Завдання 4.19, 4. Нерівності з однією змінною — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 4.19

Рівносильність нерівностей

Чи рівносильні нерівності: 1) $\frac{1}{x} < 1$ і $x > 1$ ; 2) $x^{2} ⩾ x$ і $x ⩾ 1$ ; 3) $(x + 5)^{2} < 0$ і $∣ x - 4∣ < 0$ ; 4) $x ⩽ 0$ і $x^{4} ⩽ 0$ ?

Розв’язання

1) $x = - 1$ : $\frac{1}{- 1} = - 1 < 1$ — розв’язок першої, але $- 1 > 1$ — хибно. Множини розв’язків різні — не рівносильні.
2) $x = 0$ : $0^{2} ⩾ 0$ — правильно, але $0 ⩾ 1$ — хибно. Не рівносильні.
3) $(x + 5)^{2} ⩾ 0$ і $∣ x - 4∣ ⩾ 0$ при будь-якому $x$ , тому обидві нерівності розв’язків не мають. Множини розв’язків однакові ( $\emptyset$ ) — рівносильні.
4) $x ⩾ 0$ , тож $x ⩽ 0$ лише при $x = 0$ , тобто $x = 0$ . $x^{4} ⩾ 0$ , тож $x^{4} ⩽ 0$ лише при $x = 0$ . В обох єдиний розв’язок $0$ — рівносильні.

Відповідь:

1) ні; 2) ні; 3) так (обидві не мають розв’язків); 4) так (в обох єдиний розв’язок $x = 0$ ).

Розбір зрозумілий?

4. Нерівності з однією змінною Завдання 4.19 с. 35

Рівносильність нерівностей

Умова

Чи рівносильні нерівності: 1) $\frac{1}{x} < 1$ і $x > 1$ ; 2) $x^{2} ⩾ x$ і $x ⩾ 1$ ; 3) $(x + 5)^{2} < 0$ і $∣ x - 4∣ < 0$ ; 4) $x ⩽ 0$ і $x^{4} ⩽ 0$ ?

Що треба знати

Розв’язок нерівності з однією змінною — це таке значення змінної, при якому нерівність стає правильною числовою нерівністю. Розв’язати нерівність — знайти множину всіх її розв’язків (якщо розв’язків немає, це порожня множина $\emptyset$ ). Нерівності рівносильні, якщо множини їхніх розв’язків однакові.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Щоб довести нерівносильність, досить знайти число, яке є розв’язком лише однієї з нерівностей.

Розв’язання крок за кроком

1) $x = - 1$ : $\frac{1}{- 1} = - 1 < 1$ — розв’язок першої, але $- 1 > 1$ — хибно. Множини розв’язків різні — не рівносильні.
2) $x = 0$ : $0^{2} ⩾ 0$ — правильно, але $0 ⩾ 1$ — хибно. Не рівносильні.
3) $(x + 5)^{2} ⩾ 0$ і $∣ x - 4∣ ⩾ 0$ при будь-якому $x$ , тому обидві нерівності розв’язків не мають. Множини розв’язків однакові ( $\emptyset$ ) — рівносильні.
4) $x ⩾ 0$ , тож $x ⩽ 0$ лише при $x = 0$ , тобто $x = 0$ . $x^{4} ⩾ 0$ , тож $x^{4} ⩽ 0$ лише при $x = 0$ . В обох єдиний розв’язок $0$ — рівносильні.

Відповідь:

1) ні; 2) ні; 3) так (обидві не мають розв’язків); 4) так (в обох єдиний розв’язок $x = 0$ ).

Розбір зрозумілий?