Завдання 17.33
Послідовність за формулою суми
Сума n перших членів послідовності Sn=n2−3n. Доведіть, що це арифметична прогресія, і знайдіть a1 та d.
Розв’язання
a1=S1=1−3=−2.
При n≥2: an=n2−3n−((n−1)2−3(n−1))=n2−3n−n2+2n−1+3n−3=2n−4.
При n=1 формула дає 2−4=−2=a1, тож an=2n−4 для всіх n.
an+1−an=2 — стале число, отже, це арифметична прогресія з a1=−2, d=2.
Розбір зрозумілий?
17. Сума n перших членів арифметичної прогресії
Завдання 17.33
с. 165
Послідовність за формулою суми
Умова
Сума n перших членів послідовності Sn=n2−3n. Доведіть, що це арифметична прогресія, і знайдіть a1 та d.
Що треба знати
a1=S1, а при n≥2: an=Sn−Sn−1. Послідовність є арифметичною прогресією, якщо an+1−an — стале число.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Знайди формулу aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ і перевір, чи справджується вона при n = 1.
Розв’язання крок за кроком
a1=S1=1−3=−2.
При n≥2: an=n2−3n−((n−1)2−3(n−1))=n2−3n−n2+2n−1+3n−3=2n−4.
При n=1 формула дає 2−4=−2=a1, тож an=2n−4 для всіх n.
an+1−an=2 — стале число, отже, це арифметична прогресія з a1=−2, d=2.
Розбір зрозумілий?
