Потрібно знайти всі кути трикутника.

Розв’язання

  1. Знайдемо кут . Оскільки , то .

  2. Знайдемо кут . Оскільки , можливі варіанти: або .

  3. Перевіримо суму кутів:
    - Якщо , то . Трикутник існує.
    - Якщо , то . Трикутник існує.

Відповідь:

Кути трикутника можуть бути: 1) ; 2) .

Завдання 1.37

Сума квадратів синусів кутів прямокутного трикутника

Дано прямокутний трикутник (). Потрібно знайти значення виразу .

Розв’язання

  1. У прямокутному трикутнику , тому . Тоді .

  2. Для гострих кутів та виконується властивість: .

  3. Підставимо це у вираз: . Згідно з основною тригонометричною тотожністю, сума дорівнює .

  4. Додамо результати: .

Відповідь:

Сума квадратів синусів усіх кутів прямокутного трикутника дорівнює .

Завдання 1.38

Сума квадратів косинусів кутів прямокутного трикутника

Знайти суму квадратів косинусів усіх кутів прямокутного трикутника.

Розв’язання

  1. Нехай кути прямокутного трикутника дорівнюють , та .

  2. Сума квадратів косинусів кутів дорівнює .

  3. Оскільки , то . Також у прямокутному трикутнику (бо ).

  4. Підставимо: .

  5. За основною тригонометричною тотожністю .

Відповідь:

Завдання 1.39

Косинус кута між радіусами до точок дотику вписаного кола

У трикутнику відомо, що , точка — центр вписаного кола. Знайти косинус кута .

Розв’язання

  1. Оскільки — центр вписаного кола, то і є бісектрисами кутів та відповідно.

  2. Нехай і . Тоді і .

  3. Сума кутів трикутника : , звідки .

  4. У трикутнику сума кутів: .

  5. Підставимо : , отже, .

  6. Знайдемо косинус: .

Відповідь:

Завдання 1.40

Знаходження кута трикутника за косинусом кута між радіусами до точок дотику вписаного кола

Точка — центр кола, вписаного в трикутник , . Знайти кут трикутника.

Розв’язання

  1. Знайдемо кут : . Це значення відповідає куту (оскільки косинус тупого кута від'ємний).

  2. Використаємо властивість центра вписаного кола: .

  3. Підставимо значення: .

  4. Віднімемо від обох частин: .

  5. Помножимо на 2: .

Відповідь:

Сторінка 16

Завдання 1.41

Розрахунок кількості світильників

Довжина залу , ширина — . Світильники — прямокутники . На рисунку показано два ряди. У першому ряду відступ зліва , між світильниками , а справа — відступ . У другому ряду теж є три світильники з такими ж інтервалами.

Розв’язання

  1. Знайдемо сумарну довжину, яку займають проміжки у одному ряду: (ліворуч) + (між першим і другим) + (між другим і третім) + (справа) = .

  2. Знайдемо вільну довжину для розміщення світильників: .

  3. Поділимо цю довжину на довжину одного світильника (): . Отже, у одному ряду може бути 5 світильників (але на рисунку показано лише 3, що означає, що схема є частковою або ілюстративною). Однак, якщо дивитися на малюнок уважніше, там зображено саме три світильники в кожному ряду. Перевіримо: — це розміщення трьох світильників із проміжками по . Оскільки , то можна помістити більше. Але за умовою «На рисунку... частково наведена схема», а також зображено саме три в кожному ряду. Перевіримо розміщення: якщо взяти 3 світильники, зайнято (якщо проміжки по ). Якщо взяти 4 світильники: — це не змінюється. Очевидно, що проміжки між світильниками на малюнку — це , а відступи по . Тоді загальна довжина для 3 світильників: (якщо відступи по ). Але на малюнку показано відступи і проміжки . Тоді для 3 світильників: — це не так. Правильно: відступ , світильник , проміжок , світильник , проміжок , світильник , відступ . Сума: . Це менше . Отже, можна помістити більше. Але за умовою задачі й малюнка, мабуть, треба просто порахувати кількість на малюнку. На малюнку в кожному ряду зображено 3 світильники. Два ряди. Разом .

Відповідь:

6

Завдання 1.42

Розрахунок розмірів даху будинку

Дах має два схили довжиною з кутом нахилу і два інші схили довжиною з кутом між ними . Висота стін — . Потрібно знайти: 1) ширину фасаду, 2) висоту коника. Відповідь округлити до десятих.

Розв’язання

  1. Знайдемо горизонтальну проекцію двох схилів довжиною : .

  2. Знайдемо горизонтальну проекцію двох схилів довжиною : (оскільки кут між ними , то кожен відхиляється на від вертикалі).

  3. Сума горизонтальних проекцій дає ширину фасаду: .

  4. Знайдемо висоту підняття схилів довжиною : .

  5. Висота коника: .

Відповідь:

1) ширина фасаду ; 2) висота коника .

Сторінка 17

Завдання 1.43

Знаходження діагоналі паралелограма

Висота , проведена з вершини тупого кута, дорівнює і ділить сторону навпіл. Гострий кут . Знайти діагональ , проведену з цієї вершини, та кути між нею і сторонами.

Розв’язання

  1. Позначимо вершину тупого кута як . Нехай висота , а точка лежить на стороні . Оскільки ділить сторону навпіл, то .

  2. Розглянемо прямокутний трикутник , де . Знайдемо гіпотенузу : .

  3. Розглянемо прямокутний трикутник , де катети і . Знайдемо діагональ за теоремою Піфагора: .

  4. Знайдемо кути між діагоналлю та сторонами. У катети рівні, отже . У кут при вершині дорівнює .

Відповідь:

Діагональ дорівнює , кути між нею і сторонами дорівнюють та .

Завдання 1.44

Середня лінія трапеції

Пряма паралельна бічній стороні трапеції і ділить основу на відрізки та . Знайдіть середню лінію трапеції.

Розв’язання

  1. Оскільки пряма паралельна стороні , а точка лежить на основі , то відрізок є частиною однієї з основ, а — частиною іншої? Ні, і — основи. Тоді означає, що є трапецією з основами і (якщо ) або трапеція з основами і , а паралельна бічній стороні . У такому випадку, якщо , то чотирикутник є трапецією з основами і... Насправді, якщо , то — це трапеція, де і не обов'язково паралельні. Але в умові сказано, що — основа, отже . Тоді і — бічні сторони. Пряма , де . Це означає, що чотирикутник є трапецією з основами і... ні, основи трапеції — це і . Тоді і — бічні сторони. Якщо , то — це паралелограм? Ні, бо і не обов'язково паралельні, але , отже . Тоді є трапецією з основами і ? Ні, лежить на прямій , яка паралельна . Отже, . Тоді — це трапеція з основами і , а бічна сторона паралельна . Це означає, що є паралелограмом? Ні, для паралелограма потрібно дві пари паралельних сторін. Тут (основи великої трапеції) і . Отже, — це паралелограм.

  2. У паралелограмі протилежні сторони рівні, отже .

  3. Оскільки — основа трапеції, то .

  4. Середня лінія трапеції дорівнює половині суми основ: .

Відповідь:

Завдання 1.45

Можливість кута за двома сторонами

Дві сторони трикутника дорівнюють і . Чи може кут, протилежний стороні завдовжки , бути: 1) тупим; 2) прямим? Відповідь обґрунтуйте.

Розв’язання

  1. Нехай , . Кут лежить проти сторони , а кут — проти сторони . Оскільки , то .

  2. Сума кутів трикутника дорівнює . Якщо б , то (бо ). Тоді сума , що неможливо.

  3. Отже, кут завжди є гострим.

Відповідь:

1) Ні, тупим бути не може; 2) Ні, прямим бути не може.

Завдання 1.46

Знаходження сторони трикутника за двома кутами та стороною

У трикутнику проведено висоту . Відомо: , , . Знайти сторону .

Розв’язання

  1. Розглянемо прямокутний трикутник (). Знайдемо висоту :
    .

  2. Розглянемо прямокутний трикутник (). Знайдемо сторону :
    .
    Підставимо значення: .

Відповідь:

.

Завдання 1.47

Знаходження висоти та проєкції сторони при тупому куті

У трикутнику , . Проведено висоту до прямої . Знайти довжину та проєкцію сторони на пряму .

Розв’язання

  1. Нехай пряма перетинає висоту у точці . Оскільки , то кут між стороною і прямою (зовнішній) дорівнює .

  2. Розглянемо прямокутний трикутник (). Катет знайдемо через синус кута :
    .

  3. Катет (проєкція сторони на пряму ) знайдемо через косинус кута :
    .

Відповідь:

Висота , проєкція сторони на пряму дорівнює .

Завдання 1.48

Розрізання трикутника для складання прямокутника

Довести, що будь-який трикутник можна розрізати на 3 частини так, щоб з них скласти прямокутник.

Розв’язання

  1. Проведіть пряму паралельно основі , яка проходить через середину висоти, опущеної з вершини . Це розділить трикутник на менший трикутник і трапецію .

  2. Проведіть пряму паралельно основі , яка проходить через середину висоти, опущеної з вершини , але зміщена так, щоб розділити трапецію на два рівні частини (або використати інший спосіб: розрізати трикутник двома прямими, паралельними до однієї сторони).
    Кращий метод: Проведіть дві прямі, паралельні до сторони , які проходять через середини висот, опущених з вершин (це складніше).
    Простий метод: Розріжте трикутник двома прямими, паралельними до однієї зі сторін (наприклад, до ), так щоб отримати три частини. Однак найпростіший спосіб для 3-х частин — це розрізати трикутник на два прямокутних трикутника (якщо він прямокутний) або використати метод перенесення вершин.
    Стандартне рішення: Проведіть пряму паралельно до сторони , де і — середини сторін та . Це дає трикутник і трапецію . Потім розріжте трапецію на два прямокутні трапеції або перетворіть її.
    Спрощене пояснення: Розріжте трикутник двома прямими, паралельними до однієї зі сторін так, щоб отримати менший трикутник і дві трапеції. Перемістіть ці частини, щоб сформувати прямокутник.

Відповідь:

Трикутник можна розрізати двома прямими, паралельними до однієї зі сторін (наприклад, ), так, щоб отримати менший трикутник і дві трапеції. Переміщуючи ці частини (паралельне перенесення), можна скласти прямокутник.

Сторінка 22

Завдання 2.2

Запис теореми косинусів для сторін трикутника

Дано трикутник (Рис. 2.8). Потрібно записати формули теореми косинусів для двох його сторін: та .

Розв’язання

  1. Для сторони : вона протилежна куту . Запишемо квадрат цієї сторони як суму квадратів інших двох сторін ( і ) мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута .

  2. Для сторони : вона протилежна куту . Запишемо квадрат цієї сторони як суму квадратів інших двох сторін ( і ) мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута .

Відповідь:

1) ; 2) .

Сторінка 23

Завдання 2.3

Знаходження сторони трикутника за теоремою косинусів

У трикутнику (рис. а): сторона , сторона , кут між ними , третя сторона . У трикутнику (рис. б): сторона , сторона , кут між ними , третя сторона .

Розв’язання

  1. Для першого трикутника (рис. а): .

  2. Обчислюємо значення: .

  3. Знаходимо : см.

  4. Для другого трикутника (рис. б): .

  5. Обчислюємо значення: .

  6. Знаходимо : см.

Відповідь:

Для рисунка а: см; для рисунка б: см.

Завдання 2.4

Знаходження катета прямокутного трикутника

У трикутнику (рис. а): катет , гіпотенуза , гострий кут між ними , другий катет . У трикутнику (рис. б): сторона , сторона , тупий кут між ними , третя сторона .

Розв’язання

  1. Для першого трикутника (рис. а): .

  2. Обчислюємо: .

  3. Знаходимо : см.

  4. Для другого трикутника (рис. б): .

  5. Обчислюємо: .

  6. Знаходимо : см.

Відповідь:

Для рисунка а: см; для рисунка б: см.

Завдання 2.5

Знаходження сторони трикутника за двома сторонами та кутом між ними

Трикутник .
1) см, см, .
2) см, см, .
3) см, см, .

Розв’язання

  1. Нехай . Тоді . Отже, см.

  2. Нехай . Тоді . Отже, см.

  3. Нехай . Тоді . Отже, см.

Відповідь:

1) см; 2) см; 3) см.

Сторінка 24

Завдання 2.7

Діагоналі паралелограма

Сторони см, см, кут . Знайти діагоналі і .

Розв’язання

  1. Знайдемо першу діагональ :
    ;
    ;
    .

  2. Знайдемо другу діагональ через кут :
    ;
    , тому ;
    .

Відповідь:

Діагоналі дорівнюють см і см.

Завдання 2.8

Діагоналі трапеції

Трапеція , де , см, см, бічна сторона см, кут . Знайти діагоналі і .

Розв’язання

  1. Знайдемо діагональ у :
    За теоремою косинусів: ;
    ;
    .
    см.

  2. Знайдемо діагональ . Проведемо через точку пряму, паралельну до , що перетне у точці . Тоді — паралелограм, , . У кут при основі невідомий.
    Альтернативний спосіб: Розглянемо трикутник . Проведемо висоту з на . Висота . Проекція на : .
    Координати: , , , . Оскільки і , то . Точка .
    Знайдемо відстань : .
    см.

Відповідь:

Діагоналі дорівнюють см і см.

Завдання 2.9

Косинуси кутів трикутника

Сторони трикутника см, см, см. Знайти косинуси всіх трьох кутів.

Розв’язання

  1. Знайдемо (кут між сторонами 3 і 10, протилежний стороні 11):
    .

  2. Знайдемо (кут між сторонами 3 і 11, протилежний стороні 10):
    .

  3. Знайдемо (кут між сторонами 10 і 11, протилежний стороні 3):
    .

Відповідь:

Косинуси кутів дорівнюють , і .

Завдання 2.10

Косинуси кутів трикутника за сторонами

Сторони трикутника дорівнюють , і . Знайдіть косинуси всіх його кутів.

Розв’язання

  1. Знайдемо косинус найбільшого кута (між сторонами і ):
    .

  2. Знайдемо косинус кута (між сторонами і ):
    .

  3. Знайдемо косинус кута (між сторонами і ):
    .

Відповідь:

Косинуси кутів дорівнюють , та .

Завдання 2.11

Знаходження найбільшого кута трикутника

Сторони трикутника дорівнюють , і . Знайдіть найбільший кут цього трикутника.

Розв’язання

  1. Знайдемо косинус найбільшого кута :
    .

  2. Знайдемо сам кут, знаючи його косинус: відповідає куту (оскільки , а косинус тупого кута від'ємний).

Відповідь:

Найбільший кут дорівнює .

Завдання 2.12

Середній за величиною кут трикутника

Сторони трикутника дорівнюють , і . Знайдіть середній за величиною кут цього трикутника.

Розв’язання

  1. Спростимо довжину сторони: . Позначимо сторони як , , . Середній кут протилежний стороні .

  2. Знайдемо косинус кута :
    .

  3. Кут, косинус якого дорівнює , це .

Відповідь:

Середній за величиною кут дорівнює .

Завдання 2.13

Класифікація трикутників за кутом

Установити вид трикутника (гострокутний, прямокутний чи тупокутний) для трьох наборів сторін: 1) 5 см, 7 см і 9 см; 2) 5 см, 12 см і 13 см; 3) 10 см, 15 см і 18 см.

Розв’язання

  1. Випадок 1): , . Оскільки (), трикутник тупокутний.

  2. Випадок 2): , . Оскільки (), трикутник прямокутний.

  3. Випадок 3): , . Оскільки (), трикутник гострокутний.

Відповідь:

1) тупокутний; 2) прямокутний; 3) гострокутний.

Завдання 2.14

Перевірка типу трикутника

Сторони трикутника дорівнюють 7 см, 8 см і 12 см. Визначити, чи є цей трикутник гострокутним.

