Завдання 8.35, § 3. Декартові координати на площині — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 8.35

Кути ромба за кутом між висотою та діагоналлю

Кут між висотою та діагоналлю ромба, проведеними з однієї вершини, дорівнює $2 8^{\circ}$ . Знайти кути ромба.

Розв’язання

Нехай кут між діагоналлю і висотою $∠ H A C = 2 8^{\circ}$ (або інший варіант, результат буде симетричним). Оскільки діагональ є бісектрисою, то $∠ B A C = 2 \cdot ∠ H A C$ — це не так, бо кут між висотою і діагоналлю не обов'язково половина.
Розглянемо трикутник $A B H$ ( $H$ — основа висоти на $B C$ ). Кут $∠ A H B = 9 0^{\circ}$ .
У ромбі кути протилежні рівні, сумі сусідніх $18 0^{\circ}$ . Діагональ ділить кут навпіл.
Нехай кут між діагоналлю і висотою $α = 2 8^{\circ}$ .
У прямокутному трикутнику $A B H$ (де $A H ⊥ B C$ ) кут при вершині $B$ пов'язаний з кутом $B A H$ .
Кут $B A H = ∠ B A D /2$ ? Ні, діагональ $A C$ не проходить через $H$ .
Правильний підхід: У прямокутному трикутнику $A B H$ ( $A H ⊥ B C$ ) кут $∠ H A C$ — це різниця між кутом $A$ ромба і кутом бісектриси? Ні.
Розглянемо трикутник $A B C$ . $A C$ — діагональ, $A H$ — висота до $B C$ .
Кут $∠ C A H = 2 8^{\circ}$ . Оскільки $A B C D$ — ромб, то $A B ∥ C D$ , $A D ∥ B C$ .
У прямокутному трикутнику $A H C$ ( $∠ H = 9 0^{\circ}$ ) кут $∠ A C H = 9 0^{\circ} - 2 8^{\circ} = 6 2^{\circ}$ .
Оскільки $A C$ — діагональ, вона ділить кут $C$ навпіл. Отже, весь кут $C = 2 \cdot 6 2^{\circ} = 12 4^{\circ}$ .
Тоді сусідній кут $B = 18 0^{\circ} - 12 4^{\circ} = 5 6^{\circ}$ .

Відповідь:

Кути ромба дорівнюють $5 6^{\circ}$ і $12 4^{\circ}$ .

Розбір зрозумілий?

§ 3. Декартові координати на площині Завдання 8.35 с. 109

Кути ромба за кутом між висотою та діагоналлю

Умова

Кут між висотою та діагоналлю ромба, проведеними з однієї вершини, дорівнює $2 8^{\circ}$ . Знайти кути ромба.

Що треба знати

У ромбі діагоналі є бісектрисами кутів. Висота в ромбі перпендикулярна до сторони. Розглянемо прямокутний трикутник, утворений висотою, діагоналлю та стороною.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Позначимо вершину $A$ . Діагональ $A C$ ділить кут $A$ навпіл. Висота $A H$ перпендикулярна до $B C$ . У прямокутному трикутнику $A B H$ знайдемо кут $B$ , а звідти — кути ромба.

Розв’язання крок за кроком

Нехай кут між діагоналлю і висотою $∠ H A C = 2 8^{\circ}$ (або інший варіант, результат буде симетричним). Оскільки діагональ є бісектрисою, то $∠ B A C = 2 \cdot ∠ H A C$ — це не так, бо кут між висотою і діагоналлю не обов'язково половина.
Розглянемо трикутник $A B H$ ( $H$ — основа висоти на $B C$ ). Кут $∠ A H B = 9 0^{\circ}$ .
У ромбі кути протилежні рівні, сумі сусідніх $18 0^{\circ}$ . Діагональ ділить кут навпіл.
Нехай кут між діагоналлю і висотою $α = 2 8^{\circ}$ .
У прямокутному трикутнику $A B H$ (де $A H ⊥ B C$ ) кут при вершині $B$ пов'язаний з кутом $B A H$ .
Кут $B A H = ∠ B A D /2$ ? Ні, діагональ $A C$ не проходить через $H$ .
Правильний підхід: У прямокутному трикутнику $A B H$ ( $A H ⊥ B C$ ) кут $∠ H A C$ — це різниця між кутом $A$ ромба і кутом бісектриси? Ні.
Розглянемо трикутник $A B C$ . $A C$ — діагональ, $A H$ — висота до $B C$ .
Кут $∠ C A H = 2 8^{\circ}$ . Оскільки $A B C D$ — ромб, то $A B ∥ C D$ , $A D ∥ B C$ .
У прямокутному трикутнику $A H C$ ( $∠ H = 9 0^{\circ}$ ) кут $∠ A C H = 9 0^{\circ} - 2 8^{\circ} = 6 2^{\circ}$ .
Оскільки $A C$ — діагональ, вона ділить кут $C$ навпіл. Отже, весь кут $C = 2 \cdot 6 2^{\circ} = 12 4^{\circ}$ .
Тоді сусідній кут $B = 18 0^{\circ} - 12 4^{\circ} = 5 6^{\circ}$ .

Відповідь:

Кути ромба дорівнюють $5 6^{\circ}$ і $12 4^{\circ}$ .

Розбір зрозумілий?