Завдання 9.33, § 3. Декартові координати на площині — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 9.33

Площа паралелограма через бісектрису

Паралелограм $A B C D$ , бісектриса кута $B$ перетинає сторону $A D$ у точці $E$ . Відомо: $A B = B E = 12$ см, $E D = 18$ см. Знайти площу паралелограма.

Розв’язання

Розглянемо трикутник $A B E$ . Оскільки $A B = B E = 12$ см, це рівнобедрений трикутник. Бісектриса кута $B$ паралелограма ділить кут $B$ навпіл. Нехай $∠ B = 2 α$ , тоді $∠ A B E = ∠ C B E = α$ . Оскільки $A D ∥ B C$ , то $∠ B E A = ∠ C B E = α$ (альтернативні кути). Отже, $△ A B E$ рівнобедрений з основою $A E$ , але в умові сказано $A B = B E$ , отже $∠ B A E = ∠ B E A$ .
Перевіримо логіку: У трикутнику $A B E$ кути при основі $A E$ рівні. Але $A B = B E$ , отже кути проти цих сторін рівні: $∠ B E A = ∠ B A E$ . Оскільки $A D ∥ B C$ , то $∠ A E B = ∠ E B C$ . Отже, $∠ B A E = ∠ E B C$ . Бісектриса ділить кут $B$ на два рівні кути. Тоді трикутник $A B E$ — рівнобедрений з $A B = B E$ .
Знайдемо довжину сторони $A D$ . Сторона $A D = A E + E D$ . У трикутнику $A B E$ сума кутів $18 0^{\circ}$ . Але простіше використати властивість бісектриси в паралелограмі: $\frac{A E}{E D} = \frac{A B}{B C}$ . Оскільки $A B = C D$ , а $A D = B C$ , то $\frac{A E}{18} = \frac{12}{A D}$ . Також $A D = A E + 18$ .
З рівняння $\frac{A E}{18} = \frac{12}{A E + 18}$ знайдемо $A E$ : $A E (A E + 18) = 12 \cdot 18 \Rightarrow A E^{2} + 18 A E - 216 = 0$ . Дискримінант $D = 324 - 4 (1) (- 216) = 324 + 864 = 1188$ . Це складно.
Перепишемо умову уважніше: $A B = B E = 12$ . Трикутник $A B E$ рівнобедрений ( $A B = B E$ ). Тоді $∠ B A E = ∠ B E A$ . Оскільки $A D ∥ B C$ , то $∠ B E A = ∠ E B C$ (альтернативні). Отже, $∠ B A E = ∠ E B C$ . Але $B E$ — бісектриса кута $B$ , отже $∠ A B E = ∠ E B C$ . Тоді $∠ B A E = ∠ A B E$ . Трикутник $A B E$ рівнобедрений з основою $A E$ ? Ні, якщо кути при основі рівні, то сторони рівні. Тут $∠ B A E = ∠ A B E$ , отже сторони проти них рівні: $B E = A E$ . Але в умові $A B = B E$ . Отже $A B = B E = A E$ . Трикутник $A B E$ — рівносторонній!
Якщо трикутник $A B E$ рівносторонній, то $A E = A B = 12$ см. Тоді сторона $A D = A E + E D = 12 + 18 = 30$ см. Сторона $B C = A D = 30$ см.
Знайдемо висоту паралелограма, опущену з вершини $B$ на сторону $A D$ . Нехай це висота $h$ . В трикутнику $A B E$ (рівносторонньому зі стороною $12$ ) висота до сторони $A E$ дорівнює $\frac{3}{2} \cdot 12 = 63$ . Але нам потрібна висота до сторони $A D$ , яка є основою рівнобедреного трикутника? Ні, $A D$ — це пряма. Висота паралелограма — це відстань між паралельними сторонами $A B$ і $C D$ або $A D$ і $B C$ . Тут висоту треба знайти до сторони $A D$ .
Розглянемо трикутник $A B E$ . Він рівносторонній зі стороною $12$ . Кут $A = 6 0^{\circ}$ . Висота паралелограма, опущена з точки $B$ на пряму $A D$ , є висотою рівнобедреного трикутника $A B D$ ? Ні. Висота $h$ у трикутнику $A B E$ до сторони $A E$ (яка лежить на $A D$ ) дорівнює $\frac{3}{2} \cdot 12 = 63$ .
Площа паралелограма $S = A D \cdot h = 30 \cdot 63 = 1803$ см $^{2}$ .

Відповідь:

Площа паралелограма дорівнює $1803$ см $^{2}$ .

Розбір зрозумілий?