Розв’язання

  1. Знаходимо квадрати сторін: , , .

  2. Сумуємо квадрати двох менших сторін: .

  3. Порівнюємо з квадратом найбільшої сторони: . Оскільки сума квадратів катетів менша за квадрат гіпотенузи (або загальною формулою ), трикутник є тупокутним.

Відповідь:

Ні, даний трикутник не є гострокутним (він тупокутний).

Завдання 2.15

Доведення прямокутного трикутника

Довести, що трикутник зі сторонами 8 см, 15 см і 17 см є прямокутним.

Розв’язання

  1. Знаходимо квадрати сторін: , , .

  2. Сумуємо квадрати двох менших сторін: .

  3. Порівнюємо отримані значення: . Рівність виконується, отже, трикутник є прямокутним.

Відповідь:

Трикутник зі сторонами 8 см, 15 см і 17 см є прямокутним.

Завдання 2.16

Обґрунтування використання теореми косинусів

Дві сторони трикутника дорівнюють по , а кут між ними дорівнює . Потрібно знайти третю сторону.

Розв’язання

  1. Позначимо відомі сторони та , а кут між ними . Нехай третя сторона — .

  2. Підставимо значення у формулу теореми косинусів: .

  3. Знаючи, що , обчислимо: .

Відповідь:

Третя сторона дорівнює (трикутник рівносторонній). Теорема косинусів є доцільним способом розв'язання, оскільки вона універсальна і не вимагає побудови додаткових ліній.

Завдання 2.17

Знаходження відрізка в рівносторонньому трикутнику

На стороні рівностороннього трикутника позначено точку , що ділить її у відношенні . Сторона . Потрібно знайти відрізок .

Розв’язання

  1. Оскільки і , то , а . Кут .

  2. Застосуємо теорему косинусів до трикутника : .

  3. Підставимо числа: . Отже, .

Відповідь:

.

Завдання 2.18

Знаходження відрізка в прямокутному трикутнику

На гіпотенузі прямокутного рівнобедреного трикутника () позначено точку , що ділить гіпотенузу у відношенні . Потрібно знайти відрізок .

Розв’язання

  1. Знайдемо гіпотенузу : . Кут .

  2. Знайдемо : оскільки , то .

  3. Застосуємо теорему косинусів до трикутника : .

  4. Підставимо значення (): .

Відповідь:

.

Завдання 2.19

Тупий кут між двома сторонами

Дві сторони трикутника дорівнюють і . Якому найменшому натуральному числу має дорівнювати довжина третьої сторони (в см), щоб кут між цими сторонами був тупим?

Розв’язання

  1. Позначимо невідому сторону як . Нерівність існування трикутника: , тобто .

  2. Умова тупого кута між сторонами і : . Звідси . Оскільки і , то десь між і (точніше, близько ).

  3. Отже, . Найменше натуральне число, що задовольняє умову та , це .

Відповідь:

9

Завдання 2.20

Гострий кут між двома сторонами

Дві сторони трикутника дорівнюють і . Якому найбільшому натуральному числу має дорівнювати довжина третьої сторони (в см), щоб кут між цими сторонами був гострим?

Розв’язання

  1. Позначимо невідому сторону як . Нерівність існування трикутника: , тобто .

  2. Умова гострого кута між сторонами і : . Звідси . Оскільки , то трохи більше (близько ).

  3. Отже, . Найбільше натуральне число, що задовольняє умову та , це .

Відповідь:

7

Сторінка 25

Завдання 2.21

Знаходження третьої сторони за двома сторонами та синусом кута

Дві сторони трикутника дорівнюють і , а синус кута між ними дорівнює . Знайдіть третю сторону. Обговоріть з однокласниками й однокласницями, скільки розв'язків має задача.

Розв’язання

  1. Знайдемо : , отже .

  2. Знайдемо третю сторону для першого випадку (): , тобто .

  3. Знайдемо третю сторону для другого випадку (): , тобто .

Відповідь:

Третя сторона дорівнює або . Задача має два розв'язки.

Завдання 2.22

Знаходження відрізка, що сполучає вершину прямокутного трикутника з точкою на гіпотенузі

У трикутнику відомо, що , , . На стороні позначено точку так, що . Знайдіть відрізок .

Розв’язання

  1. Знайдемо гіпотенузу : .

  2. Знайдемо відрізок : .

  3. Знайдемо косинус кута у трикутнику : .

  4. У трикутнику використаємо теорему косинусів: .

Відповідь:

.

Завдання 2.23

Знаходження відстані між точкою на продовженні гіпотенузи та вершиною прямокутного трикутника

На продовженні гіпотенузи прямокутного рівнобедреного трикутника за точку позначено точку так, що . Знайдіть відрізок , якщо катет трикутника дорівнює .

Розв’язання

  1. У рівнобедреному прямокутному трикутнику : , . Оскільки точка на продовженні , кут .

  2. Довжина .

  3. У трикутнику за теоремою косинусів: .

Відповідь:

.

Завдання 2.24

Знаходження відстані до точки на продовженні гіпотенузи

У трикутнику кут , сторона , сторона . На продовженні гіпотенузи за точку взято точку так, що . Знайти відстань .

Розв’язання

  1. Знайдемо катет у прямокутному трикутнику : .

  2. Знайдемо довжину сторони трикутника : .

  3. Застосуємо теорему косинусів до трикутника , щоб знайти сторону : . Оскільки — це кут при вершині прямокутного трикутника, його косинус дорівнює відношенню сусіднього катета до гіпотенузи: .

  4. Підставимо значення у формулу: (ошибка в логіці, краще використати координатний метод або поділити на трикутники).
    Корекція розв'язання: Краще розбити через координати або властивості. Але найпростіше: . .
    .
    .

Відповідь:

Завдання 2.25

Гіпотенуза за відстанями до центру вписаного кола

Центр кола, вписаного в прямокутний трикутник, знаходиться на відстанях і від кінців гіпотенузи. Знайдіть довжину цієї гіпотенузи.

Розв’язання

  1. Позначимо вершини прямокутного трикутника як , де . Центр вписаного кола — точка . З умови маємо і .

  2. Розглянемо трикутник . Оскільки є центром вписаного кола, промені і ділять кути при вершинах і навпіл. Сума кутів у трикутнику дорівнює , тому .

  3. У трикутнику сума кутів також : . Оскільки і , то .

  4. Знайдемо кут : .

  5. Застосуємо теорему косинусів до трикутника для знаходження сторони (гіпотенузи трикутника ):
    .

  6. Підставимо значення: . Тоді .

Відповідь:

Гіпотенуза дорівнює .

Завдання 2.26

Знаходження сторони трикутника через центр вписаного кола

, , . Знайти сторону .

Розв’язання

  1. Знайдемо кут : .

  2. За теоремою косинусів для трикутника маємо: , де .

  3. Підставимо значення : .

Відповідь:

.

Завдання 2.27

Знаходження двох сторін трикутника за кутом і третьою стороною

Дві сторони трикутника, кут між якими дорівнює , відносяться як , а третя сторона дорівнює см. Знайдіть невідомі сторони трикутника.

Розв’язання

  1. Нехай одна сторона дорівнює , а інша — . Третя сторона см, кут .

  2. За теоремою косинусів: .

  3. Спростимо рівняння: .

  4. Отримаємо , тобто . Звідси , отже (довжина сторони не може бути від'ємною).

  5. Знайдемо довжини сторін: см, см.

Відповідь:

Сторони трикутника дорівнюють см, см і см.

Завдання 2.28

Знаходження сторін трикутника за відношенням двох сторін, кутом між ними та третьою стороною

Дві сторони трикутника відносяться як і утворюють кут . Третя сторона дорівнює см. Знайдіть невідомі сторони трикутника.

Розв’язання

  1. Нехай одна сторона дорівнює , а інша — . Кут між ними , третя сторона см.

  2. За теоремою косинусів: .

  3. Спростимо: .

  4. Отримаємо , тобто . Звідси , отже см.

  5. Знайдемо довжини сторін: перша сторона см, друга сторона см.

Відповідь:

Сторони трикутника дорівнюють см, см і см.

Завдання 2.29

Знаходження сторін трикутника за сумою двох сторін, кутом між ними та третьою стороною

Сума двох сторін трикутника, які утворюють кут , дорівнює см. Довжина третьої сторони — см. Знайдіть невідомі сторони трикутника.

Розв’язання

  1. Нехай сторони дорівнюють та . За умовою , отже .

  2. Теорема косинусів для кута : . Оскільки , маємо .

  3. Перетворимо на . Звідси .

  4. Підставимо це у рівняння з кроку 2: , тобто . Отже, .

  5. Знайдемо числа та , які є коренями рівняння : . Корені: .

Відповідь:

Сторони трикутника дорівнюють см, см і см.

Завдання 2.30

Знаходження сторін трикутника за кутом та периметром

Дві сторони трикутника, кут між якими дорівнює , відносяться як . Периметр трикутника дорівнює . Знайдіть довжини всіх трьох сторін.

Розв’язання

  1. Нехай дві сторони дорівнюють та . Третя сторона позначимо як .

  2. За теоремою косинусів для кута : .

  3. Підставимо значення : .

  4. Отже, . Периметр .

  5. Знайдемо множник: .

  6. Обчислимо сторони: , , .

Відповідь:

Сторони трикутника дорівнюють , і .

Завдання 2.31

Знаходження третьої сторони за двома сторонами та кутом

Дві сторони трикутника дорівнюють і . Кут, протилежний меншій із відомих сторін (), дорівнює . Знайдіть третю сторону.

Розв’язання

  1. Позначимо сторони трикутника як , , шукану сторону — . Кут , протилежний стороні , дорівнює .

  2. За теоремою косинусів: .

  3. Підставимо числа: .

  4. Спростимо рівняння: . Перенесемо все в один бік: .

  5. Розв'яжемо квадратне рівняння: . Корені: , .

Відповідь:

Третя сторона трикутника може дорівнювати або .

Сторінка 26

Завдання 2.32

Знаходження периметра трикутника

Дві сторони трикутника дорівнюють і . Кут, протилежний більшій із відомих сторін (), дорівнює . Знайти периметр.

Розв’язання

  1. Підставимо значення в формулу теореми косинусів: .

  2. Спростимо рівняння: , або .

  3. Знайдемо корені квадратного рівняння: . Оскільки довжина сторони не може бути від'ємною, .

Відповідь:

Периметр трикутника дорівнює .

Завдання 2.33

Доведення властивості кута при

У трикутнику квадрат сторони дорівнює неповному квадрату суми двох інших сторін (), тобто . Довести, що кут , протилежний стороні , дорівнює .

Розв’язання

  1. Розкриємо дужки у виразі з умови: .

  2. Спростимо праву частину: .

  3. Порівняємо з теоремою косинусів (). Отримаємо, що , звідки .

  4. Знайдемо кут: .

Відповідь:

Доведено, що протилежний кут дорівнює .

Завдання 2.34

Доведення властивості кута при

У трикутнику квадрат сторони дорівнює неповному квадрату різниці двох інших сторін (), тобто . Довести, що кут , протилежний стороні , дорівнює .

Розв’язання

  1. Розкриємо дужки у виразі з умови: .

  2. Спростимо праву частину: .

  3. Порівняємо з теоремою косинусів (). Отримаємо, що , звідки .

  4. Знайдемо кут: .

Відповідь:

Доведено, що протилежний кут дорівнює .

Завдання 2.35

Знаходження діагоналі паралелограма

Сторони , . Одна діагональ . Потрібно знайти другу діагональ .

Розв’язання

  1. Обчислимо суму квадратів сторін: .

  2. Помножимо на 2: . Це сума квадратів діагоналей.

  3. Віднімемо від цієї суми квадрат відомої діагоналі: .

  4. Знайдемо корінь з числа 196: .

Відповідь:

Друга діагональ дорівнює .

Завдання 2.36

Знаходження периметра паралелограма

Діагоналі , . Одна зі сторін . Потрібно знайти периметр.

Розв’язання

  1. Обчислимо сума квадратів діагоналей: .

  2. Знайдемо суму квадратів сторін: .

  3. Віднімемо квадрат відомої сторони: .

  4. Знайдемо другу сторону: .

  5. Обчислимо периметр: .

Відповідь:

Периметр паралелограма дорівнює .

Завдання 2.37

Знаходження сторін паралелограма за діагоналями

Діагоналі , . Одна сторона на більша за іншу (). Потрібно знайти сторони.

Розв’язання

  1. Сума квадратів діагоналей: .

  2. Сума квадратів сторін: .

  3. Підставимо : .

  4. Спростимо рівняння: , поділимо на 2: .

  5. Розв'яжемо квадратне рівняння: , . Корені: , (не підходить).

  6. Отже, , а . Перевірка: (відповідає умові).

Відповідь:

Сторони паралелограма дорівнюють і .

Завдання 2.38

Знаходження діагоналей паралелограма

Сторони паралелограма , . Діагоналі відносяться як .

Розв’язання

  1. Нехай діагоналі дорівнюють та . За властивістю паралелограма маємо рівність: .

  2. Спростимо рівняння: , отже .

  3. Знайдемо : , звідки . Тоді діагоналі: , .

Відповідь:

Діагоналі паралелограма дорівнюють і .

Завдання 2.39

Знаходження основи рівнобедреного трикутника

Бічна сторона , кут між бічними сторонами . Треба знайти основу .

Розв’язання

  1. Формула для основи : .

  2. Обчислимо числове значення (використовуючи ): .

  3. Знайдемо основу: .

Відповідь:

Основу трикутника приблизно дорівнює .

Завдання 2.40

Знаходження відрізка AD у трикутнику

Трикутник з точкою на стороні . Відомо: , , , . Знайти .

Розв’язання

  1. Знайдемо : .

  2. У трикутнику знайдемо за теоремою косинусів: . Підставимо числа: .

  3. Обчислимо: .

  4. Тепер у трикутнику знайдемо : . Підставимо: .

  5. Спростимо вираз: . Отже, .

Відповідь:

Відрізок дорівнює .

Завдання 2.41

Знаходження відстані між точками на сторонах трикутника

У трикутнику точка лежить на стороні , а точка — на продовженні сторони за точку . Відомо: , , , , . Потрібно знайти довжину відрізка .

Розв’язання

  1. Знайдемо довжину відрізка : .

  2. Оскільки і , то трикутник є рівнобедреним з основою .

  3. Знайдемо кут у трикутнику за теоремою косинусів: . Але простіше помітити, що , отже .

  4. Оскільки точка лежить на продовженні , то .

  5. Розглянемо трикутник . Ми знаємо сторони , і кут . Знайдемо з рівняння : .

  6. Обчислимо : .

  7. Отже, . Трикутник має сторони і та кут між ними . Знайдемо сторону за теоремою косинусів: .

  8. Підставимо значення: .

Відповідь:

.

Завдання 2.42

Доведення прямокутності трикутника

У трикутнику одна сторона у 2 рази більша за іншу (), а кут між ними дорівнює . Потрібно довести, що цей трикутник є прямокутним.

Розв’язання

  1. Позначимо сторони трикутника як та . Кут між ними .

  2. Знайдемо третю сторону за теоремою косинусів: .

  3. Підставимо значення: .

  4. Отже, . Перевіримо, чи виконується теорема Піфагора: , що не дорівнює .

  5. Перевіримо інший варіант: чи є кут при стороні прямим? За теоремою синусів . Але простіше перевірити суму квадратів сторін.

  6. Перевіримо, чи є кут при стороні прямим: . Оскільки сума квадратів двох сторін ( і ) дорівнює квадрату третьої сторони (), то трикутник є прямокутним, а гіпотенузою є сторона .

Відповідь:

Трикутник є прямокутним, оскільки , де — гіпотенуза.

Сторінка 27

Завдання 2.43

Знаходження сторони трапеції

У трапеції () відомо: , , , . Знайти сторону .

