Завдання 3.33, § 1. Розв’язування трикутників — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 3.33

Властивість бісектриси трикутника

Доведіть, що бісектриса трикутника ділить його сторону на відрізки, довжини яких пропорційні прилеглим сторонам.

Розв’язання

Нехай у трикутнику $A B C$ проведено бісектрису $B D$ . Позначимо $∠ A B D = ∠ C B D = β$ , а кути при основі — $∠ A = α_{1}$ , $∠ C = α_{2}$ .
У трикутнику $A B D$ за теоремою синусів: $\frac{A D}{sin β} = \frac{c}{sin ( α _{1} + β )}$ , звідки $A D = \frac{c \cdot sin β}{sin ( α _{1} + β )}$ .
У трикутнику $C B D$ за теоремою синусів: $\frac{D C}{sin β} = \frac{a}{sin ( α _{2} + β )}$ , звідки $D C = \frac{a \cdot sin β}{sin ( α _{2} + β )}$ .
Оскільки сума кутів трикутника $A B C$ дорівнює $18 0^{\circ}$ , то $∠ A B C = 18 0^{\circ} - (α_{1} + α_{2})$ . У трикутнику $A B D$ кут при вершині $B$ дорівнює $β$ , а зовнішній кут при $D$ дорівнює сумі внутрішніх протилежних, але простіше скористатися властивістю: $sin (α_{1} + β) = sin (18 0^{\circ} - (α_{2} + β)) = sin (α_{2} + β)$ .
Отже, знаменники у виразах для $A D$ та $D C$ однакові. Тоді відношення $\frac{A D}{D C} = \frac{c}{a}$ , що й треба було довести.

Відповідь:

Доведено, що $\frac{A D}{D C} = \frac{A B}{B C}$ .

Розбір зрозумілий?

§ 1. Розв’язування трикутників Завдання 3.33 с. 39

Властивість бісектриси трикутника

Умова

Що треба знати

Бісектриса кута розбиває протилежну сторону на два відрізки. За теоремою синусів у двох отриманих трикутниках можна виразити ці відрізки через синуси кутів при основі та спільну бісектрису.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Розгляньте трикутник $A B C$ і бісектрису $B D$ . Застосуйте теорему синусів до трикутників $A B D$ і $C B D$ , щоб виразити відрізки $A D$ та $D C$ .

Розв’язання крок за кроком

Нехай у трикутнику $A B C$ проведено бісектрису $B D$ . Позначимо $∠ A B D = ∠ C B D = β$ , а кути при основі — $∠ A = α_{1}$ , $∠ C = α_{2}$ .
У трикутнику $A B D$ за теоремою синусів: $\frac{A D}{sin β} = \frac{c}{sin ( α _{1} + β )}$ , звідки $A D = \frac{c \cdot sin β}{sin ( α _{1} + β )}$ .
У трикутнику $C B D$ за теоремою синусів: $\frac{D C}{sin β} = \frac{a}{sin ( α _{2} + β )}$ , звідки $D C = \frac{a \cdot sin β}{sin ( α _{2} + β )}$ .
Оскільки сума кутів трикутника $A B C$ дорівнює $18 0^{\circ}$ , то $∠ A B C = 18 0^{\circ} - (α_{1} + α_{2})$ . У трикутнику $A B D$ кут при вершині $B$ дорівнює $β$ , а зовнішній кут при $D$ дорівнює сумі внутрішніх протилежних, але простіше скористатися властивістю: $sin (α_{1} + β) = sin (18 0^{\circ} - (α_{2} + β)) = sin (α_{2} + β)$ .
Отже, знаменники у виразах для $A D$ та $D C$ однакові. Тоді відношення $\frac{A D}{D C} = \frac{c}{a}$ , що й треба було довести.

Відповідь:

Доведено, що $\frac{A D}{D C} = \frac{A B}{B C}$ .

Розбір зрозумілий?