ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінки 7–12

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 1–56 · 58 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

Сторінка 7

§ 1. Загальні відомості про нерівності

Завдання 1

Порівняння чисел за різницею

Яке з чисел $a$ і $b$ менше, якщо: а) $a - b = (- 1)^{2}$ ; б) $a = b - 3$ ; в) $a - 5 = b$ .

Розв’язання

а) Знайдемо значення різниці: $a - b = (- 1)^{2} = 1$ . Оскільки $1 > 0$ , то $a > b$ .
б) Перепишемо рівність як вираз для різниці: $a - b = - 3$ . Оскільки $- 3 < 0$ , то $a < b$ .
в) Перепишемо рівність як вираз для різниці: $a - b = 5$ . Оскільки $5 > 0$ , то $a > b$ .

Відповідь:

а) $a > b$ ; б) $a < b$ ; в) $a > b$ .

Завдання 2

Максимум виразу з квадратом

За якої умови вираз $4 - (2 x + 3)^{2}$ має найбільше значення.

Розв’язання

Оскільки $(2 x + 3)^{2} \geq 0$ , то вираз $4 - (2 x + 3)^{2}$ буде найбільшим, коли $(2 x + 3)^{2} = 0$ .
Знайдемо значення змінної: $2 x + 3 = 0 \Rightarrow 2 x = - 3 \Rightarrow x = - 1, 5$ .

Відповідь:

Якщо $x = - 1, 5$ .

Сторінка 8

Завдання 1 (с. 8)

Означення знаків нерівностей

Пояснити зміст записів $a \leq b$ та $a \geq b$ і прочитати їх.

Розв’язання

Розглянемо знак $\leq$ . Він поєднує умови $a < b$ (число $a$ менше числа $b$ ) та $a = b$ (числа рівні). Отже, $a \leq b$ означає, що $a$ менше або дорівнює $b$ .
Розглянемо знак $\geq$ . Він поєднує умови $a > b$ (число $a$ більше числа $b$ ) та $a = b$ (числа рівні). Отже, $a \geq b$ означає, що $a$ більше або дорівнює $b$ .

Відповідь:

$a \leq b$ читається як « $a$ менше або дорівнює $b$ », а $a \geq b$ — як « $a$ більше або дорівнює $b$ ».

Завдання 2 (с. 8)

Порівняння чисел за різницею

Визначити, яке з чисел $x$ і $y$ менше у випадках: а) $x - y = 1$ ; б) $x - y = - 1$ ; в) $y - x = 2$ ; г) $y - 5 = x$ .

Розв’язання

а) Оскільки $x - y = 1$ (число додатне), то $x > y$ . Отже, менше число $y$ .
б) Оскільки $x - y = - 1$ (число від'ємне), то $x < y$ . Отже, менше число $x$ .
в) Перепишемо рівняння як $- (x - y) = 2$ , звідки $x - y = - 2$ . Різниця від'ємна, тому $x < y$ . Менше число $x$ .
г) Перепишемо рівняння як $y - x = 5$ . Різниця додатна ( $5 > 0$ ), тому $y > x$ . Отже, менше число $x$ .

Відповідь:

а) менше $y$ ; б) менше $x$ ; в) менше $x$ ; г) менше $x$ .

Завдання 3

Порівняння координат на проміжку

На координатній прямій (мал. 1.2) задані точки $K (k)$ , $L (l)$ , $M (m)$ . Координата точки $K$ — $k$ , точка $L$ — $l$ , точка $M$ — $m$ . Потрібно порівняти пари чисел: а) $k$ і $m$ ; б) $k$ і $1$ ; в) $m$ і $l$ ; г) $0$ і $l$ ; д) $k$ і $l$ ; е) $m$ і $- 1$ .

Розв’язання

З малюнка видно порядок точок зліва направо: точка $K$ , початок координати $0$ , точка $L$ , одинична відмітка $1$ , точка $M$ . Отже, $k < 0 < l < 1 < m$ .
а) Порівнюємо $k$ і $m$ : оскільки $k$ зліва від $m$ , то $k < m$ .
б) Порівнюємо $k$ і $1$ : точка $K$ знаходиться ліворуч від позначки $1$ , отже, $k < 1$ .
в) Порівнюємо $m$ і $l$ : точка $M$ знаходиться правіше точки $L$ , отже, $m > l$ .
г) Порівнюємо $0$ і $l$ : точка $L$ знаходиться правіше нуля, отже, $0 < l$ .
д) Порівнюємо $k$ і $l$ : точка $K$ знаходиться ліворуч від точки $L$ , отже, $k < l$ .
е) Порівнюємо $m$ і $- 1$ : точка $M$ знаходиться правіше позначки $- 1$ , отже, $m > - 1$ .