Розв’язання

  1. Проведемо висоту . У прямокутному : , а .

  2. Позначимо точку на основі так, що стане рівнобедреною трапецією (або просто розглянемо проекцію). Проведемо через пряму, паралельну бічній стороні , яка перетне у точці . Тоді — трапеція, а — рівнобедрена. Але простіше: проведемо висоту з на (точка ). Тоді .

  3. Довжина відрізку . Оскільки , то .

  4. У прямокутному (де ): .

  5. .

Відповідь:

.

Завдання 2.44

Знаходження косинуса кута трапеції

У трапеції () відомо: , , , . Знайти .

Розв’язання

  1. Проведемо висоту . Нехай . У прямокутному : , а .

  2. Проведемо також висоту з на (точка ). Тоді . Довжина відрізку .

  3. У прямокутному : . Оскільки , маємо: .

  4. Розкриваємо дужки: . Оскільки , то .

  5. Переносимо доданки: . Отже, .

Відповідь:

.

Завдання 2.45

Знаходження діагоналі вписаного чотирикутника

Чотирикутник описаний навколо кола (, , , ). Знайти діагональ .

Розв’язання

  1. Позначимо . Тоді , звідки .

  2. За теоремою косинусів у : .

  3. За теоремою косинусів у : .

  4. Прирівнюємо вирази для : . Переносимо: , звідки .

  5. Підставляємо значення у перше рівняння: . Тоді .

Відповідь:

.

Завдання 2.46

Описування кола навколо чотирикутника

У чотирикутнику ABCD відомо: см, см, діагональ см, кут . Потрібно визначити, чи існує описане коло.

Розв’язання

  1. Розглянемо трикутник . За теоремою косинусів знайдемо :





    .

  2. Знайдемо сам кут , використовуючи арккосинус:
    . Оскільки косинус від'ємний, кут гострий? Ні, косинус від'ємний означає, що кут тупий ().
    Значення . Кут .

  3. Перевіримо умову описаного чотирикутника: сума протилежних кутів має дорівнювати .
    .
    Оскільки , умова не виконується.

Відповідь:

Ні, описати коло навколо цього чотирикутника неможливо.

Завдання 2.47

Властивість діагоналей паралелограма

Доведіть, що проти більшого кута паралелограма лежить більша діагональ. Сформулюйте та доведіть обернене твердження.

Розв’язання

  1. Нехай в паралелограмі кут . Оскільки сумою протилежних кутів паралелограма є , то .

  2. Розглянемо трикутник і трикутник . У них спільна сторона . Протилежні сторони до кутів та — це діагоналі та відповідно.

  3. З огляду на властивість трикутника (більша сторона лежить проти більшого кута), оскільки , то діаметрально протилежна до нього діагональ більша за .

Відповідь:

Доведено, що проти більшого кута паралелограма лежить більша діагональ. Обернене твердження: якщо одна діагональ більша за іншу, то протилежний їй кут більший (тобто ).

Завдання 2.48

Бісектриса найбільшого кута

Сторони трикутника дорівнюють , і . Знайдіть бісектрису трикутника, проведену з вершини його найбільшого кута.

Розв’язання

  1. Найбільша сторона . Бісектриса ділить її на відрізки і , такі що .

  2. Знайдемо довжини частин: . З рівняння отримуємо , звідки , тобто , а .

  3. За формулою бісектриси: .

  4. Спростимо дріб: . Тоді , отже .

Відповідь:

Завдання 2.49

Бісектриса рівнобедреного трикутника

Основа рівнобедреного трикутника , бічна сторона — . Знайти бісектрису, проведenu з вершини кута при основі.

Розв’язання

  1. Оскільки — бісектриса кута при основі рівнобедреного трикутника, то вона є висотою і медіаною. Точка ділить основу навпіл: .

  2. Розглянемо прямокутний , де катет , а катет . Знайдемо гіпотенузу за теоремою Піфагора: .

  3. Обчислимо значення: .

Відповідь:

Завдання 2.50

Медіана трикутника

Сторони трикутника , та . Знайти медіану, проведenu до більшої сторони ().

Розв’язання

  1. Позначимо медіану як . Вона ділить сторону на відрізки по . Розглянемо , утворений сторонами , та півом більшої сторони .

  2. За теоремою косинусів для кута між і : . Для іншого трикутника: , де , отже .

  3. Простіше використати формулу Аполлонія: . Підставимо числа: .

Відповідь:

Завдання 2.51

Бічна сторона рівнобедреного трикутника

Основа рівнобедреного трикутника , медіана до бічної сторони — . Знайти бічну сторону.

Розв’язання

  1. Позначимо бічну сторону як . Медіана ділить її навпіл, отже . Основа . Сторони .

  2. Розглянемо . Медіана (де на ) ділить основу навпіл, тобто . Але в умові сказано "медіана, проведена до бічної сторони". Тобто медіана з вершини основи до бічної сторони.

  3. Позначимо медіану , де — середина . Тоді . Розглянемо (якщо провести висоту) або скористатися формулою Аполлонія для медіани до сторони : . Тут , , .

  4. Підставимо в формулу: . . .

Відповідь:

, отже бічна сторона дорівнює

Завдання 2.52

Знаходження третьої сторони за двома сторонами та медіаною

Дві сторони трикутника дорівнюють і , а медіана, проведена до третьої сторони, — . Знайдіть невідому сторону трикутника.

Розв’язання

  1. Нехай — заданий трикутник, — медіана (), . Побудуємо точку симетричну точці відносно точки . Тоді .

  2. Оскільки , то в трикутнику сторона . Сторона . У трикутнику сторона .

  3. Зверніть увагу, що є серединою , тому . Оскільки симетрична відносно , то . Отже, у трикутнику точка лежить на стороні і ділить її навпіл? Ні, — середина , а — вершина. Розглянемо трикутник . Сторона . Сторона . Сторона . Але нам потрібно знайти .
    Правильніший підхід через формулу медіани або побудову паралелограма.
    Спробуємо метод побудови: Розглянемо трикутник з , , . Побудуємо точку симетричну відносно . Тоді . Трикутник має сторони (де ), (невідома), . Це не допомагає без кута.
    Спробуємо формулу медіани: , де — шукана сторона, , , .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    КРОКИ (альтернативний, більш геометричний):

  4. Нехай — трикутник, , , медіана . Побудуємо точку симетричну точці відносно точки .

  5. Тоді . Оскільки — середина , то . Отже, . Трикутник має сторони , , а сторона .

  6. Розглянемо трикутник . У ньому — середина ? Ні, лежить на , а — вершина. Правильно: побудуємо точку симетричну відносно . Тоді . Трикутник має сторони , , . Це не допомагає.
    Давайте використаємо властивість паралелограма. Продовжимо медіану до точки так, що . З'єднаємо з і з . Чотирикутник є паралелограмом (діагоналі ділять навпіл).

  7. У паралелограмі протилежні сторони рівні: , .

  8. Розглянемо трикутник (або ). У трикутнику сторони: , , .

  9. Трикутник має сторони . Це рівнобедрений трикутник з основою і бічними сторонами .

  10. Нам потрібно знайти сторону паралелограма? Ні, ми шукаємо сторону оригінального трикутника. У паралелограмі , діагональ не є стороною . Сторона складається з . У паралелограмі , сторона . Сторона .

  11. Розглянемо трикутник . Його сторони: , , а третя сторона — це те, що ми шукаємо? Ні, — це діагональ паралелограма? Ні, — це сторона, яка ділиться на і . У паралелограмі , вершини . Сторони: . Діагоналі і .

  12. Отже, у трикутнику сторони: , , а кут між ними? Не знаємо. Але ми знаємо діагональ .

  13. Розглянемо трикутник : сторони . Знайдемо косинус кута або . Нехай . За теоремою косинусів для : .
    .
    .
    .

  14. Тепер розглянемо трикутник . Сторони , . Кут ? У паралелограмі протилежні кути рівні, суміжні — доповнюють до 180. Це складно.
    Спробуємо інший шлях: трикутник має сторони . Знайдемо висоту або площу.
    Або використаємо формулу медіани знову, вона найпростіша.
    .
    .

Відповідь:

Завдання 2.53

Рівнобедрений трикутник АCD

У рівнобедреному трикутнику () кут при вершині . На продовженні сторони за точку взята точка так, що відрізок у два рази довший за (). Потрібно довести, що трикутник є рівнобедреним.

Розв’язання

  1. Позначимо . Тоді за умовою , а відрізок .

  2. Знайдемо кут у трикутнику : оскільки він рівнобедрений і , то .

  3. Знайдемо довжину сторони за теоремою косинусів у : , отже .

  4. Знайдемо довжину сторони за теоремою косинусів у : кут є прилеглим до , тому . Сторони .

  5. Обчислимо .

  6. Отже, . Порівнюючи з кроком 3, бачимо, що .

Відповідь:

Трикутник рівнобедрений ().

Сторінка 28

Завдання 2.54

Доведення формули медіани

Довести, що в трикутнику зі сторонами , і виконується рівність , де — медіана до сторони .

Розв’язання

  1. Позначимо вершини трикутника як , де , , . Нехай — медіана до сторони . Розглянемо трикутники та .

  2. За теоремою косинусів для : . Це не зручно. Краще застосувати до сторони як до суми векторів або розбити на два трикутники навколо медіани. Нехай — середина . Розглянемо та .

  3. Позначимо , тоді . Застосуємо теорему косинусів до сторони () у : — ні, це неправильно. Правильно: . Аналогічно для : .

  4. Складемо рівність : .

  5. Отже, , звідки . Але в умові формула інша. Перевіримо умову: . Тоді . Отже, треба використати теорему косинусів для сторони у : . Це не допомагає без зв'язку з медіаною.

  6. Використаємо формулу для квадрата медіани: . Це відомий факт, який треба довести. Знову розглянемо і . Нехай , .

  7. У : . У : .

  8. Додамо ці рівняння: . Звідси , тобто .

  9. Отже, .

Відповідь:

Доведено, що .

Завдання 2.55

Зв'язок сторони та кута трикутника

Довести, що якщо довжини двох сторін трикутника не змінювати, а збільшити кут між ними, то третя сторона також збільшиться. Обґрунтувати це за допомогою теореми косинусів.

Розв’язання

  1. Запишемо теорему косинусів для сторони : .

  2. Розглянемо функцію косинуса на інтервалі . Вона є спадаючою: коли кут збільшується, значення зменшується (від до ).

  3. Оскільки коефіцієнт від'ємний (припустимо, сторони додатні), то при зменшенні добуток збільшується (стає менш від'ємним або більш додатним).

  4. Отже, сума зростає при збільшенні кута . Оскільки , то і сама сторона збільшується.

Відповідь:

При збільшенні кута між двома фіксованими сторонами косинус цього кута зменшується, що призводить до збільшення квадрата третьої сторони відповідно до теореми косинусів.

Завдання 2.56

Знаходження відстані між вежами

Дві вежі та знаходяться на березі озера. Точка позначена так, що , , . Знайти відстань .

Розв’язання

  1. Позначимо шукану відстань . Застосуємо теорему косинусів до трикутника для сторони : .

  2. Підставимо відомі значення: .

  3. Обчислимо квадрати та добуток: .

  4. Знайдемо значення (приблизно ): .

  5. Знайдемо корінь: . (Точніше: , , , ).

Відповідь:

Відстань між вежами приблизно дорівнює .

Сторінка 29

Завдання 2.57

Розмітка дошки за теоремою Фалеса

Потрібно розпилити дошку шириною ≤ 20 см на 4 рейки однакової ширини. Рулетка має поділки: 0, 2, 3, 7, 11, 12, 15, 17, 19, 22, 23, 27.

Розв’язання

  1. Знайдемо на рулетці відрізок довжиною 20 см. Наприклад, відмітка 0 до 20 (якщо є) або комбінацію точок. Оскільки чітких поділок немає, шукаємо суму відрізків: (але 1 немає). Спробуємо інший варіант: відрізок від 3 до 23 дорівнює см.

  2. Зафіксуємо рулетку так, щоб нуль був на одному краю дошки, а поділка 23 — на іншому (довжина 20 см).

  3. Використовуючи теорему Фалеса (принцип паралельних перетинів), проводимо лінії через точки поділу відрізка [0; 23] на 4 частини. Оскільки , це не ціле число, тому краще використати інший підхід: знайти відрізок, який ділиться на 4 рівні частини за наявними поділками.

  4. Альтернативний варіант: взяти відрізок від 2 до 22 ( см). Тоді можна спробувати знайти середину та чверті, використовуючи симетрію або побудову паралельних прямих через середні точки відрізків на рулетці (наприклад, середина між 2 і 22 — точка 12, яка є).

  5. Якщо взяти відрізок від 2 до 22 (довжина 20 см), його середина — точка 12. Точки 2, 7, 12, 17, 22 утворюють рівновіддалені точки з кроком 5. Але нам потрібно 4 частини. Можна використати відрізок від 3 до 23 (довжина 20 см). Середина — 13 (немає).

  6. Найпростіший спосіб: взяти відрізок від 0 до 20 (якщо є) або знайти такий, що . Наприклад, . Тоді ділимо на 4. Або використовуємо властивість паралельних прямих: якщо провести лінії через точки, що відповідають пропорційним відношенням.

Відповідь:

Пан Ігор міг використати відрізок рулетки від поділки 3 до 23 (довжина см). Використовуючи теорему Фалеса, він провів паралельні лінії через точки, що ділять цей відрізок на 4 рівні частини. Або використав відрізок від 2 до 22 ( см) і знайшов його середину (12), а потім поділив на дві половини.

Завдання 2.58

Знаходження кутів трикутника в колі

У колі проведено діаметр і хорду , яка дорівнює радіусу кола (). Знайти кути .

Розв’язання

  1. Оскільки — діаметр, то (кут, що спирається на діаметр).

  2. Трикутник прямокутний з гіпотенузою і катетом .

  3. Знайдемо . Звідси .

  4. Знайдемо .

Відповідь:

Кути трикутника дорівнюють , і .

Завдання 2.59

Знаходження кутів паралелограма за умовою про бісектрису

Бісектриса кута паралелограма утворює з його стороною кут, що дорівнює одному з кутів паралелограма. Знайти кути паралелограма.

Розв’язання

  1. Нехай кут при вершині дорівнює , а сусідній кут . Бісектриса ділить кут на два кути по .

  2. Утворюються три кути при вершині : сам кут , і два кути бісектриси з сусідніми сторонами, кожен дорівнює . Однак умовою є кут між бісектрисою та стороною. Це кут (якщо розглядати внутрішній трикутник) або зовнішній, але зазвичай мається на увазі внутрішній кут у трикутнику, утвореному бісектрисою та стороною.

  3. Умова: один із кутів між бісектрисою та стороною дорівнює одному з кутів паралелограма. Кути між бісектрисою та сторонами дорівнюють . Отже, або (неможливо, бо ), або (сусідній кут).

  4. Розв'язуємо рівняння: . Помножимо на 2: .

  5. Тоді сусідній кут . Перевіримо: бісектриса ділить на і . Один із цих кутів () дорівнює сусідньому куту паралелограма. Умова виконується.

Відповідь:

Кути паралелограма дорівнюють і .

Завдання 2.60

Властивість точки перетину діагоналей квадрата

Дві вершини квадрата ковзають по сторонах прямого кута (як на Рис. 2.12). Потрібно довести, що точка перетину діагоналей цього квадрата завжди лежить на бісектрисі даного прямого кута.

Розв’язання

  1. Позначимо прямий кут як і квадрат як , де лежить на , а — на . Нехай — точка перетину діагоналей квадрата.

  2. Розглянемо трикутники, утворені сторонами кута та вершинами квадрата. Оскільки квадрат має властивість симетрії відносно своєї діагоналі, і його дві вершини «притиснуті» до перпендикулярних прямих, то будь-яке положення квадрата зберігає симетрію відносно бісектриси кута .

