ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 85

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 9. Властивості функцій Functions Properties

Завдання 1 (с. 85)

Знаходження нулів функцій

а) $y = 2 x^{2} - x - 1$ ; б) $y = \frac{2 x + 6}{x - 1}$ .

Розв’язання

а) Розв'язуємо квадратне рівняння $2 x^{2} - x - 1 = 0$ . Дискримінант $D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1) = 9$ . Корені: $x_{1} = \frac{1 - 3}{4} = - 0, 5$ ; $x_{2} = \frac{1 + 3}{4} = 1$ .
б) Область визначення функції задається умовою $x - 1$ , тобто $x - 1 > 0$ , звідки $x > 1$ . Область визначення: $(1; + \infty)$ .
Розв'язуємо рівняння $2 x + 6 = 0 \Rightarrow x = - 3$ . Оскільки $- 3 < 1$ , цей корінь не належить області визначення.

Відповідь:

а) нулі: $- 0, 5$ і $1$ ; б) нулів немає.

Знаходження проміжків знакосталості лінійної функції

Функція $y = 5 x - 18$ . Потрібно знайти, де $y > 0$ і де $y < 0$ , не будуючи графік.

Розв’язання

Знаходимо корінь функції: $5 x - 18 = 0 \Rightarrow x = 3, 6$ .
Оскільки коефіцієнт при $x$ додатний ( $k = 5 > 0$ ), функція зростає. Отже, при $x > 3, 6$ функція додатна, а при $x < 3, 6$ — від'ємна.

Відповідь:

$y > 0$ , якщо $x \in (3, 6; + \infty)$ ; $y < 0$ , якщо $x \in (- \infty; 3, 6)$ .

Доведення спадання функції на проміжку

Довести, що функція $y = x^{2} + 3$ спадає на проміжку $(- \infty; 0)$ .

Розв’язання

Нехай $x_{1}, x_{2} \in (- \infty; 0)$ і $x_{1} < x_{2}$ . Тоді $y_{1} = x_{1}^{2} + 3$ , $y_{2} = x_{2}^{2} + 3$ .
Обчислимо різницю: $y_{1} - y_{2} = (x_{1}^{2} + 3) - (x_{2}^{2} + 3) = x_{1}^{2} - x_{2}^{2} = (x_{1} - x_{2}) (x_{1} + x_{2})$ .
Оскільки $x_{1} < x_{2}$ , то $x_{1} - x_{2} < 0$ . Оскільки $x_{1}, x_{2} < 0$ , то їх сума $x_{1} + x_{2} < 0$ . Добуток двох від'ємних чисел додатний: $(x_{1} - x_{2}) (x_{1} + x_{2}) > 0$ .
Отже, $y_{1} - y_{2} > 0 \Rightarrow y_{1} > y_{2}$ . Це означає, що функція спадає на цьому проміжку.

Відповідь:

Функція $y = x^{2} + 3$ є спадною на проміжку $(- \infty; 0)$ .