Завдання 21.2, § 5. Геометричні перетворення — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 21.2

Знаходження косинуса кута між діагоналями паралелограма

У паралелограмі $A B C D$ відомо, що $A B = 2$ см, $A D = 4$ см, $∠ B A D = 6 0^{\circ}$ . Знайдіть $cos ϕ$ , де $ϕ$ — кут між діагоналями $A C$ і $B D$ .

Розв’язання

Обчислимо площу паралелограма за формулою $S = A B \cdot A D sin 6 0^{\circ} = 2 \cdot 4 \cdot \frac{3}{2} = 43$ .
Знайдемо довжини діагоналей: $B D^{2} = A B^{2} + A D^{2} - 2 A B \cdot A D cos 6 0^{\circ} = 4 + 16 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 20 - 8 = 12$ , отже $B D = 23$ .
$A C^{2} = A B^{2} + A D^{2} - 2 A B \cdot A D cos (18 0^{\circ} - 6 0^{\circ}) = 4 + 16 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot (- \frac{1}{2}) = 20 + 8 = 28$ , отже $A C = 27$ .
Площу паралелограма також можна записати як суму площ чотирьох трикутників, утворених діагоналями, або через формулу $S = \frac{1}{2} A C \cdot B D sin ϕ$ . Маємо $43 = \frac{1}{2} \cdot 27 \cdot 23 sin ϕ$ , звідки $43 = 221 sin ϕ$ .
$sin ϕ = \frac{4 3}{2 21} = \frac{2}{7}$ . Оскільки діагоналі перетинаються під гострим і тупим кутами, знайдемо $cos ϕ$ через формулу $1 - sin^{2} ϕ$ : $cos^{2} ϕ = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$ .
$cos ϕ = \pm \frac{3}{7} = \pm \frac{21}{7}$ . (Загалом кут між прямими визначається острим кутом, але в задачі про кут між діагоналями часто шукають обидва значення або гострий).

Відповідь:

$\pm \frac{21}{7}$ .

Розбір зрозумілий?

§ 5. Геометричні перетворення Завдання 21.2 с. 251

Знаходження косинуса кута між діагоналями паралелограма

Умова

Що треба знати

Спочатку знайдемо довжини діагоналей за формулою косинусів. Потім використаємо властивість, що площі трикутників $A B C$ і $A B D$ можна виразити через довжини діагоналей та синус кута між ними ( $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin ϕ$ ), або знайдемо координати вершин і вектори діагоналей.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Зручно розглянути трикутник $A B D$ . Знайдіть довжину діагоналі $B D$ . Потім у трикутнику $A B C$ знайдіть $A C$ . Кут між діагоналями можна знайти через площу паралелограма або координатний метод.

Розв’язання крок за кроком

Обчислимо площу паралелограма за формулою $S = A B \cdot A D sin 6 0^{\circ} = 2 \cdot 4 \cdot \frac{3}{2} = 43$ .
Знайдемо довжини діагоналей: $B D^{2} = A B^{2} + A D^{2} - 2 A B \cdot A D cos 6 0^{\circ} = 4 + 16 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 20 - 8 = 12$ , отже $B D = 23$ .
$A C^{2} = A B^{2} + A D^{2} - 2 A B \cdot A D cos (18 0^{\circ} - 6 0^{\circ}) = 4 + 16 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot (- \frac{1}{2}) = 20 + 8 = 28$ , отже $A C = 27$ .
Площу паралелограма також можна записати як суму площ чотирьох трикутників, утворених діагоналями, або через формулу $S = \frac{1}{2} A C \cdot B D sin ϕ$ . Маємо $43 = \frac{1}{2} \cdot 27 \cdot 23 sin ϕ$ , звідки $43 = 221 sin ϕ$ .
$sin ϕ = \frac{4 3}{2 21} = \frac{2}{7}$ . Оскільки діагоналі перетинаються під гострим і тупим кутами, знайдемо $cos ϕ$ через формулу $1 - sin^{2} ϕ$ : $cos^{2} ϕ = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$ .
$cos ϕ = \pm \frac{3}{7} = \pm \frac{21}{7}$ . (Загалом кут між прямими визначається острим кутом, але в задачі про кут між діагоналями часто шукають обидва значення або гострий).

Відповідь:

$\pm \frac{21}{7}$ .

Розбір зрозумілий?