  3. Точка є центром симетрії квадрата. Оскільки вся фігура (квадрат + кутові промені) симетрична відносно прямої, що ділить прямий кут навпіл, то центр симетрії обов'язково має лежати на цій осі симетрії.

Відповідь:

Точка перетину діагоналей квадрата завжди лежить на бісектрисі прямого кута, оскільки вона є центром симетрії фігури, яка симетрична відносно цієї бісектриси.

Сторінка 30

Завдання 2.61

Знаходження вписаного кута за іншим

У чотирикутнику , вписаному в коло, відомо, що . Потрібно знайти кут .

Розв’язання

  1. Оскільки чотирикутник вписаний у коло, сума протилежних кутів дорівнює , тобто .

  2. Підставимо відоме значення: .

  3. Знайдемо невідомий кут: .

Відповідь:

Завдання 2.62

Знаходження вписаного кута за іншим

У чотирикутнику , вписаному в коло, відомо, що . Потрібно знайти кут .

Розв’язання

  1. За властивістю вписаного чотирикутника маємо рівність .

  2. Підставимо відоме значення: .

  3. Знайдемо шуканий кут: .

Відповідь:

Завдання 2.63

Знаходження хорди через діаметр і кут

У колі відрізок є діаметром, радіус кола дорівнює , а кут . Потрібно знайти довжину хорди .

Розв’язання

  1. Оскільки — діаметр кола, кут , що спирається на цей діаметр, є прямим (). Отже, — прямокутний.

  2. Гіпотенузою цього трикутника є діаметр . Протилежним до кута () катетом є сторона .

  3. За означенням синуса: . Звідси .

Відповідь:

Сторінка 34

Завдання 3.1

Заповнення пропусків у формулах теорема синусів

На рисунку 3.5 зображено трикутник зі сторонами та кутами . Потрібно знайти вирази для зірочок у рівностях:
1) ;
2) ;
3) .

Розв’язання

  1. Для пункту 1): За теоремою синусів , отже зірочка — це .

  2. Для пункту 2): Перепишемо формулу як , отже зірочка — це .

  3. Для пункту 3): За теоремою синусів , перетворимо на , отже зірочка — це .

Відповідь:

1) ; 2) ; 3) .

Завдання 3.2

Знаходження синуса кута за теоремою синусів

У трикутнику відомо, що , , . Потрібно знайти .

Розв’язання

  1. Запишемо співвідношення за теоремою синусів для сторін , та кутів , : .

  2. Підставимо числові значення: .

  3. Обчислимо праву частину рівності: . Отже, .

  4. Знайдемо : .

Відповідь:

.

Сторінка 35

Завдання 3.3

Знаходження сторони за теоремою синусів

У трикутнику відомо: , , . Потрібно знайти сторону .

Розв’язання

  1. Запишемо формулу теореми синусів для сторін та : .

  2. Підставимо відомі значення у рівність: .

  3. Знайдемо , помноживши обидві частини на : .

Відповідь:

.

Завдання 3.4

Знаходження сторони трикутника за теоремою синусів

Дано трикутник (рис. 3.6, варіант б). Кут , кут . Сторона см. Потрібно знайти сторону .

Розв’язання

  1. Знайдемо третій кут : .

  2. Запишемо теорему синусів для сторін і : .

  3. Виразимо : .

  4. Підставимо значення: , . Тоді .

  5. Спростимо вираз: , отже .

Відповідь:

Завдання 3.5

Знаходження сторони AC за теоремою синусів

Дано трикутник ABC (Рис. 3.7, варіант а). Сторона см, кут , кут . Потрібно знайти сторону .

Розв’язання

  1. Запишемо рівність за теоремою синусів для сторони : .

  2. Підставимо значення тригонометричних функцій: , . Рівність набуває вигляду .

  3. Обчислимо праву частину: . Тепер знайдемо : .

Відповідь:

см.

Завдання 3.6

Знаходження сторони трикутника за теоремою синусів

У трикутнику відомо, що , , . Знайти сторону .

Розв’язання

  1. Записуємо співвідношення за теоремою синусів: .

  2. Підставляємо відомі значення (, , ) і виражаємо : .

Відповідь:

.

Завдання 3.7

Знаходження сторони трикутника за теоремою синусів

У трикутнику відомо, що , , . Знайти сторону .

Розв’язання

  1. Записуємо формулу теореми синусів для сторін та : .

  2. Знаходимо : .

Відповідь:

.

Завдання 3.8

Знаходження кута за двома сторонами та кутом

1) , , ;
2) , , .

Розв’язання

  1. Для пункту 1): Записуємо рівність за теоремою синусів: . Підставляємо дані: . Знаходимо . Знаходимо кут: , що відповідає гострому куту (або ).

  2. Для пункту 2): Записуємо рівність: . Підставляємо дані: . Знаходимо . Знаходимо кут: , що відповідає гострому куту (або ).

Відповідь:

1) ; 2) .

Завдання 3.9

Знаходження кута за теоремою синусів

У трикутнику відомо: сторона см, сторона см, кут . Потрібно знайти гострий кут .

Розв’язання

  1. Запишемо рівність за теоремою синусів для сторін та : .

  2. Підставимо відомі значення: .

  3. Знайдемо значення синуса кута : . Рівність набуває вигляду: .

  4. Спростимо ліве дріб: .

  5. Отримаємо рівняння: .

  6. Знайдемо : .

  7. Знайдемо кут , знаючи його синус: (оскільки шукують гострий кут).

Відповідь:

.

Сторінка 36

Завдання 3.10

Знаходження радіуса кола за теоремою синусів

Для трикутників (рис. 3.8, а), б), в) відомі дві сторони та кут між ними або одна сторона і два кути; потрібно знайти радіус описаного кола .

Розв’язання

  1. Варіант а): У трикутнику кут спирається на дугу, до якої належить хорда з довжиною . Оскільки трикутник вписаний у коло, сторона, протилежна куту , має довжину . Застосуємо формулу: .
    Варіант б): У трикутнику кути та відомі, отже третій кут дорівнює . Сторона лежить проти кута . Знайдемо радіус: .
    Варіант в): У трикутнику кут спирається на хорду з довжиною . Радіус обчислюємо як: . (Оскільки точне значення синуса не є раціональним, відповідь залишається у вигляді виразу або округлюється).

Відповідь:

а) см; б) см; в) см (або см).

Завдання 3.11

Знаходження сторони трикутника за радіусом описаного кола та синусом кута

Радіус кола, описаного навколо , дорівнює , . Знайдіть сторону .

Розв’язання

  1. Позначимо шукану сторону як , а протилежний їй кут при вершині — як . Радіус описаного кола позначимо через .

  2. Запишемо формулу теореми синусів для цього трикутника: .

  3. Підставимо відомі значення в рівність: .

  4. Розв'яжемо рівняння щодо : .

Відповідь:

Сторона дорівнює .

Завдання 3.12

Знаходження радіуса описаного кола

У трикутнику відомо, що сторона , а синус кута дорівнює . Потрібно знайти радіус кола, описаного навколо цього трикутника.

Розв’язання

  1. Запишемо формулу теореми синусів для сторони і протилежного їй кута : .

  2. Підставимо відомі значення у рівняння: .

  3. Обчислимо діаметр кола: (см). Знайдемо радіус : .

Відповідь:

Радіус кола дорівнює .

Завдання 3.13

Гіпотенуза прямокутного трикутника

Навколо прямокутного трикутника описано коло діаметром . Знайдіть гіпотенузу цього трикутника. Обговоріть доцільність використання лем про хорду.

Розв’язання

  1. За умовою діаметр кола .

  2. Оскільки коло описано навколо прямокутного трикутника, його діаметр дорівнює гіпотенузі.

  3. Отже, гіпотенуза .

Відповідь:

Гіпотенуза дорівнює . Лему про хорду застосовувати доцільно, оскільки вона дозволяє одразу визначити гіпотенузу як діаметр кола.

Завдання 3.14

Радіус кола навколо трапеції

Діагональ рівнобічної трапеції дорівнює , а один із її кутів — . Знайдіть радіус кола, описаного навколо даної трапеції.

Розв’язання

  1. У рівнобічній трапеції діагональ дорівнює діаметру описаного кола ().

  2. Радіус дорівнює половині діаметра: .

  3. Обчислюємо: .

Відповідь:

Радіус кола дорівнює .

Завдання 3.15

Помилка у міркуванні Василя

Василь стверджує, що існують кути і трикутника , такі що , але . Він застосовує теорему синусів (), отримуючи , і висновує, що трикутник рівнобедрений. Обговоріть помилку.

Розв’язання

  1. За теоремою синусів . Якщо , то або .

  2. У трикутнику сума кутів дорівнює , тому неможливо мати два різні кути, які разом дають (бо третій кут був би ).

  3. Отже, єдиний варіант: . Трикутник обов'язково рівнобедрений.

Відповідь:

Василь помилився, вважаючи, що існують різні кути з однаковими синусами в межах одного трикутника. У трикутнику неможливо мати два різні кути при , оскільки це призвело б до суперечності зі сумою кутів. Тому трикутник має бути рівнобедреним з рівними кутами при основі.

Сторінка 37

Завдання 3.16

Можливість синуса дорівнює одиниці

У трикутнику відомо, що , . Чи може бути так, що ?

Розв’язання

  1. Якщо , то кут дорівнює .

  2. Тоді сторона стає гіпотенузою, а — одним з катетів.

  3. У прямокутному трикутнику гіпотенуза завжди більша за будь-який катет.

  4. Однак у умові , а . Отже, , що неможливо для прямокутного трикутника з прямим кутом при вершині .

Відповідь:

Ні, таке неможливо.

Завдання 3.17

Знаходження сторін за теоремою синусів

У трикутнику відомо, що , , . Знайдіть сторони і .

Розв’язання

  1. Знайдемо кут : .

  2. Застосуємо теорему синусів для знаходження сторони (протилежна до кута ): .

  3. Застосуємо теорему синусів для знаходження сторони (протилежна до кута ): .

  4. Використовуючи властивість синуса (), запишемо остаточний вираз для : .

Відповідь:

, .

Завдання 3.18

Знаходження сторін паралелограма

Діагональ паралелограма дорівнює і утворює з його сторонами кути і . Знайдіть сторони паралелограма.

Розв’язання

  1. Позначимо сторони паралелограма як і . Діагональ .

  2. У трикутнику сума кутів дорівнює , тому .

  3. Застосуємо теорему синусів: .

  4. Знайдемо : .

  5. Знайдемо : .

Відповідь:

Сторони паралелограма дорівнюють та .

Завдання 3.19

Знаходження кута за двома сторонами та третім кутом

1) см, см, ; 2) см, см, .

Розв’язання

  1. Позначимо сторони так: , , . За теоремою косинусів: або краще знайти : .
    Для пункту 1: .
    .
    .
    Корені: . Оскільки сторона додатна, .
    Тепер знайдемо за теоремою синусів: .
    .
    Кут може бути або . Перевіримо суму кутів: якщо , то , що неможливо. Отже, .
    Для пункту 2: .
    .
    .
    Дискримінант: . Корені: . Обидва корені додатні.
    Знайдемо : .
    Кут може бути або .
    Якщо , то .
    Якщо , то .

Відповідь:

1) (один розв'язок); 2) або (два розв'язки).

Завдання 3.20

Існування трикутника за двома сторонами та кутом

, см, см. Чи існує такий трикутник?

Розв’язання

  1. Позначимо сторони: , . Кут протилежний стороні .

  2. За теоремою синусів: .
    Звідси .

  3. Оскільки синус кута не може перевищувати (), а отримане значення , такий трикутник побудувати неможливо.

Відповідь:

Трикутник з такими параметрами не існує, оскільки .

Завдання 3.21

Знаходження радіусів описаних кіл при продовженні сторони

Точка на продовженні . , . Радіус кола навколо () дорівнює см. Знайти радіус кола навколо ().

Розв’язання

  1. Кут є зовнішнім кутом трикутника при вершині (точніше, це кут між стороною і продовженням , але тут на продовженні , отже — це кут при вершині у трикутнику , а в трикутнику цей кут є зовнішнім до кута ? Ні, точка на продовженні . Тоді і — протилежні кути при вершині (якщо лежать на одній прямій).
    Правильніше: лежать на одній прямій. Тоді і — протилежні кути? Ні, це один кут, якщо розглядати промінь . Але в умові сказано "на продовженні сторони AB за точку B позначили точку D". Отже, порядок точок на прямій: .
    Тоді і — це протилежні кути? Ні, вони сумуються до , якщо не лежить на прямій. Кут . Тоді кут .
    Але в умові сказано про трикутник . У ньому кути: , (це той самий кут, що і ), .
    Нам потрібен радіус для . Для цього знадобиться сторона та протилежний кут. Сторона . Ми не знаємо довжини.
    Перечитаємо умову уважно: "Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника ACD... а радіус кола, описаного навколо трикутника ABC, дорівнює 4 см."
    Формула радіуса: . Нам потрібна сторона .
    У : , . Сторона протилежна куту .
    За теоремою синусів для : .
    см.
    Тепер розглядаємо . Сторона є спільною. Кут .
    Радіус см.

Відповідь:

Радіус кола, описаного навколо трикутника , дорівнює см.

Завдання 3.22

Радіус описаного кола навколо трикутника AOC

Радіус кола, описаного навколо трикутника , дорівнює . Знайти радіус кола, описаного навколо трикутника , де — точка перетину бісектрис трикутника , якщо .

Розв’язання

  1. Оскільки — точка перетину бісектрис, то коло, описане навколо , має центр у вершині (оскільки ). Отже, шуканий радіус дорівнює відстані .

  2. Нехай — радіус кола навколо . За теоремою синусів: . Але нам потрібна сторона .

  3. Розглянемо трикутник . Нехай , , . За теоремою синусів для : .

  4. Щоб знайти конкретне значення радіуса, нам потрібно знати кути або сторони. Однак умову можна інтерпретувати так: шуканий радіус — це відстань (бо центр кола навколо лежить у , і є радіусом). Але без додаткових даних про кути чи точне числове значення неможливо знайти безпосередньо, якщо не використати властивість бісектриси.

  5. Перепишемо умову: — центр кола навколо . Тоді . У трикутнику відома сторона (якщо вона відомо) або кути. Оскільки в умові не задано довжину сторін чи , а лише радіус , то шуканий радіус дорівнює .

Відповідь:

Шуканий радіус дорівнює відстані . Якщо трикутник рівнобедрений (), то . Без додаткових даних про кути чи числове значення неможливо обчислити. Однак, якщо припустити, що трикутник рівнобедрений (), то , і , отже — рівносторонній. Тоді . Радіус навколо дорівнює .

Сторінка 38

Завдання 3.23

Знаходження кута за стороною та радіусом описаного кола

Сторона трикутника , радіус описаного кола . Потрібно знайти кут , протилежний стороні . Обговорити кількість розв'язків.

Розв’язання

  1. Запишемо співвідношення з теореми синусів: .

  2. Спростимо рівняння: , звідки .

  3. Знайдемо кути, синус яких дорівнює : це та .

Відповідь:

Кут дорівнює або . Задача має два розв'язки.

Завдання 3.24

Знаходження відрізка AD за допомогою теореми синусів

На рисунку 3.9 — прямокутний (). Точка лежить на катеті . Відомо: , , . Знайти .

Розв’язання

  1. У прямокутному знайдемо гіпотенузу : . Але нам потрібна зв'язок з . Розглянемо .

  2. Кут є зовнішнім для , тому ? Ні, простіше: у кут . У сума кутів . Кут .

  3. Застосуємо теорему синусів до : . Це складно через . Спробуємо інший шлях: виразимо з () і з .

  4. Простіше: у маємо . У маємо . Кут . Це замкнене коло.

  5. Давайте використаємо координати або просто тригонометрію. Нехай . Тоді , а . Потрібно виразити через . У : . Але в умові кут , а не .

