Чи правильно, що: 1) з a>b випливає a>−b; 2) з a>b випливає 2a>b; 3) з a>b випливає 2a+1>2b; 4) з a>b+2 і b−3>4 випливає a>9; 5) з a>b випливає ab>b2; 6) з 5>3 випливає 5a2>3a2; 7) з 5>3 випливає 5(a2+1)>3(a2+1)?
Розв’язання
1) Ні: a=1, b=−5; 1>−5, але 1>5 — хибно.
2) Ні: a=−1, b=−2; −1>−2, але 2a=−2, а −2>−2 — хибно.
3) Так: 2a>2b, тоді 2a+1>2b+1>2b.
4) Так: b−3>4⇒b>7⇒b+2>9, а a>b+2, тому a>9.
5) Ні: a=1, b=−1; ab=−1, b2=1, а −1>1 — хибно.
6) Ні: при a=0 отримуємо 0>0 — хибно (твердження правильне лише для a=0).
7) Так: a2+1>0 при будь-якому a, а множення на додатне число зберігає знак нерівності.
Відповідь:
Правильні 3), 4), 7); неправильні 1), 2), 5), 6).
Розбір зрозумілий?
2. Основні властивості числових нерівностейЗавдання 2.23с. 20
Чи правильне твердження
Умова
Чи правильно, що: 1) з a>b випливає a>−b; 2) з a>b випливає 2a>b; 3) з a>b випливає 2a+1>2b; 4) з a>b+2 і b−3>4 випливає a>9; 5) з a>b випливає ab>b2; 6) з 5>3 випливає 5a2>3a2; 7) з 5>3 випливає 5(a2+1)>3(a2+1)?
Що треба знати
Якщо a>b і b>c, то a>c; до обох частин нерівності можна додати (або відняти) одне й те саме число — знак нерівності не зміниться. Множення чи ділення обох частин на додатне число зберігає знак нерівності, а на від’ємне — змінює його на протилежний.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Для хибного твердження досить одного контрприкладу, правильне виведи з властивостей нерівностей.
Розв’язання крок за кроком
1) Ні: a=1, b=−5; 1>−5, але 1>5 — хибно.
2) Ні: a=−1, b=−2; −1>−2, але 2a=−2, а −2>−2 — хибно.
3) Так: 2a>2b, тоді 2a+1>2b+1>2b.
4) Так: b−3>4⇒b>7⇒b+2>9, а a>b+2, тому a>9.
5) Ні: a=1, b=−1; ab=−1, b2=1, а −1>1 — хибно.
6) Ні: при a=0 отримуємо 0>0 — хибно (твердження правильне лише для a=0).
7) Так: a2+1>0 при будь-якому a, а множення на додатне число зберігає знак нерівності.
