Завдання 3.15, 3. Додавання і множення числових нерівностей. Оцінювання значення виразу — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 3.15

Чи правильне твердження

Нехай $a > 2$ і $b > 7$ . Чи обов’язково: 1) $a + b > 9$ ; 2) $a + b > 8$ ; 3) $a + b > 9, 2$ ; 4) $a - b > - 5$ ; 5) $b - a > 5$ ; 6) $ab > 13$ ? Чи правильно, що 7) з $a > 2$ і $b < - 7$ випливає $a - b > 9$ ; 8) з $a < 2$ і $b < 7$ — $ab < 14$ ; 9) з $a > 2$ — $a^{2} > 4$ ; 10) з $a < 2$ — $a^{2} < 4$ ; 11) з $a > 2$ — $\frac{1}{a} < \frac{1}{2}$ ; 12) з $a < 2$ — $\frac{1}{a} > \frac{1}{2}$ ?

Розв’язання

1) Додаємо почленно $a > 2$ і $b > 7$ : $a + b > 9$ — правильне.
2) $a + b > 9$ , а $9 > 8$ , тому $a + b > 8$ — правильне.
3) Неправильне: при $a = 2, 05$ , $b = 7, 05$ маємо $a + b = 9, 1 < 9, 2$ .
4) Неправильне: при $a = 3$ , $b = 10$ маємо $a - b = - 7 < - 5$ .
5) Неправильне: при $a = 10$ , $b = 8$ маємо $b - a = - 2 < 5$ .
6) Усі числа додатні, множимо почленно: $ab > 2 \cdot 7 = 14 > 13$ — правильне.
7) Із $b < - 7$ маємо $- b > 7$ ; додаємо почленно до $a > 2$ : $a - b > 9$ — правильне.
8) Неправильне: числа можуть бути від’ємними, і теорему про множення застосувати не можна; при $a = - 10$ , $b = - 10$ маємо $ab = 100 > 14$ .
9) $a > 2 > 0$ , тож можна перемножити $a > 2$ саму на себе: $a^{2} > 4$ — правильне.
10) Неправильне: при $a = - 3 < 2$ маємо $a^{2} = 9 > 4$ .
11) $a > 2 > 0$ , тому для обернених чисел $\frac{1}{a} < \frac{1}{2}$ — правильне.
12) Неправильне: при $a = - 1 < 2$ маємо $\frac{1}{a} = - 1 < \frac{1}{2}$ (нерівність виконується лише при $0 < a < 2$ , а при $a = 0$ вираз $\frac{1}{a}$ не має змісту).

Відповідь:

Правильні: 1), 2), 6), 7), 9), 11); неправильні: 3), 4), 5), 8), 10), 12).

Розбір зрозумілий?

3. Додавання і множення числових нерівностей. Оцінювання значення виразу Завдання 3.15 с. 26

Чи правильне твердження

Умова

Що треба знати

Нерівності однакового знака можна почленно додавати: якщо $a > b$ і $c > d$ , то $a + c > b + d$ . Якщо ж $a > b$ , $c > d$ і всі чотири числа додатні, їх можна почленно перемножити: $a c > b d$ (зокрема, $a^{n} > b^{n}$ для натурального $n$ ).

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Правильне твердження доведи за теоремами про почленне додавання й множення, а неправильне спростуй контрприкладом.

Розв’язання крок за кроком

1) Додаємо почленно $a > 2$ і $b > 7$ : $a + b > 9$ — правильне.
2) $a + b > 9$ , а $9 > 8$ , тому $a + b > 8$ — правильне.
3) Неправильне: при $a = 2, 05$ , $b = 7, 05$ маємо $a + b = 9, 1 < 9, 2$ .
4) Неправильне: при $a = 3$ , $b = 10$ маємо $a - b = - 7 < - 5$ .
5) Неправильне: при $a = 10$ , $b = 8$ маємо $b - a = - 2 < 5$ .
6) Усі числа додатні, множимо почленно: $ab > 2 \cdot 7 = 14 > 13$ — правильне.
7) Із $b < - 7$ маємо $- b > 7$ ; додаємо почленно до $a > 2$ : $a - b > 9$ — правильне.
8) Неправильне: числа можуть бути від’ємними, і теорему про множення застосувати не можна; при $a = - 10$ , $b = - 10$ маємо $ab = 100 > 14$ .
9) $a > 2 > 0$ , тож можна перемножити $a > 2$ саму на себе: $a^{2} > 4$ — правильне.
10) Неправильне: при $a = - 3 < 2$ маємо $a^{2} = 9 > 4$ .
11) $a > 2 > 0$ , тому для обернених чисел $\frac{1}{a} < \frac{1}{2}$ — правильне.
12) Неправильне: при $a = - 1 < 2$ маємо $\frac{1}{a} = - 1 < \frac{1}{2}$ (нерівність виконується лише при $0 < a < 2$ , а при $a = 0$ вираз $\frac{1}{a}$ не має змісту).

Відповідь:

Правильні: 1), 2), 6), 7), 9), 11); неправильні: 3), 4), 5), 8), 10), 12).

Розбір зрозумілий?