Відповідь:

а) $k < m$ ; б) $k < 1$ ; в) $m > l$ ; г) $0 < l$ ; д) $k < l$ ; е) $m > - 1$ .

Завдання 4

Визначення хибної нерівності

Яка з наведених нерівностей є неправильною?
А $2 ⩾ 2$ ; Б $- 3 < - 5$ ; В $- 3 ⩽ 2$ ; Г $- 5 ⩽ - 2$ .

Розв’язання

Перевіримо варіант А: число 2 дорівнює 2, тому запис $2 ⩾ 2$ є правильним.
Перевіримо варіант Б: число $- 3$ більше за $- 5$ , тому знак менше ( $<$ ) тут використано неправильно; нерівність хибна.
Перевіримо варіант В: число $- 3$ менше за 2, тому запис $- 3 ⩽ 2$ є правильним.
Перевіримо варіант Г: число $- 5$ менше за $- 2$ , тому запис $- 5 ⩽ - 2$ є правильним.

Відповідь:

Хибна нерівність — Б ( $- 3 < - 5$ ).

Завдання 5

Порівняння чисел (записи та дроби)

Порівняй пари чисел:
а) $1, 28$ і $\frac{5}{4}$ ;
б) $0, 02$ і $1 \frac{1}{50}$ ;
в) $- \frac{1}{3}$ і $- 0, 33$ ;
г) $1, 6$ і $\frac{5}{3}$ .

Розв’язання

а) $\frac{5}{4} = 1, 25$ . Порівнюємо $1, 28$ і $1, 25$ : число $1, 28$ більше за $1, 25$ , отже $1, 28 > \frac{5}{4}$ .
б) $1 \frac{1}{50} = 1 + 0, 02 = 1, 02$ . Порівнюємо $0, 02$ і $1, 02$ : число $0, 02$ менше за $1, 02$ , отже $0, 02 < 1 \frac{1}{50}$ .
в) Переведемо дріб у десятковий: $- \frac{1}{3} \approx - 0, 333 \dots$ . Порівнюємо $- 0, 33$ і $- 0, 333 \dots$ : число $- 0, 33$ більше за $- 0, 333 \dots$ , отже $- \frac{1}{3} < - 0, 33$ .
г) $\frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3} \approx 1, 66 \dots$ . Порівнюємо $1, 6$ і $1, 66 \dots$ : число $1, 6$ менше за $\frac{5}{3}$ , отже $1, 6 < \frac{5}{3}$ .

Відповідь:

а) $1, 28 > \frac{5}{4}$ ; б) $0, 02 < 1 \frac{1}{50}$ ; в) $- \frac{1}{3} < - 0, 33$ ; г) $1, 6 < \frac{5}{3}$ .

Завдання 6

Порівняння дробів

Порівняй пари дробів:
а) $\frac{5}{7}$ і $\frac{3}{7}$ ;
б) $- \frac{4}{3}$ і $- \frac{4}{5}$ ;
в) $\frac{5}{6}$ і $\frac{6}{7}$ ;
г) $- \frac{7}{13}$ і $- \frac{13}{27}$ .

Розв’язання

а) Знаменники однакові ( $7$ ). Порівнюємо чисельники: $5 > 3$ , отже $\frac{5}{7} > \frac{3}{7}$ .
б) Обидва дроби від'ємні. Порівняємо модулі: $\frac{4}{3} \approx 1, 33$ і $\frac{4}{5} = 0, 8$ . Оскільки $1, 33 > 0, 8$ , то модуль першого дробу більший. Для від'ємних чисел це означає, що $- \frac{4}{3} < - \frac{4}{5}$ .
в) Знайдемо спільний знаменник (множник 42): $\frac{5}{6} = \frac{35}{42}$ і $\frac{6}{7} = \frac{36}{42}$ . Оскільки $35 < 36$ , то $\frac{5}{6} < \frac{6}{7}$ .
г) Переведемо дроби у десяткові: $- \frac{7}{13} \approx - 0, 538$ і $- \frac{13}{27} \approx - 0, 481$ . Оскільки $- 0, 538 < - 0, 481$ , то $- \frac{7}{13} < - \frac{13}{27}$ .

