Завдання 21.4, § 5. Геометричні перетворення

Розв’язання крок за кроком

1. Нехай невідомі сторони дорівнюють $3x$ і $8x$. Тоді третя сторона (відома) дорівнює сумі цих двох, якщо трикутник рівнобедрений? Ні, умова каже "Одна зі сторін... 21 см". Отже, або $3x=21$, або $8x=21$, або $a=21$ є третьою стороною. Перечитаємо: "Одна зі сторін ... дорівнює 21 см, а дві інші ... відносяться як 3:8". Це означає, що сторона 21 — це одна з двох, або третя? Зазвичай у таких задачах 21 — це сторона між кутами 60°? Ні, "кут між ними дорівнює 60°". Отже, сторони $b$ і $c$ утворюють кут 60°, а сторона $a=21$ протилежна цьому куту.
   Тоді $b+c$ не обов'язково дорівнює 21. Але в умові сказано "Одна зі сторін ... дорівнює 21". Це може бути сторона $a$ (протилежна куту) або одна з $b,c$.
   Варіант А: Сторона між кутами (або одна з них) = 21. Але зазвичай "одна зі сторін" означає третю сторону в трикутнику, якщо не вказано інше. Припустимо, сторона $a=21$ протилежна куту $60^{\circ }$. Тоді $b=3x$, $c=8x$.
   Рівняння: $(3x{)}^2+(8x{)}^2-2(3x)(8x)\cos 60^{\circ }=21^2$.
   $9x^2+64x^2-48x^2\cdot 0,5=441$.
   $73x^2-24x^2=441\Rightarrow 49x^2=441\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=3$.
   Сторони: $3\cdot 3=9$ см, $8\cdot 3=24$ см. Перевірка: $9+24-2\cdot 9\cdot 24\cdot 0,5=33-216\ne 441$. Ой, помилка в логіці.
   Правильна інтерпретація: Сторона між кутами? Ні, "кут між ними". Отже, сторони $b$ і $c$ утворюють кут $\alpha =60^{\circ }$. Тоді сторона $a$ (протилежна) дорівнює 21 см.
   Перерахуємо: $b=3x,c=8x$. $a^2=b^2+c^2-2bc\cos 60^{\circ }$.
   $441=9x^2+64x^2-24x^2=49x^2$.
   $x^2=9\Rightarrow x=3$.
   Сторони: $9$ см і $24$ см.