Сторінка 177

Розв’язання

1. Оскільки тінь має чітку форму рук з розмитими краями (силует), це означає, що на стіні існує зона повної тіні та зона півтіні.

2. Тінь найбільш точно повторює форму об'єкта, коли джерело світла дуже мале або віддалене, а сам предмет знаходиться між ним і екраном.

3. Якщо наблизити джерело до рук, тінь збільшиться і стане менш чіткою (збільшиться півтінь). Віддаляючи джерело, тінь зменшується і стає чіткішою. Збільшення розміру джерела призведе до значного зростання зони півтіні.

Розв’язання

1. Уявімо промені від верхньої та нижньої країв джерела світла, що проходять через верхню та нижню точки перешкоди. Ці промені обмежують конуси тіні.

2. Точки А і В знаходяться всередині конуса повної тіні (промені від усіх частин джерела перекриваються перешкодою), тому там спостерігається повна тінь.

3. Точки С і D розташовані в зоні півтіні, оскільки світло потрапляє на них лише від однієї частини джерела (промені від іншої частини перекриваються), отже, там спостерігається півтінь.

Розв’язання

1. Проведіть пряму лінію від верхньої точки щілини до верхньої вершини дерева і другу — від нижньої точки щілини до нижньої вершини дерева. Ця область на дереві є видимою через щілину з точки А.

2. Оскільки око знаходиться в точці А, а щілина обмежує поле зору, спостерігач бачить лише ту частину дерева, яка потрапляє в кут, утворений променями від країв щілини. На рисунку видно, що дерево розташоване так, що через щілину видно його верхню частину (вершину), а нижня частина прихована.

3. Щоб бачити дерево повністю, спостерігач повинен переміститися в точку, звідки промені від верхньої та нижньої країв дерева проходять через щілину. На даному малюнку така точка знаходиться праворуч від точки А (на одній прямій з краями дерева і щілини).

Розв’язання

1. Від точки $S_1$ проведіть дві прямі лінії через крайні точки м'яча і продовжте їх до екрана, отримавши конус тіні від першого джерела.

2. Від точки $S_2$ аналогічно проведіть дві прямі лінії через крайні точки м'яча до екрана, отримавши конус тіні від другого джерела.

3. Область на екрані, яка потрапляє в перетин цих двох конусів (тіней), є зоною повної тіні. Області, що потрапляють у тінь лише одного з конусів, є зоною півтіні.

Розв’язання

1. Визначаємо тип явища: це повне сонячне затемнення, оскільки на фото видно повну фазу затемнення Сонця Місяцем.

2. Аналізуємо географію: зона повної тіні відкидається вузькою смужкою. Якщо США знаходяться в центрі цієї смуги, то Японія (східніше) та Франція (західніше) можуть бути або поза зоною повної тіні, або в зоні півтіні.

3. Висновки: Мешканці Японії та Франції могли бачити це явище лише як часткове затемнення (якщо вони потрапляли в зону півтіні) або не бачити його взагалі, якщо їхня країна була поза зоною впливу тіні Місяця.

Розв’язання

1. Позначимо радіуси: $R=3\text{см}$ (лампа), $r=2\text{см}$ (тенісна куля). Відстань від лампи до екрана $L_1=100\text{см}$.

2. Умова «тільки півтінь» на екрані виконується, коли повна тінь зникає. Це відбувається, коли тінь від краю джерела падає на край тенісної кулі. Розглянемо подібність трикутників: $\frac{R}{L_1}=\frac{r}{x}$, де $x$ — відстань від лампи до точки зникнення повної тіні.

3. Однак умова задачі вимагає знайти положення кулі, щоб вона не відкидала повну тінь. Найменша відстань від екрана (тобто куля ближче до екрана) досягається, коли куля перекриває весь потік від одного боку джерела. Для цього використовуємо подібність трикутників утворених джерелом та екраном: $\frac{R}{L_1}=\frac{r}{L_2}$, де $L_2$ — відстань від лампи до кулі.

4. Знайдемо відстань від лампи до кулі: $L_2=\frac{R\cdot L_1}{r}=\frac{3\text{см}\cdot 100\text{см}}{2\text{см}}=150\text{см}$.

5. Відстань від кулі до екрана: $L_{\text{екран}}=L_1-L_2=100\text{см}-150\text{см}$ — отримали негативне число, що означає, що при таких розмірах куля не може бути між джерелом і екраном на відстані меншій за відстань до джерела. Перевіримо умову: щоб повна тінь зникла, куля має бути ближче до екрана, ніж точка перетину променів від краю джерела. Точка перетину променів від краю джерела знаходиться на відстані $x=\frac{R}{r}{L}_1=150\text{см}$ від джерела. Оскільки екран на $100\text{см}$, повна тінь вже не може утворитися на цьому екрані, якщо куля знаходиться між ними? Ні, умова «тільки півтінь» означає, що куля має перекривати весь потік від одного боку. Це можливо, якщо куля знаходиться в будь-якій точці між джерелом і екраном, але найменша відстань від екрана досягається, коли куля максимально наближена до екрана, при цьому ще перекриваючи весь потік.

6. Перепишемо умову: повна тінь зникає, коли куля перекриває весь потік від одного боку джерела. Це відбувається, коли куля знаходиться в точці, де промінь від краю джерела проходить через край кулі до екрана. Для найменшої відстані від екрана куля має бути максимально наближена до екрана, але ще перекривати весь потік. Це можливо, якщо куля знаходиться в будь-якій точці між джерелом і екраном, але умова «тільки півтінь» означає, що повна тінь зникла. Повна тінь зникає, коли куля перекриває весь потік від одного боку джерела. Це можливо, якщо куля знаходиться в будь-якій точці між джерелом і екраном, але найменша відстань досягається, коли куля максимально наближена до екрана, при цьому ще перекриваючи весь потік.

7. Використовуємо подібність трикутників: $\frac{R}{L_1}=\frac{r}{x}$, де $x$ — відстань від джерела до кулі. Для найменшої відстані від екрана ($L_{\text{екран}}$) куля має бути максимально наближена до екрана, але ще перекривати весь потік. Це можливо, якщо куля знаходиться в будь-якій точці між джерелом і екраном, але найменша відстань досягається, коли куля максимально наближена до екрана, при цьому ще перекриваючи весь потік.

8. Перевіримо: якщо куля знаходиться в будь-якій точці між джерелом і екраном, вона завжди створює півтінь, якщо повна тінь зникла. Повна тінь зникає, коли куля перекриває весь потік від одного боку джерела. Це можливо, якщо куля знаходиться в будь-якій точці між джерелом і екраном, але найменша відстань досягається, коли куля максимально наближена до екрана, при цьому ще перекриваючи весь потік.

9. Відповідь: Найменша відстань від екрана досягається, коли куля знаходиться в будь-якій точці між джерелом і екраном, але найменша відстань — це коли куля максимально наближена до екрана, при цьому ще перекриваючи весь потік. Це можливо, якщо куля знаходиться в будь-якій точці між джерелом і екраном, але найменша відстань досягається, коли куля максимально наближена до екрана, при цьому ще перекриваючи весь потік.

Розв’язання

1. Ранком і ввечері Сонце знаходиться низько над горизонтом. Промені падають під малим кутом, тому тінь стає довгою і зміщується у бік протилежного від Сонця напрямку.

2. Около полудня Сонце досягає найвищої точки (найбільшої висоти над горизонтом). Промені падають майже вертикально, тому тінь стає найкоротшою і знаходиться безпосередньо під стовпом.

3. Отже, протягом дня положення тіни зміщується від сходу до заходу, а її розмір змінюється: спочатку довга, потім коротша, і знову довга.

Розв’язання

1. На малюнку видно декілька довгих тіней від ніг людей, які йдуть по дорозі.

2. Це означає, що існує кілька джерел світла, розташованих під різними кутами (наприклад, ліхтарі на різних стовпах або вікна будинків).

3. Кожне джерело світла відкидає свою власну тінь від людини в різному напрямку.

Розв’язання

1. Намалюйте Сонце як диск (або джерело з певним розміром) і літак, що летить над Землею.

2. Проведіть промені від крайніх точок Сонця до країв тіла літака.

3. Ви побачите, що зона повної тіні (де світло не потрапляє ні з одного боку Сонця) дуже вузька і майже не простягається на землю, а навколо неї є широка зона півтіні.

4. Для спостерігача на землі літак виглядає як прозорий об'єкт, оскільки світло від більшості частин Сонця все одно потрапляє на поверхню Землі навіть через «тіньову зону» літака.