Відповідь:

а) $\frac{5}{7} > \frac{3}{7}$ ; б) $- \frac{4}{3} < - \frac{4}{5}$ ; в) $\frac{5}{6} < \frac{6}{7}$ ; г) $- \frac{7}{13} < - \frac{13}{27}$ .

Завдання 7

Порівняння числа та його оберненого

Чи завжди значення $\frac{1}{x}$ менше за відповідне значення $x$ ?

Розв’язання

Розглянемо випадок, коли $x = 2$ . Тоді $\frac{1}{x} = \frac{1}{2} = 0, 5$ . Порівнюємо: $0, 5 < 2$ , тобто $\frac{1}{x} < x$ виконується.
Розглянемо випадок, коли $x = 0, 5$ . Тоді $\frac{1}{x} = \frac{1}{0 , 5} = 2$ . Порівнюємо: $2 > 0, 5$ , тобто $\frac{1}{x} > x$ .
Оскільки знайшли випадок, коли значення $\frac{1}{x}$ більше за значення $x$ , твердження про те, що це завжди так, є неправильним.

Відповідь:

Ні, значення $\frac{1}{x}$ не завжди менше за $x$ (наприклад, якщо $x = 0, 5$ , то $\frac{1}{x} = 2 > 0, 5$ ).

Завдання 8

Значення дорожнього знака

Поясни значення дорожнього знака з цифрою «4,5» та літерою «М», показаного на малюнку.

Розв’язання

Знак має форму круга червоного кольору з білим фоном, що означає обов'язкове дотримання обмеження.
Цифра «4,5» вказує на висоту проїзду під мостом або естакадою.
Літера «М» (від слова «міст») підтверджує, що це обмеження висоти для автомобіля.

Відповідь:

Це знак обмеження висоти проїзду під мостом; висота вільного простору становить 4,5 метра.

Сторінка 9

Завдання 9

Гра з порівняння дробових чисел

Один учень записує два дробові числа, інший має їх порівняти. Після цього учні міняються ролями.

Розв’язання

Запишемо перші два дроби, наприклад $x = \frac{3}{4} = 0, 75$ і $y = \frac{5}{6} \approx 0, 83$ .
Порівнюємо отримані числа: $0, 75 < 0, 83$ , отже $\frac{3}{4} < \frac{5}{6}$ .

Відповідь:

Гра полягає у тому, щоб записати два дроби та визначити їхнє співвідношення (більше/менше).

Завдання 10

Порівняння чисел

a

b

за різницею

а) $a - b = 0, 01$ ; б) $a - b = - 3, 7$ ; в) $a = 2, 3 + b$ ; г) $b - a = (- 3)^{2}$ ; д) $a - b = 0$ ; е) $b = a + 1$ .

Розв’язання

а) $a - b = 0, 01 > 0$ , отже $a > b$ .
б) $a - b = - 3, 7 < 0$ , отже $a < b$ .
в) $a - b = 2, 3 > 0$ , отже $a > b$ .
г) $b - a = (- 3)^{2} = 9 \Rightarrow - (a - b) = 9 \Rightarrow a - b = - 9 < 0$ , отже $a < b$ .
д) $a - b = 0$ , отже $a = b$ .
е) $b - a = 1 > 0 \Rightarrow a - b = - 1 < 0$ , отже $a < b$ (або $b > a$ ).

Відповідь:

а) $a > b$ ; б) $a < b$ ; в) $a > b$ ; г) $a < b$ ; д) $a = b$ ; е) $b > a$ .

Завдання 11

Порівняння чисел

m

n

за виразами

а) $m - n = 0, 5$ ; б) $n - m = 5$ ; в) $m - 4 = n$ ; г) $m + 3 = n$ .

Розв’язання

а) $m - n = 0, 5 > 0$ , отже $m > n$ .
б) $n - m = 5 \Rightarrow - (m - n) = 5 \Rightarrow m - n = - 5 < 0$ , отже $m < n$ .
в) $m - n = 4 > 0$ , отже $m > n$ .
г) $m - n = - 3 < 0$ , отже $m < n$ .