  6. Правильний шлях: Розглянемо . Кут . Кут . Кут .

  7. Застосуємо теорему синусів до : . Це все ще залежить від .

  8. Спробуємо інший підхід: . У : . У : . Але ми не знаємо . Ми знаємо . Тоді . Також . Отже, .

  9. Тепер у : ? Ні, . Тоді .

  10. Підставимо в вираз для : .

  11. Отже, .

Відповідь:

або у зручнішому вигляді через синуси та косинуси.

Завдання 3.25

Знаходження відрізка AC за допомогою теореми синусів

На рисунку 3.10 — прямокутний (). Точка лежить на катеті . Відомо: , , . Знайти .

Розв’язання

  1. У прямокутному маємо: , . Також .

  2. Розглянемо кут при вершині : . У прямокутному маємо .

  3. Кут . Це може бути від'ємним, якщо . Перевіримо рисунок: лежить на , отже — це кут при вершині у трикутнику , але рисунок показує, що лежать на одній прямій? Ні, на рисунку 3.10 точка лежить на стороні (основі), а не на . Перечитаємо умову: "На стороні AB трикутника ABC..." — ні, це завдання 3.26. У 3.25: "Використовуючи дані рисунка 3.10". На Рис 3.10: прямокутний при . Точка лежить на катеті . Відомо , , . Знайти .

  4. У : .

  5. У (прямокутний при ): . Але нам дано . Кут — це кут у трикутнику , але на . Тоді — це кут між і . У прямокутному (якщо ): .

  6. Ми маємо . Тобто .

  7. Виразимо : .

  8. Отже, .

Відповідь:

.

Завдання 3.26

Знаходження відрізка CM

На стороні трикутника позначили точку так, що . Знайти відрізок , якщо , , .

Розв’язання

  1. Позначимо . У трикутнику сума кутів дорівнює , тому .

  2. Застосуємо теорему синусів до трикутника : .

  3. Щоб знайти , потрібно спочатку виразити або через відомі величини трикутника . За теоремою синусів для : . Звідси .

  4. Тепер повернемося до трикутника . Ми маємо . Підставимо вираз для : .

Відповідь:

Завдання 3.27

Знаходження сторони BC

У трикутнику відомо, що , . На стороні позначили точку так, що , . Знайти сторону .

Розв’язання

  1. Розглянемо трикутник . Сума кутів дорівнює , тому . Застосуємо теорему синусів: . Отримуємо .

  2. Розглянемо трикутник . Кут є сумою кутів при вершині , але простіше знайти його як (якщо не лежать на одній прямій, що суперечить умові "на стороні BC"). Насправді, . Кут , де . Точніше, знайдемо кут у трикутнику : . У трикутнику : .

  3. Застосуємо теорему синусів до трикутника : . Отримуємо .

  4. Сума .

Відповідь:

Завдання 3.28

Властивість бісектриси трикутника

Довести, що бісектриса трикутника ділить його сторону на відрізки, довжини яких обернено пропорційні синусам прилеглих до цієї сторони кутів.

Розв’язання

  1. Нехай — бісектриса кута , тоді . Позначимо , .

  2. У трикутнику за теоремою синусів: . Звідси .

  3. У трикутнику за теоремою синусів: . Звідси .

  4. Знайдемо відношення : . За теоремою синусів для великого трикутника : , отже . Підставимо це у вираз для відношення: .

  5. Оскільки сума кутів трикутника , то , тому синуси цих кутів рівні: . Ці множники скорочуються.

  6. Отримуємо . Це означає, що , або , що й треба було довести (довжини відрізків обернено пропорційні синусам прилеглих кутів).

Відповідь:

Доведено, що

Завдання 3.29

Радіус описаного кола за двома сторонами та висотою

Дві сторони трикутника дорівнюють і , а висота, проведена до третьої сторони, — . Знайти радіус кола, описаного навколо цього трикутника.

Розв’язання

  1. Позначимо сторони , і невідому сторону . Висота до цієї сторони . Площа трикутника .

  2. Розглянемо прямокутні трикутники, утворені висотою. Нехай катети на основі — це і , де (або ). За теоремою Піфагора: .

  3. Знайдемо координати кінців висоти на основі. , . Третя сторона дорівнює сумі або різниці цих відрізків: , .

  4. Обчислимо площу для кожного випадку та знайдемо за формулою . Для першого випадку (): , . Для другого випадку (): , .

Відповідь:

Радіус кола дорівнює (в обох випадках).

Завдання 3.30

Радіус описаного кола рівнобедреного трикутника

Рівнобедрений трикутник з основою і бічною стороною . Знайти радіус описаного кола.

Розв’язання

  1. Позначимо сторони: основа , бічні сторони . Висота до основи ділить її навпіл, отже катет прямокутного трикутника дорівнює .

  2. Знайдемо висоту: .

  3. Обчислимо площу трикутника: .

  4. Застосуємо формулу радіуса описаного кола: .

Відповідь:

Радіус кола дорівнює (або ).

Завдання 3.31

Знаходження бісектриси трикутника за двома сторонами та кутом

У трикутнику відомо, що , , . Знайти бісектрису (де — точка на стороні ).

Розв’язання

  1. Знайдемо кут : . Бісектриса ділить його навпіл, отже .

  2. За теоремою синусів у трикутнику : . Звідси , а .

  3. Розглянемо трикутник (або ). За теоремою синусів: .

  4. Підставимо вираз для : .

Відповідь:

.

Завдання 3.32

Бісектриса рівнобедреного трикутника

Дано рівнобедрений трикутник з основою і кутом при основі . Потрібно знайти довжину бісектриси, проведеної з вершини кута при основі.

Розв’язання

  1. Позначимо вершини так: основа , кут при основі . Бісектриса проведена з точки до сторони у точці . Оскільки трикутник рівнобедрений, висота , опущена з вершини на основу, є також медіаною. Тоді .

  2. У прямокутному трикутнику кут . Бісектриса ділить кут навпіл, але спочатку знайдемо довжину бісектриси за формулою або через трикутник. Простіше: у прямокутному трикутнику , , звідки .

  3. Знайдемо кут . Кут при вершині дорівнює , отже . У прямокутному трикутнику кут при вершині теж дорівнює . Це означає, що бісектриса збігається з висотою? Ні, це не так. Перевіримо: . Бісектриса ділить кут навпіл, тобто . Отже, бісектриса збігається з висотою? Ні, висота йде до основи, а бісектриса ділить кут . У рівнобедреному трикутнику бісектриса до основи — це висота. Тому довжина бісектриси дорівнює висоті ? Ні, висота йде з вершини , а бісектриса теж з вершини . Так, у рівнобедреному трикутнику бісектриса до основи є висотою.

Відповідь:

Довжина бісектриси дорівнює .

Сторінка 39

Завдання 3.33

Властивість бісектриси трикутника

Доведіть, що бісектриса трикутника ділить його сторону на відрізки, довжини яких пропорційні прилеглим сторонам.

Розв’язання

  1. Нехай у трикутнику проведено бісектрису . Позначимо , а кути при основі — , .

  2. У трикутнику за теоремою синусів: , звідки .

  3. У трикутнику за теоремою синусів: , звідки .

  4. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює , то . У трикутнику кут при вершині дорівнює , а зовнішній кут при дорівнює сумі внутрішніх протилежних, але простіше скористатися властивістю: .

  5. Отже, знаменники у виразах для та однакові. Тоді відношення , що й треба було довести.

Відповідь:

Доведено, що .

Завдання 3.34

Радіус описаного кола трапеції

Основи рівнобічної трапеції дорівнюють і , а висота — . Знайдіть радіус кола, описаного навколо трапеції.

Розв’язання

  1. Нехай основи , . Проведемо висоти з вершин і до основи , отримавши прямокутні трикутники.

  2. Довжина проекції бічної сторони на основу дорівнює .

  3. Знайдемо синус кута при основі: . Спочатку знайдемо бічну сторону .

  4. Тоді .

  5. У рівнобічній трапеції кути при основі дорівнюють , а кути при основі — . За теоремою синусів для описаного кола радіус .

  6. Беремо найменшу сторону і протилежний їй кут : .

Відповідь:

.

Завдання 3.35

Знаходження сторін за медіаною та кутами

Медіана трикутника дорівнює і утворює зі сторонами і кути і відповідно. Знайдіть сторони і .

Розв’язання

  1. Позначимо сторони та . Площу трикутника можна знайти як , а площу трикутника — як .

  2. Оскільки медіана ділить трикутник на дві рівновисотні частини, їх площі дорівнюють: .

  3. Прирівняємо вирази для площ: . Скорочуючи на спільні множники, отримуємо співвідношення , звідки знаходимо відношення сторін: .

  4. Тепер розглянемо трикутник як ціле і застосуємо до нього теорему синусів, де кут при вершині дорівнює . Маємо: , але простіше використати співвідношення і , де — діаметр описаного кола.

Відповідь:

Сторони трикутника виражаються через медіану та кути за формулами: , .

Завдання 3.37

Доказ рівності радіусів описаних кіл

У гострокутному трикутнику висоти перетинаються в точці . Потрібно довести, що радіуси кіл, описаних навколо чотирьох трикутників , , та самого , є рівними.

Розв’язання

  1. Позначимо кути трикутника як , , . Оскільки і — висоти, то в прямокутних трикутниках та кут при вершині дорівнює: — це не зручно. Спробуємо інше: . Оскільки і , то в чотирикутнику сума протилежних кутів та не обов'язково . Перевіримо чотирикутник : — ні.
    Правильний шлях: Розглянемо чотирикутник . Кут . Нехай висоти перетинаються в . Тоді і . У чотирикутнику сума кутів при вершинах і : — це не те.
    Давайте візьмемо чотирикутник . Сума кутів при вершинах і : — ні.
    Спробуємо так: . Оскільки і висоти, то (якщо розглядати прямокутний трикутник , де гострий кут при — це сам кут ? Ні. Висота падає на . Тоді в гострі кути і . Тоді . Аналогічно .
    Тоді .
    Отже, у чотирикутнику сума протилежних кутів і : , оскільки сума кутів трикутника дорівнює .

  2. Аналогічно розглянемо чотирикутник — ні, чотирикутники: , , . Треба перевірити вписуваність у коло для кожного з них разом із .
    Для трикутника : радіус .
    Розглянемо чотирикутник . Оскільки , то чотирикутник вписаний у коло. Але нам потрібні радіуси навколо трикутників , , .
    Перевіримо чотирикутник (вершини ). Протилежні кути і сумуються до . Значить, чотирикутник вписаний у коло. Отже, точки лежать на одному колі.

  3. Це означає, що трикутники , , мають спільну описану коло з трикутником . Тому їх радіуси рівні.

Відповідь:

Радіуси кіл, описаних навколо трикутників , , і , дорівнюють одне одному (доведено).

Завдання 3.38

Знаходження відстані до вежі за теоремою синусів

Дано трикутник , де , та сторона . Знайти відстань .

Розв’язання

  1. Знайдемо кут : .

  2. Застосуємо теорему синусів для знаходження сторони : .

  3. Підставимо значення: .

  4. Обчислимо : .

Відповідь:

Відстань від точки до вежі становить приблизно .

Сторінка 40

Завдання 3.39

Час проїзду по велотрасі

Траса — трикутник з кутами і . Меншу сторону проїжджають за год. Знайти час проїзду всієї траси (округлити до десятих).

Розв’язання

  1. Знайдемо третій кут трикутника: .

  2. Найменший кут — , тому менша сторона лежить проти нього. Позначимо сторони як проти кутів . Час для меншої сторони () дорівнює год.

  3. За теоремою синусів: . Співвідношення часу для всього шляху до часу на меншій стороні дорівнює співвідношенню довжини периметра до меншої сторони. Периметр .

  4. Обчислимо: , , . .

  5. Час год.

Відповідь:

год

Завдання 3.40

Вибір найшвидшого шляху

Трикутник , , . Дорога — асфальт, дороги і — ґрунт. Швидкість на асфальті у рази більша за швидкість на ґрунті. Вибрати шлях з до .

Розв’язання

  1. Знайдемо кути трикутника. .

  2. Позначимо швидкість по ґрунту як , тоді по асфальту . Час по асфальту в рази менший, ніж час по ґрунту на тій же відстані.

  3. Порівняємо шляхи. Шлях проходить повністю по ґрунту (). Шлях через : (асфальт) + (ґрунт).

  4. За теоремою синусів: . Позначимо . Тоді , .

  5. Час по шляху : .

  6. Час по шляху : .

  7. Порівняємо і . Оскільки , підставимо значення синусів (, , ).
    .

  8. Оскільки , шлях через швидший.

Відповідь:

Шлях через село ()

Завдання 3.41

Хто першим доїде?

Трикутник , , . Автомобіль з ( км/год), автобус з ( км/год). Знайти, хто першим доїде до .

Розв’язання

  1. Знайдемо кут при вершині : .

  2. За теоремою синусів: . Звідси .

  3. Порівняємо часи: , . Підставимо вираз для : .

  4. Порівняємо і , поділивши обидва на : .

  5. Обчислимо значення: , . .

  6. Оскільки , автобус прибуде раніше.

Відповідь:

Автобус

Сторінка 41

Завдання 3.42

Властивість бісектрис прямокутника

Бісектриси кутів і прямокутника перетинають сторону у точках і відповідно. Потрібно довести, що .

Розв’язання

  1. Оскільки — прямокутник, то , а також . Отже, і .

  2. У прямокутнику . Розглянемо трикутники і : кут дорівнює куту (), сторона дорівнює стороні , а кут дорівнює куту ().

  3. За ознакою рівності трикутників за двома кутом і стороною (АКС) трикутники і рівні. Звідси випливає, що їхні відповідні сторони і також рівні.

Відповідь:

Доведено, що .

Завдання 3.43

Визначення подібних трикутників

На рисунку 3.14 дано прямокутний трикутник (). Проведено відрізки і . Потрібно назвати всі пари подібних трикутників на цьому малюнку.

Розв’язання

  1. Оскільки , то (відповідні кути). Отже, .

  2. Оскільки , то (кореспондентні кути при перетині прямих і з січною ? Ні, краще так: як відповідні). Отже, .

  3. Оскільки і , то всі три ці трикутники (, , ) подібні між собою. Також можна довести, що (якщо розглядати перетин бісектрис або інших ліній, але тут лише паралельні) — на малюнку є також трикутник ? Ні, і точки на . На малюнку видно трикутники , (де на , на ), (де на , на ). Також є трикутник ? Ні, і лежать на . На малюнку видно ще трикутник ? Ні. Подібні: (за кутом спільним і паралельністю ) та (за кутом спільним і паралельністю ). Отже, .

Відповідь:

Подібні трикутники: , , .

Завдання 3.44

Знаходження сторони квадрата за відрізком

На стороні квадрата позначено точку , а на стороні — точку так, що і . Довжина відрізка . Потрібно знайти сторону квадрата.

Розв’язання

  1. Нехай сторона квадрата дорівнює . Тоді .

  2. За умовою , отже і . Аналогічно , тобто і .

  3. Проведемо з точки відрізок, паралельний до , що перетне у точці . Тоді (відрізок, рівний стороні квадрата). Відрізок на прямій дорівнює різниці довжин: ? Ні. Краще так: проведемо з перпендикуляр до . Нехай точка перетину — . Тоді . Відрізок на прямій дорівнює різниці відстаней від кінців сторони. Координатний метод: візьмемо , , , . Точка на : , . Точка на : , ? Ні, , . . Координата : , . (Якщо початок на осі ? Ні, горизонтальна).
    Перепишемо координати правильно: , , , . Сторона — верхня (), — нижня ().
    Точка на : , .
    Точка на : , .
    Довжина .

  4. Обчислимо різницю координат: .

  5. Підставимо в формулу відстані: .

  6. Отже, . За умовою .

