Завдання 2.29
Знаходження сторін трикутника за сумою двох сторін, кутом між ними та третьою стороною
Сума двох сторін трикутника, які утворюють кут 120∘, дорівнює 8 см. Довжина третьої сторони — 7 см. Знайдіть невідомі сторони трикутника.
Розв’язання
Нехай сторони дорівнюють x та y. За умовою x+y=8, отже (x+y)2=64.
Теорема косинусів для кута 120∘: 72=x2+y2−2xycos120∘. Оскільки cos120∘=−0,5, маємо 49=x2+y2+xy.
Перетворимо (x+y)2=64 на x2+y2+2xy=64. Звідси x2+y2=64−2xy.
Підставимо це у рівняння з кроку 2: 49=(64−2xy)+xy, тобто 49=64−xy. Отже, xy=15.
Знайдемо числа x та y, які є коренями рівняння t2−(x+y)t+xy=0: t2−8t+15=0. Корені: t1=3,t2=5.
Відповідь: Сторони трикутника дорівнюють 3 см, 5 см і 7 см.
Розбір зрозумілий?
§ 1. Розв’язування трикутників
Завдання 2.29
с. 25
Знаходження сторін трикутника за сумою двох сторін, кутом між ними та третьою стороною
Умова
Сума двох сторін трикутника, які утворюють кут 120∘, дорівнює 8 см. Довжина третьої сторони — 7 см. Знайдіть невідомі сторони трикутника.
Що треба знати
Позначимо сторони як x та y. Маємо систему рівнянь: x+y=8 і c2=x2+y2−2xycos120∘, де c=7.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Використайте властивість, що (x+y)2=x2+y2+2xy, щоб спростити вираз у теоремі косинусів.
Розв’язання крок за кроком
Нехай сторони дорівнюють x та y. За умовою x+y=8, отже (x+y)2=64.
Теорема косинусів для кута 120∘: 72=x2+y2−2xycos120∘. Оскільки cos120∘=−0,5, маємо 49=x2+y2+xy.
Перетворимо (x+y)2=64 на x2+y2+2xy=64. Звідси x2+y2=64−2xy.
Підставимо це у рівняння з кроку 2: 49=(64−2xy)+xy, тобто 49=64−xy. Отже, xy=15.
Знайдемо числа x та y, які є коренями рівняння t2−(x+y)t+xy=0: t2−8t+15=0. Корені: t1=3,t2=5.
Відповідь: Сторони трикутника дорівнюють 3 см, 5 см і 7 см.
Розбір зрозумілий?