Відповідь:

а) $m > n$ ; б) $m < n$ ; в) $m > n$ ; г) $m < n$ .

Завдання 12

Перевірка правильності нерівностей

Дано чотири твердження про порівняння чисел та виразів, потрібно визначити, які з них є істинними.
а) $- 7 > - 5$ ; б) $4, 3 ⩾ - 3, 4$ ; в) $5 ⩽ π$ ; г) $\frac{1}{0 , 5} > 0, 5$ ; ґ) $2 \frac{1}{4} ⩾ 1, 5$ ; д) $π ⩽ 3, 14$ .

Розв’язання

Порівнюємо числа в пунктах а) і б): $- 7$ менше за $- 5$ , отже $- 7 > - 5$ — хибно; $4, 3$ більше за $- 3, 4$ , тому $4, 3 ⩾ - 3, 4$ — істинно.
Оцінюємо корені в пунктах в) та ґ): $5$ приблизно дорівнює $2, 23$ , а $π \approx 3, 14$ , отже $2, 23 < 3, 14$ (нерівність істинна); $2, 25 = 1, 5$ , тому $1, 5 ⩾ 1, 5$ — істинно.
Перевіряємо дріб у пункті г): $\frac{1}{0 , 5} = 2$ , а $2 > 0, 5$ , отже нерівність істинна.
Порівнюємо $π$ з $3, 14$ : оскільки $π \approx 3, 14159 \dots$ , то $π > 3, 14$ , отже $π ⩽ 3, 14$ — хибно.

Відповідь:

Правильні нерівності: б), в), г), ґ).

Завдання 13

Порівняння дробів та десяткових чисел

Необхідно порівняти пари чисел, використовуючи знаки $>$ або $<$ .
а) $\frac{10}{11}$ і $\frac{19}{20}$ ; б) $\frac{28}{29}$ і $\frac{29}{30}$ ; в) $\frac{48}{49}$ і $0, 98$ ; г) $- \frac{7}{9}$ і $- \frac{9}{7}$ ; ґ) $\frac{2}{15}$ і $\frac{9}{17}$ ; д) $- \frac{5}{7}$ і $- \frac{1}{3}$ .

Розв’язання

Порівнюємо $\frac{10}{11} \approx 0, 909$ і $\frac{19}{20} = 0, 95$ : $0, 909 < 0, 95$ , отже $\frac{10}{11} < \frac{19}{20}$ .
Порівнюємо $\frac{28}{29} \approx 0, 965$ і $\frac{29}{30} \approx 0, 966$ : $\frac{28}{29} < \frac{29}{30}$ .
Порівнюємо $\frac{48}{49} \approx 0, 979$ і $0, 98$ : $0, 979 < 0, 98$ , отже $\frac{48}{49} < 0, 98$ .
Порівнюємо $- \frac{7}{9} \approx - 0, 77$ і $- \frac{9}{7} \approx - 1, 28$ : модуль першого менший, отже число більше: $- \frac{7}{9} > - \frac{9}{7}$ .
Порівнюємо $\frac{2}{15} \approx 0, 133$ і $\frac{9}{17} \approx 0, 529$ : $\frac{2}{15} < \frac{9}{17}$ .
Порівнюємо $- \frac{5}{7} \approx - 0, 71$ і $- \frac{1}{3} \approx - 0, 33$ : модуль першого більший, отже число менше: $- \frac{5}{7} < - \frac{1}{3}$ .

Відповідь:

а) $\frac{10}{11} < \frac{19}{20}$ ; б) $\frac{28}{29} < \frac{29}{30}$ ; в) $\frac{48}{49} < 0, 98$ ; г) $- \frac{7}{9} > - \frac{9}{7}$ ; ґ) $\frac{2}{15} < \frac{9}{17}$ ; д) $- \frac{5}{7} < - \frac{1}{3}$ .

Завдання 14

Вибір правильної нерівності (НМТ)

Дано п'ять варіантів порівняння дробів, потрібно знайти той, який є істинним.
А $\frac{3}{8} > \frac{5}{8}$ ; Б $\frac{7}{2} < \frac{7}{3}$ ; В $\frac{8}{9} > \frac{9}{8}$ ; Г $\frac{5}{6} > \frac{4}{5}$ ; Д $\frac{19}{21} < \frac{6}{7}$ .

