ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 164

Алгебра, Істер О. С., Істер Д. О., 2026 · № 16.33–16.41 · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 16. Арифметична прогресія, її властивості. Формула n-го члена арифметичної прогресії

Завдання 16.33

Сума рівновіддалених членів (2)

1) b₉ + b₁₁, якщо b₁ + b₁₉ = −25; 2) b₇ + b₁₃, якщо b₁₀ = 2,7.

Розв’язання

1) −25; 2) 2 · 2,7 = 5,4.

Відповідь:

−25; 5,4.

Завдання 16.34

Обернені величини і квадрати (1)

Доведіть: якщо $\frac{1}{b + c}$ , $\frac{1}{a + c}$ , $\frac{1}{a + b}$ — арифметична прогресія, то $a^{2}$ , $b^{2}$ , $c^{2}$ — теж.

Розв’язання

$\frac{2}{a + c} = \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + b} = \frac{a + 2 b + c}{( b + c ) ( a + b )}$ .
$2 (b + c) (a + b) = (a + c) (a + 2 b + c)$ ; після розкриття дужок: $2 b^{2} = a^{2} + c^{2}$ .
Отже, b² — середнє арифметичне a² і c².

Відповідь:

Доведено.

Завдання 16.35

Обернені величини і квадрати (2)

Доведіть обернене: якщо $a^{2}$ , $b^{2}$ , $c^{2}$ — арифметична прогресія, то $\frac{1}{b + c}$ , $\frac{1}{a + c}$ , $\frac{1}{a + b}$ — теж.

Розв’язання

З $2 b^{2} = a^{2} + c^{2}$ (додамо до обох частин $2 ab + 2 a c + 2 b c$ ) отримаємо $2 (b + c) (a + b) = (a + c) (a + 2 b + c)$ .
Поділивши на $(a + c) (b + c) (a + b) \neq = 0$ : $\frac{2}{a + c} = \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + b}$ .

Відповідь:

Доведено.

Завдання 16.36

Спростити вирази

1) $- 4 p^{2} t \cdot (- 0, 5 p^{3} t^{4})$ ; 2) $\frac{39 p ^{3}}{5 a} : 13 p^{7} a^{5}$ .

Розв’язання

1) $2 p^{5} t^{5}$ ; 2) $\frac{3}{5 p ^{4} a ^{6}}$ .

Відповідь:

$2 p^{5} t^{5}$ ; $\frac{3}{5 p ^{4} a ^{6}}$ .

Завдання 16.37

Рівняння (повторення)

1) $x^{3} + x^{2} - 3 x - 3 = 0$ ; 2) $(x^{2} - 2 x)^{2} + 2 (x^{2} - 2 x) - 3 = 0$ .

Розв’язання

1) $(x + 1) (x^{2} - 3) = 0$ : −1; $\pm 3$ .
2) $t^{2} + 2 t - 3 = 0$ : t = 1 або −3. $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ : $1 \pm 2$ ; $x^{2} - 2 x + 3 = 0$ — D < 0.

Відповідь:

−1; $\pm 3$ | $1 \pm 2$ .

Завдання 16.38

Чи кратне 8⁶ − 4⁷ числу 6

Перевірте.

Розв’язання

$2^{14} (2^{4} - 1) = 15 \cdot 2^{14}$ — ділиться на 2 і на 3.

Відповідь:

Так.

Завдання 16.39

Область визначення

$y = 10 - 9 x - x^{2} + \frac{x + 1}{x ^{2} - 3 x}$ .

Розв’язання

[−10; 1] без x = 0 і x = 3: [−10; 0) ∪ (0; 1].

Відповідь:

[−10; 0) ∪ (0; 1].

Завдання 16.40

Життєва математика: перевезення 40 т

Відстань 1200 км. А: 800 грн/100 км, 3,5 т; Б: 1000 грн, 5 т; В: 2300 грн, 12 т. Яке перевезення найдешевше?

Розв’язання

А: 12 машин · 800 · 12 = 115 200 грн.
Б: 8 машин · 1000 · 12 = 96 000 грн.
В: 4 машини · 2300 · 12 = 110 400 грн.

Відповідь:

96 000 грн (перевізник Б).

Завдання 16.41

Цікава задача: нерівність

Доведіть $(x - 3) (x - 4) (x - 5) (x - 6) + 1 ⩾ 0$ .

Розв’язання

Нехай $t = x^{2} - 9 x + 19$ : вираз дорівнює $(t - 1) (t + 1) + 1 = t^{2} ⩾ 0$ .

Відповідь:

Доведено.