Дві вершини квадрата ковзають по сторонах прямого кута (як на Рис. 2.12). Потрібно довести, що точка перетину діагоналей цього квадрата завжди лежить на бісектрисі даного прямого кута.
Розв’язання
Позначимо прямий кут як ∠XOY і квадрат як PQRS, де P лежить на OX, а Q — на OY. Нехай K — точка перетину діагоналей квадрата.
Розглянемо трикутники, утворені сторонами кута та вершинами квадрата. Оскільки квадрат має властивість симетрії відносно своєї діагоналі, і його дві вершини «притиснуті» до перпендикулярних прямих, то будь-яке положення квадрата зберігає симетрію відносно бісектриси кута ∠XOY.
Точка K є центром симетрії квадрата. Оскільки вся фігура (квадрат + кутові промені) симетрична відносно прямої, що ділить прямий кут навпіл, то центр симетрії K обов'язково має лежати на цій осі симетрії.
Відповідь:
Точка перетину діагоналей квадрата завжди лежить на бісектрисі прямого кута, оскільки вона є центром симетрії фігури, яка симетрична відносно цієї бісектриси.
Дві вершини квадрата ковзають по сторонах прямого кута (як на Рис. 2.12). Потрібно довести, що точка перетину діагоналей цього квадрата завжди лежить на бісектрисі даного прямого кута.
Що треба знати
Бісектриса прямого кута — це вісь симетрії, яка ділить його пополам (кут 45°). Якщо фігура має центр симетрії, який знаходиться на цій осі, то вона є рівнобедреною трикутником або квадратом, розташованим симетрично відносно цієї лінії.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Спробуйте провести вісь симетрії до прямого кута і перевірити, чи збігається вона з діагоналями квадрата, або ж скористайтеся властивістю рівних трикутників, якщо розглянути положення вершин.
Розв’язання крок за кроком
Позначимо прямий кут як ∠XOY і квадрат як PQRS, де P лежить на OX, а Q — на OY. Нехай K — точка перетину діагоналей квадрата.
Розглянемо трикутники, утворені сторонами кута та вершинами квадрата. Оскільки квадрат має властивість симетрії відносно своєї діагоналі, і його дві вершини «притиснуті» до перпендикулярних прямих, то будь-яке положення квадрата зберігає симетрію відносно бісектриси кута ∠XOY.
Точка K є центром симетрії квадрата. Оскільки вся фігура (квадрат + кутові промені) симетрична відносно прямої, що ділить прямий кут навпіл, то центр симетрії K обов'язково має лежати на цій осі симетрії.
Відповідь:
Точка перетину діагоналей квадрата завжди лежить на бісектрисі прямого кута, оскільки вона є центром симетрії фігури, яка симетрична відносно цієї бісектриси.
