Знайдіть, при яких x визначена функція: 1) f(x)=x+4+x−21; 2) f(x)=24−8x+x2−166; 3) f(x)=3x+91−∣x∣−28; 4) f(x)=x+1+x2−14.
Розв’язання
1) x+4⩾0, тобто x⩾−4; x−2=0, тобто x=2. Отже, x⩾−4 і x=2: [−4;2)∪(2;+∞).
2) 24−8x⩾0, −8x⩾−24, x⩽3; x2−16=0, тобто x=4 і x=−4. Число 4 і так не належить проміжку (−∞;3], тому x⩽3, x=−4: (−∞;−4)∪(−4;3].
3) Корінь стоїть у знаменнику, тому 3x+9>0, 3x>−9, x>−3; ∣x∣−2=0, тобто x=2 і x=−2. Обидва числа належать проміжку (−3;+∞), тому x>−3, x=±2: (−3;−2)∪(−2;2)∪(2;+∞).
4) x+1⩾0, тобто x⩾−1; x2−1=0, тобто x=1 і x=−1. Тоді x>−1 і x=1: (−1;1)∪(1;+∞).
5. Розв’язування лінійних нерівностей з однією змінною. Числові проміжкиЗавдання 5.39с. 44
Область визначення функції
Умова
Знайдіть, при яких x визначена функція: 1) f(x)=x+4+x−21; 2) f(x)=24−8x+x2−166; 3) f(x)=3x+91−∣x∣−28; 4) f(x)=x+1+x2−14.
Що треба знати
Під знаком квадратного кореня має стояти невід’ємний вираз, а знаменник дробу не може дорівнювати нулю; якщо корінь стоїть у знаменнику, підкореневий вираз має бути додатним. Відповідь записують як об’єднання проміжків (знак ∪) або словами, наприклад: «x⩾−4 і x=2».
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Запиши умову для підкореневого виразу й умову, що знаменник не дорівнює нулю, а потім об’єднай їх.
Розв’язання крок за кроком
1) x+4⩾0, тобто x⩾−4; x−2=0, тобто x=2. Отже, x⩾−4 і x=2: [−4;2)∪(2;+∞).
2) 24−8x⩾0, −8x⩾−24, x⩽3; x2−16=0, тобто x=4 і x=−4. Число 4 і так не належить проміжку (−∞;3], тому x⩽3, x=−4: (−∞;−4)∪(−4;3].
3) Корінь стоїть у знаменнику, тому 3x+9>0, 3x>−9, x>−3; ∣x∣−2=0, тобто x=2 і x=−2. Обидва числа належать проміжку (−3;+∞), тому x>−3, x=±2: (−3;−2)∪(−2;2)∪(2;+∞).
4) x+1⩾0, тобто x⩾−1; x2−1=0, тобто x=1 і x=−1. Тоді x>−1 і x=1: (−1;1)∪(1;+∞).