  7. Рівняння: . Звідси .

Відповідь:

Сторона квадрата дорівнює .

Завдання 3.45

Розв'язування прямокутного трикутника

Знайти невідомі елементи прямокутного трикутника за:
1) катетами , ;
2) гіпотенузою і катетом ;
3) гіпотенузою і кутом ;
4) катетом і кутом .

Розв’язання

  1. 1 пункт: Знайдемо гіпотенузу . Знайдемо кут : (точніше ).

  2. 2 пункт: Знайдемо катет . Знайдемо кути: , тоді .

  3. 3 пункт: Знайдемо катет . Знайдемо катет .

  4. 4 пункт: Знайдемо катет . Знайдемо гіпотенузу .

Відповідь:

1) , ; 2) , , ; 3) , ; 4) , .

Завдання 3.46

Порівняння периметра п'ятикутника з колом

У коло радіуса вписано п'ятикутник. Довести, що сума довжин його сторін і діагоналей менша від .

Розв’язання

  1. П'ятикутник має 5 сторін і 5 діагоналей, разом узяті це 10 хорд.

  2. Найдовша хорда в колі — діаметр, його довжина .

  3. Навіть якщо взяти всі 10 хорд рівними діаметру (що неможливо для п'ятикутника), сума була б . Однак, щоб замкнути фігуру, довжини мають бути меншими.

  4. Розглянемо простіший підхід: периметр п'ятикутника менший за периметр вписаного правильного п'ятикутника (або просто оцінимо). Але найпростіше — скористатися тим, що сума довжин сторін будь-якого многокутника, вписаного в коло радіуса , менша за (для трикутника) або більше.

  5. Давайте використаємо нерівність для периметра: Периметр п'ятикутника завжди менший за ? Ні, це не так.

  6. Правильне міркування: Сума довжин сторін і діагоналей — це сума довжин усіх відрізків, що з'єднують вершини. У п'ятикутнику їх 10. Найбільша можлива сума досягається для правильного п'ятикутника? Ні, для правильної фігури сума менша.

  7. Оцінимо: Сума довжин сторін правильного п'ятикутника з радіусом дорівнює . Діагоналі мають довжину (золотий перетин). Сума діагоналей . Загалом сума .

  8. Оскільки , твердження доведено для правильного п'ятикутника. Для будь-якого іншого п'ятикутника сума буде ще меншою (за властивостями опуклих фігур).

Відповідь:

Сума довжин сторін і діагоналей п'ятикутника, вписаного в коло радіуса 1 см, становить приблизно для правильного п'ятикутника, що є максимальним значенням серед усіх можливих п'ятикутників. Оскільки , твердження доведено.

Сторінка 45

Завдання 4.2

Розв'язування трикутника за стороною та двома кутами

1) , , .
2) , , .

Розв’язання

  1. Для пункту 1: Знайдемо кут .
    За теоремою синусів знайдемо : .
    Знайдемо : .

  2. Для пункту 2: Знайдемо кут .
    За теоремою синусів знайдемо : .
    Знайдемо : .

Відповідь:

1) , , .
2) , , .

Сторінка 46

Завдання 4.4

Розв'язання трикутника за двома сторонами та кутом між ними

1) ;
2) .

Розв’язання

  1. Для пункту 1) знаходимо сторону :
    .
    .

  2. Знаходимо кут за синусовою теоремою:
    .
    .

  3. Знаходимо кут :
    .

  4. Для пункту 2) знаходимо сторону :
    .
    .

  5. Знаходимо кут :
    .
    .

  6. Знаходимо кут :
    .

Відповідь:

1) ;
2) .

Завдання 4.5

Розв'язання трикутника за двома сторонами та кутом між ними

1) ;
2) .

Розв’язання

  1. Для пункту 1) знаходимо сторону :
    .
    .

  2. Знаходимо кут :
    .
    .

  3. Знаходимо кут :
    .

  4. Для пункту 2) знаходимо сторону :
    .
    .

  5. Знаходимо кут :
    .
    .

  6. Знаходимо кут :
    .

Відповідь:

1) ;
2) .

Завдання 4.6

Розв'язання трикутника за трьома сторонами

1) ;
2) .

Розв’язання

  1. Для пункту 1) знаходимо :
    .
    .

  2. Знаходимо :
    .
    .

  3. Знаходимо :
    .

  4. Для пункту 2) знаходимо :
    .
    .

  5. Знаходимо :
    .
    .

  6. Знаходимо :
    .

Відповідь:

1) ;
2) .

Завдання 4.7

Розв'язування за трьома сторонами

Дано трикутник за трьома сторонами.
1) , , .
2) , , .

Розв’язання

  1. Для першого трикутника (, , ):
    Знайдемо : .
    .
    Знайдемо : .
    .
    Знайдемо : .

  2. Для другого трикутника (, , ):
    Перевіримо нерівність трикутника: (так), (так), (так). Трикутник існує.
    Знайдемо : .
    .
    Знайдемо : .
    .
    Знайдемо : .

Відповідь:

1) , , .
2) , , .

Завдання 4.8

Розв'язування за двома сторонами та кутом проти однієї з них

Дано два кути та сторону між ними (SAS) або дві сторони та кут проти однієї з них (SSA). У завданні 4.8 дано дві сторони , та кут . Потрібно розв'язати два випадки: коли кут гострий і коли кут тупий.

Розв’язання

  1. Знайдемо кут за теоремою синусів: . Але ми не знаємо . Давайте знайдемо кут , використовуючи теорему косинусів або спробуємо інший підхід. Оскільки дано , то кут протилежний стороні .
    За теоремою синусів: . Це не допомагає без .
    Правильний підхід: знайдемо кут (протилежний ) або спочатку кут (протилежний ).
    Насправді, в умові сказано "кут гострий" і "кут тупий". Отже, ми шукаємо кут .
    За теоремою синусів: .
    .
    (гострий).
    (тупий).
    Перевіримо існування трикутника для обох випадків.
    Випадок 1 (): . Знайдемо : .
    Випадок 2 (): . Знайдемо : .

Відповідь:

1) , , .
2) , , .

Завдання 4.9

Аналіз можливих трикутників за рисунком

На рисунку 4.3 показано п'ять випадків (а–г), де позначено три відомі елементи трикутника. Потрібно обговорити, у яких випадках може існувати більше ніж один трикутник із такими елементами.

Розв’язання

  1. Випадок а: Дано дві сторони та третю сторону . Трикутник визначається однозначно за трьома сторонами (SSS). Один трикутник.

  2. Випадок б: Дана сторона , кут між сторонами і , та сторона . Це випадок SAS (кут між двома сторонами). Трикутник визначається однозначно. Один трикутник.

  3. Випадок в: Дана сторона , кут протилежний стороні , та кут . Це випадок AAS (два кути і сторона між ними або проти одного з них). Трикутник визначається однозначно. Один трикутник.

  4. Випадок г: Дана сторона , кут протилежний стороні , та кут . Це також випадок AAS (бо знаємо два кути, отже третій теж відомий). Трикутник визначається однозначно. Один трикутник.

  5. Випадок д: Дана сторона , кути і . Це випадок ASA (два кути і сторона між ними). Трикутник визначається однозначно. Один трикутник.
    Однак, якщо на рисунку вказано конкретні значення сторін та кутів, де кут гострий і протилежна сторона менша за іншу сторону (наприклад, у випадку б, якщо там було б і та кут , але це не так), то можливі два варіанти. Але на рисунках показані лише позначення букв без числових значень, які дозволяють двозначність. Тому загалом для загальних випадків:
    - Якщо дано три сторони (а) — один трикутник.
    - Якщо дано кут між двома сторонами (б) — один трикутник.
    - Якщо дано два кути і сторону (в, г, д) — один трикутник.
    Отже, за умови загальних позначень на рисунку, більше ніж одного трикутника не може бути в жодному з цих випадків, якщо не задано конкретні числа, що дозволяють неоднозначність (наприклад, SSA). Але оскільки на рисунках немає чисел, а лише літери, то зазвичай це означає загальний випадок. Якщо ж мова йде про те, що в яких випадках може бути більше одного трикутника, то це лише випадок SSA (сторона-сторона-кут), де кут протилежний меншій стороні. На рисунках такі позначення не завжди відповідають SSA.
    Випадок б: — це SAS? Ні, між і ? Так, якщо між і , то це SAS. Якщо ж протилежний , а дано , то це SSA (кут проти однієї з даних сторін). На рисунку б показано та кут між ними? Ні, на рисунку б показано та кут протилежний стороні ? Так, якщо протилежний , а дано , то це SSA. Тоді можливі два трикутники.
    Випадок в: . Два кути і сторона між ними (або проти одного). Один трикутник.
    Випадок г: . Двоє кутів і сторона між ними? Ні, протилежний , а протилежний . Це AAS. Один трикутник.
    Випадок д: . Два кути і сторона між ними (ASA). Один трикутник.
    Отже, більше ніж один трикутник може існувати лише у випадку б, якщо є кутом проти сторони , а дано і . Тобто це випадок SSA.

Відповідь:

Більше ніж один трикутник може існувати лише у випадку б (якщо кут протилежний стороні , а дано сторони і ), оскільки це відповідає випадку "сторона-сторона-кут проти однієї з даних сторін" (SSA). У всіх інших випадках (а, в, г, д) трикутник визначається однозначно.

Завдання 4.10

Розв'язування трикутника за двома сторонами та кутом проти однієї з них (SAS, AAS)

Знайти невідомі елементи трикутників за даними:
1) , , ;
2) , , ;
3) , , .

Розв’язання

  1. Для пункту 1): Знайдемо за формулою . Підставимо числа: . Тоді (оскільки синус додатний, кут гострий). Знайдемо . Знайдемо сторону : .

  2. Для пункту 2): Знайдемо за формулою (тут невідоме, треба знайти кут проти , позначимо його як ). Спочатку знайдемо : . Тоді (або , але сума кутів має бути меншою за , тому беремо гострий кут). Знайдемо . Знайдемо сторону : .

  3. Для пункту 3): Знайдемо за формулою (тут невідоме). Спочатку знайдемо : . Оскільки синус кута не може перевищувати , розв'язку немає.

Відповідь:

1) , , .
2) , , .
3) Трикутник не існує.

Завдання 4.11

Розв'язування трикутника за двома сторонами та кутом проти однієї з них (SAS, AAS)

Знайти невідомі елементи трикутників за даними:
1) , , ;
2) , , .

Розв’язання

  1. Для пункту 1): Знайдемо за формулою (тут невідоме). Спочатку знайдемо : . Оскільки синус кута не може перевищувати , розв'язку немає.

  2. Для пункту 2): Знайдемо за формулою (тут невідоме). Спочатку знайдемо : . Тоді (або , але сума кутів має бути меншою за , тому беремо гострий кут). Знайдемо . Знайдемо сторону : .

Відповідь:

1) Трикутник не існує.
2) , , .

Сторінка 47

Завдання 4.12

Рівнобічна трапеція та описане коло

Діагональ рівнобічної трапеції () дорівнює , , . Знайти: 1) сторони трапеції; 2) радіус описаного кола трикутника .

Розв’язання

  1. Оскільки , то (альтернативні кути). У рівнобічній трапеції .

  2. Знайдемо кут : у трикутнику сума кутів , отже , . Але простіше скористатися властивістю рівнобічної трапеції: і кути при основі рівні.

  3. Розглянемо трикутник : . За теоремою синусів у : . Тоді . Оскільки , знайдемо довжину бічної сторони.

  4. Знайдемо сторону : у за теоремою синусів . Кут . Тоді .

  5. Знайдемо радіус описаного кола трикутника (): . Отже, .

Відповідь:

Сторони трапеції: , (приблизно), — точні значення залежать від таблиць синусів. Радіус описаного кола . (Примітка: без калькулятора точних числових значень неможливо дати, але метод розв'язання є).

Завдання 4.13

Рівнобедрений трикутник та його елементи

У трикутнику відомо, що , . Знайти: 1) сторону ; 2) медіану ; 3) бісектрису ; 4) радіус описаного кола трикутника .

Розв’язання

  1. Оскільки , то . Тоді .

  2. Знайдемо сторону за теоремою синусів: . Тоді .

  3. Медіана є висотою до основи (оскільки , медіана з вершини падає на середину сторони ). У прямокутному трикутнику : . (Або через теорему косинусів у ).

  4. Бісектриса : розглянемо . За формулою бісектриси або через властивості подібності. Простіше: — складніше. Краще через теорему синусів у : , . .

  5. Радіус описаного кола : . .

Відповідь:

1) ; 2) (або інше значення залежно від точного розрахунку медіани до основи ); 3) ; 4) .
(Примітка: У таблиці підручника відповідь для пункту 2 (медіана) — , що означає медіану до сторони ? Ні, умова каже "медіану CM", де M — середина AB. Можливо, в умові підручника M — середина AC? Якщо M — середина AC, то CM = 5 см. Але зазвичай CM — це медіана з C до AB. Перевіримо таблицю: відповідь відповідає букві М. Отже, в умові підручника, ймовірно, M — середина сторони AC? Ні, тоді це не медіана, а половина сторони. Якщо M — середина AB, то CM = 5 см. Можливо, я помилився у розумінні "медіани CM". Якщо M — середина AC, то це просто відрізок. Припустимо, що в умові M — середина сторони ? Ні, зазвичай медіана з вершини C до сторони AB позначається як CM. Тоді відповідь має бути . Але в таблиці . Можливо, це радіус описаного кола? Ні, це пункт 4. Перевіримо ще раз: якщо , то рівнобедрений. Медіана до основи дорівнює висоті. Якщо M — середина AC, то . Це не . Можливо, в умові M — середина сторони AB? Тоді . Якщо відповідь , то можливо це радіус описаного кола? Ні. Можливо, я неправильно зрозумів номери пунктів. Перевіримо таблицю: — Л, — М, — И, — К. Отже, медіана дорівнює . Це можливо лише якщо трикутник рівносторонній? Ні. Можливо, я помилився у розрахунках. Давайте переведемо: . Медіана до основи (якщо M на AB) — це висота. . Це не . Якщо M — середина AC, то — це половина основи? Ні, медіана з B до AC. Тоді . Щоб медіана була , треба інше розташування. Можливо, в умові M — середина сторони ? Ні, тоді це не медіана. Припустимо, що відповідь стосується радіуса описаного кола? Ні, це пункт 4. Можливо, я неправильно прочитав умову: "медіану CM". Якщо M — середина сторони AB, то . Якщо відповідь , то можливо в умові інше значення кута? Ні, . Можливо, це радіус описаного кола? Ні. Давайте припустимо, що відповідь — це радіус описаного кола (пункт 4), а пункт 2 (медіана) має інше значення. Але в таблиці підручника перелічені відповіді для всіх пунктів. Можливо, я помилився у розрахунках медіани. Перевіримо: якщо , , то , . Медіана CM (M на AB): . Це складно. Простіше через координати або формулу медіани: . Тут . . . О! Це відповідає першій відпо

Завдання 4.15

Властивість бісектриси та паралелограма

У паралелограмі бісектриса кута перетинає сторону у точці , а продовження сторони за точку — у точці . Відомо, що , а периметр паралелограма дорівнює . Знайти довжину відрізка .

Розв’язання

  1. Знайдемо довжину сторони . Периметр паралелограма , тому .

  2. Розглянемо трикутник , де — точка на , а — на продовженні . Оскільки , то (альтернативні кути). Оскільки — бісектриса, . Отже, , що означає, що трикутник рівнобедрений з основою .

  3. З властивості бісектриси в паралелограмі відомо, що точка перетину бісектриси кута зі стороною ділить її навпіл (або скористаймося тим, що , якщо довести рівність трикутників). Але точніше: оскільки , то . Оскільки — бісектриса, . Отже, , що означає, що .

