Завдання 10.28, § 3. Декартові координати на площині — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 10.28

Точка рівновіддалена від осей і точки

Знайти координати точки, яка рівновіддалена від осей координат і від точки $B (- 4; 2)$ .

Розв’язання

Умова $∣ y ∣ = ∣ x ∣$ дає два випадки: $y = x$ та $y = - x$ .
Для $y = x$ : відстань до осей дорівнює $∣ x ∣$ . Рівняння відстані до точки $B (- 4; 2)$ : $(x + 4)^{2} + (x - 2)^{2} = ∣ x ∣$ . Квадратуємо обидві частини: $(x + 4)^{2} + (x - 2)^{2} = x^{2} \Rightarrow 2 x^{2} + 4 x + 20 = x^{2} \Rightarrow x^{2} + 4 x + 20 = 0$ . Дискримінант $D = 16 - 80 < 0$ , розв'язків немає.
Для $y = - x$ : відстань до осей дорівнює $∣ x ∣$ . Рівняння: $(x + 4)^{2} + (- x - 2)^{2} = ∣ x ∣$ . Квадратуємо: $(x + 4)^{2} + (x + 2)^{2} = x^{2} \Rightarrow 2 x^{2} + 12 x + 20 = x^{2} \Rightarrow x^{2} + 12 x + 20 = 0$ .
Знаходимо корені для $x^{2} + 12 x + 20 = 0$ : $D = 144 - 80 = 64$ , $D = 8$ . $x_{1} = \frac{- 12 + 8}{2} = - 2$ , $x_{2} = \frac{- 12 - 8}{2} = - 10$ . Відповідні точки: $(- 2; 2)$ і $(- 10; 10)$ .

Відповідь:

Координати точок: $(- 2; 2)$ , $(- 10; 10)$ .

Розбір зрозумілий?

§ 3. Декартові координати на площині Завдання 10.28 с. 124

Точка рівновіддалена від осей і точки

Умова

Знайти координати точки, яка рівновіддалена від осей координат і від точки $B (- 4; 2)$ .

Що треба знати

Аналогічно до попереднього завдання. Точка лежить на бісектрисах ( $y = x$ або $y = - x$ ). Відстань від точки до осей дорівнює модулю її координат.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Позначте точку як $P (x; y)$ . Запишіть рівняння відстані між $P$ і $B (- 4; 2)$ , яке має дорівнювати $∣ x ∣$ (або $∣ y ∣$ ). Розв'яжіть квадратне рівняння для обох випадків розташування точки на бісектрисах.

Розв’язання крок за кроком

Умова $∣ y ∣ = ∣ x ∣$ дає два випадки: $y = x$ та $y = - x$ .
Для $y = x$ : відстань до осей дорівнює $∣ x ∣$ . Рівняння відстані до точки $B (- 4; 2)$ : $(x + 4)^{2} + (x - 2)^{2} = ∣ x ∣$ . Квадратуємо обидві частини: $(x + 4)^{2} + (x - 2)^{2} = x^{2} \Rightarrow 2 x^{2} + 4 x + 20 = x^{2} \Rightarrow x^{2} + 4 x + 20 = 0$ . Дискримінант $D = 16 - 80 < 0$ , розв'язків немає.
Для $y = - x$ : відстань до осей дорівнює $∣ x ∣$ . Рівняння: $(x + 4)^{2} + (- x - 2)^{2} = ∣ x ∣$ . Квадратуємо: $(x + 4)^{2} + (x + 2)^{2} = x^{2} \Rightarrow 2 x^{2} + 12 x + 20 = x^{2} \Rightarrow x^{2} + 12 x + 20 = 0$ .
Знаходимо корені для $x^{2} + 12 x + 20 = 0$ : $D = 144 - 80 = 64$ , $D = 8$ . $x_{1} = \frac{- 12 + 8}{2} = - 2$ , $x_{2} = \frac{- 12 - 8}{2} = - 10$ . Відповідні точки: $(- 2; 2)$ і $(- 10; 10)$ .

Відповідь:

Координати точок: $(- 2; 2)$ , $(- 10; 10)$ .

Розбір зрозумілий?