Завдання 24.86, 24. Вправи для повторення курсу алгебри 9 класу — ГДЗ Алгебра 9 клас Мерзляк А. Г.

Завдання 24.86

Сума n перших членів (з буквами)

Знайдіть суму $n$ перших членів: 1) $\frac{a - 1}{a}, \frac{a - 3}{a}, \frac{a - 5}{a}, \dots$ ; 2) $\frac{a - b}{a + b}, \frac{3 a - b}{a + b}, \frac{5 a - b}{a + b}, \dots$

Розв’язання

1) $d = - \frac{2}{a}$ , $a_{n} = \frac{a - ( 2 n - 1 )}{a}$ . $S_{n} = \frac{1}{2} (\frac{a - 1}{a} + \frac{a - 2 n + 1}{a}) n = \frac{( a - n ) n}{a}$ .
2) $d = \frac{2 a}{a + b}$ , $a_{n} = \frac{( 2 n - 1 ) a - b}{a + b}$ . $S_{n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a - b + ( 2 n - 1 ) a - b}{a + b} \cdot n = \frac{n ( na - b )}{a + b}$ .
Перевірка при $n = 2$ : 1) $\frac{2 a - 4}{a} = \frac{2 ( a - 2 )}{a}$ ; 2) $\frac{4 a - 2 b}{a + b} = \frac{2 ( 2 a - b )}{a + b}$ .

Відповідь:

1) $\frac{n ( a - n )}{a}$ ; 2) $\frac{n ( na - b )}{a + b}$ .

Розбір зрозумілий?

24. Вправи для повторення курсу алгебри 9 класу Завдання 24.86 с. 255

Сума n перших членів (з буквами)

Умова

Знайдіть суму $n$ перших членів: 1) $\frac{a - 1}{a}, \frac{a - 3}{a}, \frac{a - 5}{a}, \dots$ ; 2) $\frac{a - b}{a + b}, \frac{3 a - b}{a + b}, \frac{5 a - b}{a + b}, \dots$

Що треба знати

Арифметична прогресія: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ , $S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) d}{2} \cdot n$ . Три послідовні члени зручно записувати як $a - d$ , $a$ , $a + d$ . Суми членів, рівновіддалених від кінців, однакові: $a_{1} + a_{n} = a_{2} + a_{n - 1} = \dots$

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Обидві послідовності — арифметичні прогресії. Знайди a₁ і d.

Розв’язання крок за кроком

1) $d = - \frac{2}{a}$ , $a_{n} = \frac{a - ( 2 n - 1 )}{a}$ . $S_{n} = \frac{1}{2} (\frac{a - 1}{a} + \frac{a - 2 n + 1}{a}) n = \frac{( a - n ) n}{a}$ .
2) $d = \frac{2 a}{a + b}$ , $a_{n} = \frac{( 2 n - 1 ) a - b}{a + b}$ . $S_{n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a - b + ( 2 n - 1 ) a - b}{a + b} \cdot n = \frac{n ( na - b )}{a + b}$ .
Перевірка при $n = 2$ : 1) $\frac{2 a - 4}{a} = \frac{2 ( a - 2 )}{a}$ ; 2) $\frac{4 a - 2 b}{a + b} = \frac{2 ( 2 a - b )}{a + b}$ .

Відповідь:

1) $\frac{n ( a - n )}{a}$ ; 2) $\frac{n ( na - b )}{a + b}$ .

Розбір зрозумілий?