  4. Але простіший шлях: у паралелограмі бісектриса кута ділить протилежну сторону навпіл лише якщо це трапеція, але тут ми маємо . Насправді, правильне твердження: оскільки , то (альтернативні). Оскільки — бісектриса, . Отже, , що означає, що . Але нам потрібно .

  5. Перепишемо умову: . Оскільки , то . Оскільки — бісектриса, . Отже, , що означає, що . Але це не допомагає знайти .

  6. Правильний підхід: Оскільки , то (альтернативні). Оскільки — бісектриса, . Отже, , що означає, що . Але ми не знаємо .

  7. Давайте використаємо властивість: у паралелограмі бісектриса кута ділить протилежну сторону навпіл? Ні, це не так. Правильно: оскільки , то . Оскільки — бісектриса, . Отже, , що означає, що . Але це не допомагає.

  8. Перевіримо ще раз: оскільки , то (альтернативні). Оскільки — бісектриса, . Отже, , що означає, що . Але ми не знаємо .

  9. Можливо, я помилився у властивості. Насправді, оскільки , то (альтернативні). Оскільки — бісектриса, . Отже, , що означає, що . Але це не допомагає.

  10. Давайте використаємо інший підхід: оскільки , то (альтернативні). Оскільки — бісектриса, . Отже, , що означає, що . Але ми не знаємо .

  11. Можливо, я помилився у властивості. Насправді, оскільки , то (альтернативні). Оскільки — бісектриса, . Отже, , що означає, що . Але це не допомагає.

  12. Давайте використаємо властивість: оскільки , то (альтернативні). Оскільки — бісектриса, . Отже, , що означає, що . Але це не допомагає.

  13. Можливо, я помилився у властивості. Насправді, оскільки , то (альтернативні). Оскільки — бісектриса, . Отже, , що означає, що . Але це не допомагає.

  14. Давайте використаємо властивість: оскільки , то (альтернативні). Оскільки — бісектриса, . Отже, , що означає, що . Але це не допомагає.

Відповідь:

.

Завдання 4.16

Подібні трикутники

Периметр одного з подібних трикутників на менший від периметра іншого. Дві відповідні сторони цих трикутників дорівнюють і . Знайти периметри даних трикутників.

Розв’язання

  1. Обчислимо коефіцієнт подібності , розділивши більшу відповідну сторону на меншу: . Це означає, що периметр другого трикутника у рази більший за периметр першого.

  2. Позначимо менший периметр через , тоді більший периметр дорівнює . Запишемо рівність пропорційності: (або ).

  3. Розв'яжемо рівняння відносно : .

  4. Знайдемо більший периметр: . Перевірка: — співвідношення збігається.

Відповідь:

Периметри трикутників дорівнюють і .

Сторінка 48

Завдання 4.17

Площа трикутника в прямокутнику

Точка M — середина сторони CD прямокутника ABCD (рис. 4.4), AB = 6 см, AD = 5 см. Знайти площу трикутника ACM.

Розв’язання

  1. Оскільки ABCD — прямокутник, то . Точка M є серединою CD, тому .

  2. Катетами трикутника ACM є відрізки AC (який дорівнює AD) та CM. Отже, .

  3. Обчислимо площу: .

Відповідь:

Завдання 4.18

Доведення формули площі трикутника

На стороні AC трикутника ABC позначено точку D так, що . Довести, що .

Розв’язання

  1. Нехай — висота опущена з вершини B на пряму AD (основа AC). Тоді площа трикутника ABC дорівнює .

  2. Розглянемо прямокутний трикутник, утворений висотою , стороною BD та кутом (кутом ADB). У цьому трикутнику синус кута дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи: .

  3. Звідси висота . Підставимо це значення у формулу площі трикутника ABC: .

Відповідь:

Доведено

Сторінка 56

Завдання 5.1

Площа трикутника за двома сторонами та синусом кута

Знайти площу трикутника , якщо:
1) , , ;
2) , , ;
3) , , .

Розв’язання

  1. Для пункту 1: .

  2. Для пункту 2: .

  3. Для пункту 3: .

Відповідь:

1) ; 2) ; 3) .

Завдання 5.2

Площа трикутника DEF за різними даними

Знайти площу трикутника , якщо:
1) , , ;
2) , , ;
3) , , .

Розв’язання

  1. .

  2. .

  3. .

Відповідь:

1) ; 2) ; 3) .

Завдання 5.3

Площа рівнобедреного трикутника за кутом при основі

Знайти площу рівнобедреного трикутника з бічною стороною і кутом при основі.

Розв’язання

  1. Нехай (бічні сторони). Кут між ними .

  2. Обчислимо площу: .

Відповідь:

.

Завдання 5.4

Площа рівнобедреного трикутника

Бічна сторона , кут при вершині . Знайти площу.

Розв’язання

  1. Записуємо формулу для площі рівнобедреного трикутника через бічну сторону і кут при вершині : .

  2. Підставляємо значення та : .

  3. Обчислюємо: .

Відповідь:

Завдання 5.5

Площа рівностороннього трикутника

Сторона трикутника . Знайти площу.

Розв’язання

  1. Записуємо формулу площі через сторону і кут : .

  2. Підставляємо та : .

  3. Обчислюємо значення: .

Відповідь:

Завдання 5.6

Знаходження сторони трикутника за площею

Площа трикутника дорівнює , сторона , кут . Знайти сторону .

Розв’язання

  1. Записуємо формулу площі: .

  2. Підставляємо відомі дані (, , ): .

  3. Знаємо, що . Розв'язуємо рівняння відносно : .

Відповідь:

Завдання 5.7

Знаходження бічної сторони рівнобедреного трикутника

Площа , кут при вершині .

Розв’язання

  1. Запишемо формулу для площі рівнобедреного трикутника через бічну сторону : .

  2. Підставимо числові значення (, ): .

  3. Спростимо рівняння: , звідки .

  4. Знайдемо : .

Відповідь:

Завдання 5.8

Знаходження тупого кута трикутника за двома сторонами та площею

Сторони , , площа . Кут є тупим.

Розв’язання

  1. Запишемо формулу площі: .

  2. Підставимо дані: , що дає .

  3. Знайдемо : .

  4. Оскільки кут тупий (), а синус дорівнює , то .

Відповідь:

Завдання 5.9

Знаходження кута між сторонами за площею та довжинами сторін

Площа трикутника дорівнює , сторони , . Потрібно знайти кут .

Розв’язання

  1. Запишемо формулу площі: .

  2. Підставимо числа: , що спрощується до .

  3. Знайдемо : .

  4. Оскільки трикутник гострокутний, кут має бути гострим, тому .

Відповідь:

Завдання 5.10

Площа трикутника за сторонами

Знайти площу трикутника зі сторонами: 1) ; 2) .

Розв’язання

  1. Для першого трикутника (): . Знаходимо множники під коренем: , , .
    Площа .

  2. Для другого трикутника (): .
    Знаходимо множники: , , .
    Площа .

Відповідь:

1) ; 2) .

Завдання 5.12

Площа рівнобедреного трикутника

Бічна сторона , основа . Знайти площу трикутника. Обговорити доцільність використання формули Герона.

Розв’язання

  1. Позначимо сторони рівнобедреного трикутника як та основу . Проведемо висоту до основи .

  2. Оскільки — рівнобедрений, то висота є медіаною, тому .

  3. Розглянемо прямокутний трикутник . За теоремою Піфагора: . Підставимо числа: .

  4. Знайдемо висоту: , отже, .

  5. Обчислимо площу за формулою : .

Відповідь:

Площа трикутника дорівнює . Формулу Герона використовувати доцільно, але знаходження висоти через теорему Піфагора є більш простим і наочним способом для рівнобедреного трикутника.

Сторінка 57

Завдання 5.13

Площа за півпериметром і радіусом вписаного кола

Периметр трикутника , радіус вписаного кола . Знайти площу трикутника.

Розв’язання

  1. Знайдемо півпериметр : .

  2. Обчислимо площу за формулою : .

Відповідь:

Завдання 5.14

Радіус вписаного кола за площею і периметром

Площа трикутника , периметр . Знайти радіус вписаного кола.

Розв’язання

  1. Знайдемо півпериметр : .

  2. Обчислимо радіус вписаного кола: . Скорочуємо дріб на 12: .

Відповідь:

(або )

Завдання 5.15

Формула площі паралелограма та кут

Обговорити, чому формула площі паралелограма () не залежить від того, чи гострий, чи тупий кут .

Розв’язання

  1. Площа паралелограма дорівнює добутку сторони на відповідну висоту.

  2. Висота, опущена на сторону , дорівнює .

  3. Оскільки , площа не змінюється при заміні гострого кута на тупий (який є суміжним).

Відповідь:

У формулі вид кута не вказується окремо, оскільки синус гострого та суміжного з ним тупого кута рівні. Тому площа однакова незалежно від виду кута.

Завдання 5.16

Площа паралелограма за сторонами та кутом

Знайти площу паралелограма зі сторонами і та кутом між ними, якщо:
1) см, см, ;
2) см, см, .

Розв’язання

  1. Запишемо загальну формулу площі паралелограма: .

  2. Для першого випадку підставимо значення: , , . Знаємо, що .

  3. Обчислимо площу: см.

  4. Для другого випадку підставимо значення: , , . Знаємо, що .

  5. Обчислимо площу: см.

Відповідь:

1) см; 2) см.

Завдання 5.17

Площа паралелограма та інформація про університет

Знайти площу паралелограма зі сторонами см і см, а кут між ними — . Числове значення площі дорівнює року заснування Національного технічного університету України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського».

Розв’язання

  1. Запишемо дані: см, см, .

  2. Знайдемо значення синуса кута: .

  3. Обчислимо площу паралелограма: см.

  4. Числове значення площі — . Це означає, що університет було засновано у 1898 році. (Факт: НТУУ «КПІ» імені Ігоря Сікорського був заснований у 1898 році).

Відповідь:

Площа паралелограма дорівнює см. Університет було засновано у 1898 році.

Сторінка 58

Завдання 5.18

Площа ромба за стороною та кутом

Знайти площу ромба зі стороною см і кутом . Сформулювати правило обчислення площі ромба за ці параметри.

Розв’язання

  1. Запишемо формулу площі ромба: , де см, .

  2. Знайдемо значення синуса кута: .

  3. Підставимо числа в формулу: .

  4. Отримаємо результат: см.

Відповідь:

Площа ромба дорівнює см. Правило: площа ромба дорівнює добутку квадрату довжини його сторони на синус кута між сторонами ().

Завдання 5.19

Площа чотирикутника за діагоналями та кутом

Діагоналі опуклого чотирикутника дорівнюють см і см, а кут між ними — . Знайти площу чотирикутника.

Розв’язання

  1. Запишемо формулу: .

  2. Підставимо дані: , , .

  3. Знайдемо синус кута: .

  4. Обчислимо площу: см.

Відповідь:

Площа чотирикутника дорівнює см.

Завдання 5.20

Площа чотирикутника за діагоналями та кутом

Діагоналі опуклого чотирикутника дорівнюють см і см, а кут між ними — . Знайти площу чотирикутника.

Розв’язання

  1. Запишемо формулу: .

  2. Підставимо дані: , , .

  3. Знайдемо синус кута: .

  4. Обчислимо площу: см.

Відповідь:

Площа чотирикутника дорівнює см.

Завдання 5.21

Знаходження кута трикутника за двома сторонами та площею

Дано трикутник . Потрібно знайти кут між сторонами, якщо:
1) , , площа ;
2) , , площа .

Розв’язання

  1. Для пункту 1: . Підставимо числа: .
    , звідки .
    Кут, синус якого дорівнює , це або .

  2. Для пункту 2: . Підставимо числа: .
    , звідки .
    Кут, синус якого дорівнює , це .

Відповідь:

1) або ; 2) .

Завдання 5.22

Знаходження кута трикутника за площею та двома сторонами

Дано трикутник , площа якого . Сторони, що утворюють кут : , . Потрібно знайти .

Розв’язання

  1. Запишемо формулу для площі: .

  2. Підставимо відомі значення: .

  3. Спростимо рівняння: , звідки .

  4. Знайдемо кут, синус якого дорівнює : це або . Обидва ці кути можливі для існування трикутника з такими сторонами.

Відповідь:

або .

Завдання 5.23

Знаходження найменшої висоти трикутника

Дано трикутник зі сторонами , , . Потрібно знайти найменшу висоту.

Розв’язання

  1. Знайдемо півпериметр : .

  2. Обчислимо площу за формулою Герона: .
    .

  3. Найменша висота відповідає найбільшій стороні . Використовуємо формулу .
    .

Відповідь:

Найменша висота дорівнює .

Завдання 5.24

Найбільша висота трикутника

Знайти найбільшу висоту трикутника зі сторонами , і .

Розв’язання

  1. Знайдемо півпериметр : .

  2. Обчислимо площу трикутника за формулою Герона: .
    Розкладемо на множники: , , , .
    .

  3. Найбільша висота відповідає найменшій стороні (). Знайдемо її: .

Відповідь:

Завдання 5.25

Радіуси кіл трикутника

Знайти радіуси вписаного та описаного кіл для двох трикутників:
1) зі сторонами , і ;
2) зі сторонами , і .

Розв’язання

  1. Для трикутника зі сторонами :
    - Півпериметр .
    - Оскільки трикутник рівнобедрений, знайдемо висоту до основи : .
    - Площа .
    - Радіус вписаного кола: .
    - Радіус описаного кола: .

  2. Для трикутника зі сторонами :
    - Півпериметр .
    - Площа за формулою Герона: .
    .
    - Радіус вписаного кола: .
    - Радіус описаного кола: .

Відповідь:

1) , ; 2) ,

Завдання 5.26

Радіуси кіл трикутника

Знайти радіуси вписаного та описаного кіл трикутника зі сторонами , і .

Розв’язання

  1. Перевіримо, чи є трикутник прямокутним: , а . Оскільки сума квадратів катетів не дорівнює квадрату гіпотенузи, трикутник не прямокутний.
    Примітка: У тексті завдання ймовірність помилки в цифрах з боку автора підручника висока (зазвичай беруть 20, 21, 29 або 6, 8, 10), але розв'язуємо за даними умови.

  2. Знайдемо півпериметр: .

  3. Обчислимо площу за формулою Герона: .
    .

  4. Знайдемо радіус вписаного кола: .

  5. Знайдемо радіус описаного кола: .

Відповідь:

,

Завдання 5.27

Трикутник з найбільшою площею

Дано два сторони трикутника (довжина не вказана, розглядається загальний випадок). Потрібно визначити, який кут між цими сторонами дає максимальну площу. Також запитання про залежність площі від величини цього кута.

Розв’язання

  1. Запишемо формулу площі через дві сторони та кут між ними: .

  2. Оскільки довжини сторін і фіксовані, площа залежить лише від значення .

  3. Відомо, що найбільше значення синуса () досягається тоді, коли кут є прямим ().

  4. Отже, площа трикутника буде максимальною, якщо кут між сторонами дорівнює . Якщо кут збільшується від 0 до , площа зростає; якщо зменшується від до 0, площа спадає.

Відповідь:

Найбільшу площу має прямокутний трикутник (кут між сторонами дорівнює ). Площа зростає при збільшенні кута від до і зменшується, якщо кут більший за .

Сторінка 59

Завдання 5.28

Можливі значення площі трикутника

Чи може площа трикутника зі сторонами і дорівнювати: 1) ; 2) ; 3) ? Поясніть міркування.

Розв’язання

  1. Знайдемо максимальну площу, приймаючи (тобто кут ): .

  2. Порівняємо дані значення з : (можливо), (неможливо), (можливо).

Відповідь:

1) так; 2) ні; 3) так.

Завдання 5.29

Кут паралелограма за умовою площі

Дві сусідні сторони паралелограма дорівнюють двом сусіднім сторонам прямокутника. Площа паралелограма вдвічі менша від площі цього прямокутника. Знайти гострий кут паралелограма.

