Завдання 7.31, 7. Повторення та розширення відомостей про функцію — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 7.31

Добуток усіх дільників

Натуральне число $n$ має рівно $100$ різних натуральних дільників (разом з $1$ і $n$ ). Знайдіть добуток усіх цих дільників.

Розв’язання

Якщо $d$ — дільник $n$ , то й $\frac{n}{d}$ — дільник $n$ ; об’єднаємо дільники в пари $(d; \frac{n}{d})$ , у кожній парі добуток дорівнює $n$ .
Дільник лишився б без пари, лише якби $d = \frac{n}{d}$ , тобто $n = d^{2}$ — тоді всіх дільників було б непарне число. У нас їх $100$ — парне число, тож $n$ не є точним квадратом, і всі дільники розбиваються на $100 : 2 = 50$ пар.
Добуток усіх дільників: $50 n \cdot n \cdot \dots \cdot n = n^{50}$ .

Відповідь:

$n^{50}$ .

Розбір зрозумілий?

7. Повторення та розширення відомостей про функцію Завдання 7.31 с. 71

Добуток усіх дільників

Умова

Що треба знати

Дільники натурального числа $n$ розбиваються на пари $d$ і $\frac{n}{d}$ , і в кожній парі добуток дорівнює $n$ . Дільник без пари ( $d = \frac{n}{d}$ , тобто $d = n$ ) буває лише тоді, коли $n$ — точний квадрат; саме тоді кількість дільників непарна.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Об’єднай дільники в пари $d$ і $\frac{n}{d}$ та подумай, чи може якийсь дільник лишитися без пари.

Розв’язання крок за кроком

Якщо $d$ — дільник $n$ , то й $\frac{n}{d}$ — дільник $n$ ; об’єднаємо дільники в пари $(d; \frac{n}{d})$ , у кожній парі добуток дорівнює $n$ .
Дільник лишився б без пари, лише якби $d = \frac{n}{d}$ , тобто $n = d^{2}$ — тоді всіх дільників було б непарне число. У нас їх $100$ — парне число, тож $n$ не є точним квадратом, і всі дільники розбиваються на $100 : 2 = 50$ пар.
Добуток усіх дільників: $50 n \cdot n \cdot \dots \cdot n = n^{50}$ .

Відповідь:

$n^{50}$ .

Розбір зрозумілий?