Знайдіть усі a, при яких система має хоча б один розв’язок: 1) {x⩾3,x<a; 2) {x⩽3,x⩾a.
Розв’язання
1) Розв’язки першої нерівності — [3;+∞), другої — (−∞;a). На координатній прямій вони мають спільні точки, лише коли точка a лежить правіше від 3: при a>3 розв’язками є [3;a). Якщо a⩽3, то x<a⩽3 суперечить умові x⩾3 — розв’язків немає.
2) Розв’язки нерівностей — (−∞;3] і [a;+∞). При a<3 спільна частина — відрізок [a;3], при a=3 — єдине число 3. При a>3 маємо x⩾a>3, що суперечить x⩽3 — розв’язків немає.
Відповідь:
1) a>3; 2) a⩽3.
Розбір зрозумілий?
6. Системи лінійних нерівностей з однією змінноюЗавдання 6.33с. 55
Коли система має розв’язки
Умова
Знайдіть усі a, при яких система має хоча б один розв’язок: 1) {x⩾3,x<a; 2) {x⩽3,x⩾a.
Що треба знати
Розв’язок системи — перетин проміжків. Промені [m;+∞) і (−∞;n] мають спільні точки лише тоді, коли m⩽n; якщо хоча б один кінець не входить у проміжок, потрібно m<n. Тому в задачах з параметром порівнюють положення кінців проміжків на координатній прямій.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Зобрази обидва проміжки на координатній прямій і з’ясуй, коли вони перетинаються.
Розв’язання крок за кроком
1) Розв’язки першої нерівності — [3;+∞), другої — (−∞;a). На координатній прямій вони мають спільні точки, лише коли точка a лежить правіше від 3: при a>3 розв’язками є [3;a). Якщо a⩽3, то x<a⩽3 суперечить умові x⩾3 — розв’язків немає.
2) Розв’язки нерівностей — (−∞;3] і [a;+∞). При a<3 спільна частина — відрізок [a;3], при a=3 — єдине число 3. При a>3 маємо x⩾a>3, що суперечить x⩽3 — розв’язків немає.