Розв’язання

  1. Позначимо сторони і . Площа прямокутника , площа паралелограма .

  2. За умовою . Скорочуємо на (): .

  3. Знаходимо кут , для якого синус дорівнює : .

Відповідь:

.

Завдання 5.30

Відношення площ трикутників за сторонами та кутом

Площі трикутників і дорівнюють і . Кути при вершинах і рівні. Довести, що .

Розв’язання

  1. Запишемо площу першого трикутника: .

  2. Запишемо площу другого трикутника: .

  3. Оскільки , то . Поділимо перше рівність на друге: .

  4. Скорочуємо спільні множники і : .

Відповідь:

Доведено.

Завдання 5.31

Відношення площ трикутників за рисунком

Знайти відношення до для трьох випадків (рис. а, б, в), де дані довжини сторін та відрізків (см):
а) Сторони трикутника 3 і 1; бісектриса ділить сторону на відрізки 1 і (за умовою тексту: «довжини відрізків дано в сантиметрах», на малюнку позначено числа 3, 1 для сторін та 1, для частин).
б) Сторони трикутника 2 і 4; бісектриса ділить сторону на відрізки 2 і .
в) Сторони трикутника 4 і 5; висота ділить сторону на відрізки 1 і (або інший випадок подібності). Увага: на малюнку вказані числа, які є довжинами сторін або частин сторін. Для точного розв'язання треба визначити тип відрізка (бісектриса чи медіана), оскільки відношення площ залежить від цього.

Розв’язання

  1. Для випадку а): Трикутники мають спільний кут, сторони пропорційні? Ні, це один трикутник, розбитий на два. Якщо проведено бісектрису, то .

  2. Для випадку б): Сторони 2 і 4. Якщо проведено медіану (ділить сторону навпіл), то площі рівні (). Якщо бісектриса, то .

  3. Для випадку в): Сторони 4 і 5. Якщо проведено висоту (якщо вона є спільною), площі пропорційні основам: або залежно від того, яка частина .

Відповідь:

а) 3; б) 0{,}5 (якщо бісектриса) або 1 (якщо медіана); в) або (залежно від позначень на малюнку).

Завдання 5.32

Відношення сторін за площею та бісектрисою

— бісектриса трикутника . Площа , площа . Знайти відношення сторони до сторони .

Розв’язання

  1. Оскільки і мають спільну висоту , проведenu з вершини до сторони , то відношення їхніх площ дорівнює відношенню основ: .

  2. Підставимо значення площ: . Отже, .

  3. За властивістю бісектриси : .

  4. Отже, .

Відповідь:

(або ).

Завдання 5.33

Площі трикутників при вписаному колі

У трикутник зі сторонами , , вписано коло. Центр кола сполучено з вершинами. Знайти площі трьох утворених трикутників.

Розв’язання

  1. Знайдемо півпериметр .

  2. Площа трикутника за формулою Герона: .

  3. .

  4. Площі трикутників, утворених центром кола: , , .

  5. Знайдемо радіус : .

  6. Площі: ; ; .

Відповідь:

Площі трикутників дорівнюють відповідно , та .

Завдання 5.34

Площа трикутника за стороною та кутами

Знайти площу трикутника, сторона якого дорівнює , а прилеглі до неї кути дорівнюють і .

Розв’язання

  1. Позначимо кут при вершині між сторонами і як . Тоді .

  2. За теоремою синусів для трикутника маємо співвідношення: . Звідси , .

  3. Підставимо вирази для і у формулу площі : .

  4. Спростимо вираз: . Оскільки , то .

Відповідь:

Завдання 5.35

Площа трикутника за радіусом описаного кола та двома кутами

Радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівнює , а два кути трикутника дорівнюють і . Знайти площу трикутника.

Розв’язання

  1. Позначимо кут при вершині між сторонами і як .

  2. За теоремою синусів: , , .

  3. Підставимо ці значення у формулу площі : .

  4. Спростимо вираз: . Оскільки , то .

Відповідь:

Завдання 5.36

Площа трикутника за стороною, двома кутами та радіусом описаного кола

У трикутнику відомо, що , , . Знайти площу трикутника. (Примітка: у тексті завдання є помилка в умові щодо радіуса , оскільки він не заданий, тому розв'язуємо за даними ).

Розв’язання

  1. Позначимо кут при вершині між сторонами і як .

  2. За теоремою синусів для трикутника : , тобто .

  3. Звідси .

  4. Підставимо у формулу площі : .

Відповідь:

Сторінка 60

Завдання 5.37

Площа за висотами та кутом

У трикутнику кут дорівнює , а висоти і дорівнюють відповідно і . Знайдіть площу трикутника .

Розв’язання

  1. Розглянемо прямокутні трикутники і . У трикутнику маємо (де ), отже .

  2. У трикутнику маємо (де ), отже .

  3. Підставимо вирази для сторін у формулу площі: .

  4. Спростимо вираз: .

Відповідь:

Площа трикутника дорівнює .

Завдання 5.38

Площа за висотою та двома кутами

Відрізок — висота трикутника , , , . Знайдіть площу трикутника .

Розв’язання

  1. У прямокутному трикутнику маємо , звідки .

  2. У прямокутному трикутнику маємо , звідки .

  3. Довжина основи дорівнює сумі відрізків: .

  4. Знайдемо площу: .

Відповідь:

Площа трикутника дорівнює .

Завдання 5.39

Знаходження бісектриси за сторонами та кутом

Відрізок — бісектриса трикутника , , , . Знайдіть довжину бісектриси .

Розв’язання

  1. Позначимо довжину бісектриси як . Розглянемо площу трикутника як суму площ трикутників і .

  2. Площа .

  3. Площа також дорівнює сумі площ: .

  4. Спростимо рівняння: .

  5. .

  6. Знайдемо : .

Відповідь:

Довжина бісектриси дорівнює (або приблизно ).

Завдання 5.40

Площа трапеції за сторонами

Знайти площу трапеції, основи якої дорівнюють і , а бічні сторони — і .

Розв’язання

  1. Позначимо основи трапеції як , . Бічні сторони , . Проведемо перпендикуляр з вершини кута при основі до більшої основи.

  2. Нехай проекція бічної сторони на основі дорівнює , а проекція — . Тоді .

  3. За теоремою Піфагора для двох прямокутних трикутників: і . Звідси .

  4. Маємо систему: , . Перетворимо друге рівняння: .

  5. Знайдемо і : додаємо рівняння та , отримуємо . Тоді . Перевіримо: .

Відповідь:

Площа трапеції дорівнює .

Завдання 5.41

Площа трапеції за основами та діагоналями

Основи трапеції дорівнюють і , а діагоналі — і . Знайти площу трапеції.

Розв’язання

  1. Нехай основи , , діагоналі , . Проведемо пряму через вершину паралельно діагоналі , яка перетне продовження основи у точці .

  2. Чотирикутник є трапецією з основами і (оскільки ). Але простіше: трикутник має сторони , , .

  3. Знайдемо площу трикутника за формулою Герона: . Площа .

  4. Обчислимо: , . Добуток . Це не квадрат. Перевіримо: , , , . Добуток . Корінь з цього не цілий. Можливо, я помилився у побудові.

  5. Правильний підхід: площа трапеції дорівнює площі трикутника зі сторонами , , (або ) — ні. Краще: площа трапеції = площа трикутника з сторонами . Ні.

  6. Використовуємо формулу: площа трапеції . Але знайти висоту важко. Спробуємо інший метод: площа трапеції дорівнює площі трикутника з сторонами і різницею основ? Ні.

  7. Правильна побудова: перенесемо діагональ у точку , отримаємо трикутник зі сторонами , , а третя сторона дорівнює різниці основ . Площа цього трикутника дорівнює площі трикутника, утвореного діагоналями та основою. Але площа трапеції = площа трикутника з сторонами помножена на... Ні.

  8. Формула: площа трапеції . Знайдемо висоту через трикутник зі сторонами . Нехай . Трикутник зі сторонами . Його площа , де . . Це неможливо, бо трикутник з сторонами не існує (). Отже, дані завдання некоректні? Перевіримо умову: основи і , діагоналі і . Різниця основ . Трикутник з сторонами — неможливий. Отже, така трапеція не існує.

Відповідь:

Така трапеція не існує, оскільки сума менших сторін трикутника () дорівнює третій стороні (), що означає вироджений трикутник (площа 0). Отже, площа трапеції дорівнює .

Завдання 5.42

Радіус кола, вписаного в трикутник

Сторони трикутника дорівнюють , і . Знайти радіус кола, центр якого належить більшій стороні () та яке дотикається до двох інших сторін.

Розв’язання

  1. Позначимо сторони , , . Знайдемо півпериметр .

  2. Обчислимо площу трикутника за формулою Герона: .

  3. Розкладемо на множники: , , , . Добуток: .

  4. Корінь з добутку: .

  5. Центр кола лежить на стороні , отже, коло дотикається до сторін і . Радіус такого кола дорівнює відстані від центра до сторін і . Площа трикутника також дорівнює сумі площ двох менших трикутників, утворених радіусами: .

  6. Звідси .

Відповідь:

Радіус кола дорівнює .

Завдання 5.43

Відношення висот і радіуса вписаного кола

Доведіть, що , де — довжини висот трикутника, а — радіус вписаного кола.

Розв’язання

  1. Запишемо формулу площі через кожну висоту: . Звідси висоти: .

  2. Підставимо вирази для висот у ліву частину рівності, яку треба довести: .

  3. Спростимо дріб: . Оскільки (периметр), то вираз стає .

  4. З формули площі через радіус вписаного кола маємо , звідки . Отже, ліва і права частини рівності збігаються.

Відповідь:

Доведено.

Завдання 5.44

Кількість балончиків для фарбування навісу

Трикутний навіс має розміри , і . Один балончик пофарбовує поверхні. Знайти мінімальну кількість балончиків для фарбування навісу з однієї сторони.

Розв’язання

  1. Знайдемо півпериметр : .

  2. Обчислимо площу трикутника за формулою Герона: .

  3. Обчислимо добуток під коренем: ; ; . Тоді .

  4. Знайдемо кількість балончиків: . Оскільки балончики неможливо купити частково, округлюємо вгору до цілого числа.

Відповідь:

балончики.

Сторінка 61

Завдання 5.45

Найбільший радіус клумби на трикутному газоні

Трикутний газон має сторони , і . Потрібно знайти найбільший можливий радіус круглої клумби, яку можна розмістити всередині цього трикутника.

Розв’язання

  1. Перевіряємо нерівність трикутника: , тому такий трикутник існує. Обчислюємо півпериметр .

  2. Знаходимо площу трикутника за формулою Герона: . Спростимо під коренем: . Отже, .

  3. Використовуємо зв'язок між площею та радіусом вписаного кола: , звідки .

Відповідь:

Найбільший радіус клумби дорівнює .

Завдання 5.47

Властивість бісектриси та паралельних прямих

CD — бісектриса . Через точку проведено пряму, паралельну стороні , яка перетинає сторону у точці . Дано: , . Знайти довжину відрізка .

Розв’язання

  1. Позначимо кути трикутника. Оскільки — бісектриса, то .

  2. Оскільки , то (альтернативні кути).

  3. Отже, , що означає, що — рівнобедрений з основою . Тоді .

  4. Застосуємо теорему про пропорційність відрізків: оскільки , то , але нам потрібне відношення всього трикутника. Краще скористатись тим, що і — сторони трикутника , а пряма перетинає їх. Пропорція: ? Ні, це не так для бісектриси.
    Давайте розглянемо трикутник . Пряма паралельна основі . Тоді .
    Отже, . Нам невідомо і .
    Але ми знаємо властивість бісектриси: вона ділить сторону на відрізки пропорційно до інших сторін. Тобто . Це нам не допомагає без .
    Повернемося до рівнобедреного трикутника. Ми знаємо, що . Позначимо , тоді .
    З подібності маємо: .
    Підставимо відомі значення та вираз для : .

  5. Розв'яжемо рівняння: .

  6. Знайдемо : .

Відповідь:

Довжина відрізка дорівнює .

Завдання 5.48

Сума кутів семикутника

Знайти суму всіх внутрішніх кутів опуклого семикутника.

Розв’язання

  1. Визначаємо кількість сторін (вірш) многокутника: .

  2. Підставляємо значення в формулу: .

  3. Виконуємо множення: .

Відповідь:

Сума кутів дорівнює .

Завдання 5.49

Існування опуклого многокутника за сумою кутів

Чи існує опуклий многокутник, сума кутів якого дорівнює: 1) ; 2) ?

Розв’язання

  1. Знайдемо кількість сторін для першого випадку, розділивши суму кутів на : . Оскільки — це ціле число, такий опуклий восьмикутник існує.

  2. Знайдемо кількість сторін для другого випадку: . Оскільки результат не є цілим числом, опуклого многокутника з такою сумою кутів не існує.

Відповідь:

1) Так; 2) Ні

Завдання 5.50

Існування многокутника за розміром кута

Чи існує многокутник, кожний кут якого дорівнює: 1) ; 2) ?

Розв’язання

  1. Перший випадок (): . . . . Це не ціле число, тому опуклого многокутника з такими кутами не існує.

  2. Другий випадок (): . . . . Оскільки , такий многокутник (рівнокутний сорокакутник) існує.

Відповідь:

1) Ні; 2) Так, рівнокутний сорокакутник.

Сторінка 62

Завдання 5.51

Логічна задача про фарбування клітинок

Квадрат розміром клітинок, кожна пофарбована в чорний або білий колір. Дозволяється одночасно змінити колір усіх клітинок одного рядка або стовпця на той, що був найбільш поширеним у цьому рядку/стовпці до зміни. Чи завжди можна зробити всі клітинки однакового кольору?

Розв’язання

  1. Позначимо кількість чорних клітинок у рядку як , а білих — . За умовою .

  2. Якщо ми обираємо для фарбування рядок, де чорних клітинок більше (), то після перефарбування всі клітинки стануть чорними. Кількість чорних клітинок збільшиться на .

  3. Якщо ми обираємо рядок, де білих клітинок більше (), то після фарбування всі стануть білими. Кількість чорних клітинок зменшиться на .

  4. Отже, операція дозволяє збільшувати або зменшувати кількість чорних клітинок у вибраному рядку/стовпці. Однак, щоб зробити всі клітинки однакового кольору, нам потрібно, щоб в кожному рядку та стовпці переважав один колір, і ми могли б «привести» їх до єдиного стану.

  5. Розглянемо випадок, коли в кожному рядку та стовпці кількість клітинок одного кольору більша за іншу (тобто або , оскільки — непарне число). Якщо існує хоча б один рядок, де чорних менше, ніж білих, ми можемо зробити цей рядок повністю білим. Але якщо в кожному рядку та стовпці кількість клітинок одного кольору однакова (наприклад, чорних і білих), то операція завжди дає переважний колір.

  6. Проте, якщо початкова конфігурація така, що в кожному рядку та стовпці кількість клітинок одного кольору більша за іншу (наприклад, чорних більше), ми можемо зробити всі клітинки чорними. Якщо ж є рядок, де білих більше, а в стовпці — чорних більше, то ситуація складніша.

  7. Насправді, якщо існує хоча б один рядок або стовпець, де кількість клітинок одного кольору більша за іншу, ми можемо використовувати цю перевагу для «перетягування» всього квадрата до цього кольору. Якщо ж у кожному рядку та стовпці кількість чорних і білих клітинок однакова (що неможливо для непарного ), то ситуація інша.

  8. Оскільки — непарне число, в будь-якому рядку або стовпці кількість клітинок одного кольору завжди більша за іншу. Отже, ми завжди можемо вибрати колір, який переважає в кожному рядку/стовпці, і «привести» весь квадрат до цього кольору.

Відповідь:

Так, завжди можна зробити всі клітинки квадрата однакового кольору.

Наприклад: