Завдання 6.24, 6. Системи лінійних нерівностей з однією змінною — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 6.24

Системи з дужками та дробами

Розв’яжіть систему: 1) ${8 (2 - x) - 2 x > 3, - 3 (6 x - 1) - x < 2 x;$ 2) ${\frac{x + 1}{4} - \frac{2 x + 3}{3} > 1, 6 (2 x - 1) < 5 (x - 4) - 7;$ 3) ${2 (x + 11) ⩾ 3 (6 - x), (x - 3) (x + 6) ⩾ (x + 5) (x - 4);$ 4) ${2 x - \frac{x + 1}{2} ⩽ \frac{x + 1}{3}, (x + 5) (x - 3) + 41 ⩾ (x - 6)^{2};$ 5) ${\frac{x + 2}{7} < \frac{x + 1}{4}, (x - 6) (x + 2) + 4 x < (x - 7) (x + 7) .$

Розв’язання

1) Перша: $16 - 8 x - 2 x > 3$ , $- 10 x > - 13$ , $x < 1, 3$ . Друга: $- 18 x + 3 - x < 2 x$ , $- 21 x < - 3$ , $x > \frac{1}{7}$ . Спільна частина: $\frac{1}{7} < x < 1, 3$ , тобто $(\frac{1}{7}; 1, 3)$ .
2) Перша (множимо на $12$ ): $3 (x + 1) - 4 (2 x + 3) > 12$ , $3 x + 3 - 8 x - 12 > 12$ , $- 5 x > 21$ , $x < - 4, 2$ . Друга: $12 x - 6 < 5 x - 20 - 7$ , $7 x < - 21$ , $x < - 3$ . Спільна частина: $x < - 4, 2$ , тобто $(- \infty; - 4, 2)$ .
3) Перша: $2 x + 22 ⩾ 18 - 3 x$ , $5 x ⩾ - 4$ , $x ⩾ - 0, 8$ . Друга: $x^{2} + 3 x - 18 ⩾ x^{2} + x - 20$ , $2 x ⩾ - 2$ , $x ⩾ - 1$ . Спільна частина: $x ⩾ - 0, 8$ , тобто $[- 0, 8; + \infty)$ .
4) Перша (множимо на $6$ ): $12 x - 3 (x + 1) ⩽ 2 (x + 1)$ , $9 x - 3 ⩽ 2 x + 2$ , $7 x ⩽ 5$ , $x ⩽ \frac{5}{7}$ . Друга: $x^{2} + 2 x - 15 + 41 ⩾ x^{2} - 12 x + 36$ , $2 x + 26 ⩾ - 12 x + 36$ , $14 x ⩾ 10$ , $x ⩾ \frac{5}{7}$ . Обом умовам задовольняє лише $x = \frac{5}{7}$ .
5) Перша (множимо на $28$ ): $4 (x + 2) < 7 (x + 1)$ , $4 x + 8 < 7 x + 7$ , $- 3 x < - 1$ , $x > \frac{1}{3}$ . Друга: $x^{2} - 4 x - 12 + 4 x < x^{2} - 49$ , $- 12 < - 49$ — неправильна числова нерівність, тож друга нерівність розв’язків не має. Отже, і система розв’язків не має.

Відповідь:

1) $(\frac{1}{7}; 1, 3)$ ; 2) $(- \infty; - 4, 2)$ ; 3) $[- 0, 8; + \infty)$ ; 4) $\frac{5}{7}$ (єдиний розв’язок); 5) розв’язків немає ( $\emptyset$ ).

Розбір зрозумілий?

6. Системи лінійних нерівностей з однією змінною Завдання 6.24 с. 53

Системи з дужками та дробами

Умова

Що треба знати

Щоб розв’язати систему нерівностей з однією змінною, розв’язують кожну нерівність окремо, а потім шукають спільну частину (перетин) отриманих проміжків. Якщо спільних точок немає, система розв’язків не має — множина розв’язків порожня ( $\emptyset$ ).

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Розкрий дужки (дроби — помнож на спільний знаменник), квадрати $x^{2}$ скоротяться; далі розв’яжи кожну лінійну нерівність.

Розв’язання крок за кроком

1) Перша: $16 - 8 x - 2 x > 3$ , $- 10 x > - 13$ , $x < 1, 3$ . Друга: $- 18 x + 3 - x < 2 x$ , $- 21 x < - 3$ , $x > \frac{1}{7}$ . Спільна частина: $\frac{1}{7} < x < 1, 3$ , тобто $(\frac{1}{7}; 1, 3)$ .
2) Перша (множимо на $12$ ): $3 (x + 1) - 4 (2 x + 3) > 12$ , $3 x + 3 - 8 x - 12 > 12$ , $- 5 x > 21$ , $x < - 4, 2$ . Друга: $12 x - 6 < 5 x - 20 - 7$ , $7 x < - 21$ , $x < - 3$ . Спільна частина: $x < - 4, 2$ , тобто $(- \infty; - 4, 2)$ .
3) Перша: $2 x + 22 ⩾ 18 - 3 x$ , $5 x ⩾ - 4$ , $x ⩾ - 0, 8$ . Друга: $x^{2} + 3 x - 18 ⩾ x^{2} + x - 20$ , $2 x ⩾ - 2$ , $x ⩾ - 1$ . Спільна частина: $x ⩾ - 0, 8$ , тобто $[- 0, 8; + \infty)$ .
4) Перша (множимо на $6$ ): $12 x - 3 (x + 1) ⩽ 2 (x + 1)$ , $9 x - 3 ⩽ 2 x + 2$ , $7 x ⩽ 5$ , $x ⩽ \frac{5}{7}$ . Друга: $x^{2} + 2 x - 15 + 41 ⩾ x^{2} - 12 x + 36$ , $2 x + 26 ⩾ - 12 x + 36$ , $14 x ⩾ 10$ , $x ⩾ \frac{5}{7}$ . Обом умовам задовольняє лише $x = \frac{5}{7}$ .
5) Перша (множимо на $28$ ): $4 (x + 2) < 7 (x + 1)$ , $4 x + 8 < 7 x + 7$ , $- 3 x < - 1$ , $x > \frac{1}{3}$ . Друга: $x^{2} - 4 x - 12 + 4 x < x^{2} - 49$ , $- 12 < - 49$ — неправильна числова нерівність, тож друга нерівність розв’язків не має. Отже, і система розв’язків не має.

Відповідь:

1) $(\frac{1}{7}; 1, 3)$ ; 2) $(- \infty; - 4, 2)$ ; 3) $[- 0, 8; + \infty)$ ; 4) $\frac{5}{7}$ (єдиний розв’язок); 5) розв’язків немає ( $\emptyset$ ).

Розбір зрозумілий?