Розв’язання

Варіант А: $\frac{3}{8}$ і $\frac{5}{8}$ мають однаковий знаменник, чисельник $3 < 5$ , отже $\frac{3}{8} < \frac{5}{8}$ (варіант хибний).
Варіант Б: $\frac{7}{2} = 3, 5$ і $\frac{7}{3} \approx 2, 33$ . Оскільки $3, 5 > 2, 33$ , то $\frac{7}{2} > \frac{7}{3}$ (варіант хибний).
Варіант В: $\frac{8}{9} < 1$ і $\frac{9}{8} > 1$ , отже $\frac{8}{9} < \frac{9}{8}$ (варіант хибний).
Варіант Г: Приведемо до спільного знаменника $30$ : $\frac{5}{6} = \frac{25}{30}$ і $\frac{4}{5} = \frac{24}{30}$ . Оскільки $25 > 24$ , то $\frac{5}{6} > \frac{4}{5}$ (варіант істинний).
Варіант Д: Приведемо до спільного знаменника $21$ : $\frac{19}{21}$ і $\frac{6}{7} = \frac{18}{21}$ . Оскільки $19 > 18$ , то $\frac{19}{21} > \frac{6}{7}$ (варіант хибний).

Відповідь:

Правильна нерівність — Г.

Завдання 15

Автобуси та місця

Перший автобус має 38 місць, другий — на 4 місця більше. Чи вистачить місць у обох автобусах для 79 учнів? Записати нерівності та зробити висновок.

Розв’язання

Знайдемо кількість місць у другому автобусі: $38 + 4 = 42$ місця.
Обчислимо загальну кількість місць у двох автобусах: $38 + 42 = 80$ місць.
Порівняємо загальну кількість місць з кількістю учнів: $80 > 79$ .

Відповідь:

Так, місця вистачає ( $80 > 79$ ).

Завдання 16

Підручники для учнів

У бібліотеці 45 підручників з математики, у кабінеті — на 7 менше. Чи вистачить цих підручників роздати 80 учням? Записати нерівності та зробити висновок.

Розв’язання

Кількість підручників у кабінеті: $45 - 7 = 38$ .
Загальна кількість підручників: $45 + 38 = 83$ .
Порівняємо з кількістю учнів: $83 > 80$ .

Відповідь:

Так, підручників вистачає ( $83 > 80$ ).

Завдання 17

Координатна пряма та нерівності

Точки $A (a)$ , $C (c)$ , $B (b)$ розміщені на координатній прямій зліва направо. Визначити найбільше і найменше числа, а також перевірити правильність нерівностей: а) $a < b$ ; б) $b < c$ ; в) $c < a$ ; г) $b ⩾ c$ .

Розв’язання

З малюнка видно порядок точок зліва направо: $A (a)$ , $C (c)$ , $B (b)$ . Отже, $a < c < b$ .
Найбільше число — це $b$ (точка $B$ правіша за всі інші). Найменше число — це $a$ (точка $A$ ліворуч від усіх інших).
Перевіримо нерівності: а) $a < b$ — справджується, бо $a$ менше за $b$ . б) $b < c$ — хибна, бо $b > c$ . в) $c < a$ — хибна, бо $c > a$ . г) $b ⩾ c$ — справджується, бо $b > c$ .

Відповідь:

Найбільше число $b$ , найменше $a$ . Нерівності правильні: а) так; б) ні; в) ні; г) так.

Завдання 18

Порівняння чисел на координатній прямій

Точки з координатами $m, n, p, k$ розміщені на координатній прямій (Мал. 1.4) у порядку зростання відліку: $M (m)$ , $N (n)$ , $P (p)$ , $K (k)$ . Потрібно поставити знак ( $<$ або $>$ ) у виразах: а) $m * p$ ; б) $n * k$ ; в) $k * m$ ; г) $p * n$ .

Розв’язання

За малюнком 1.4 порядок точок та їхніх координат: $m$ (ліво), $n$ , $p$ , $k$ (право). Отже, $m < n < p < k$ .
а) Порівнюємо $m$ і $p$ : оскільки $m$ лівіше $p$ , то $m < p$ .
б) Порівнюємо $n$ і $k$ : оскільки $n$ лівіше $k$ , то $n < k$ .
в) Порівнюємо $k$ і $m$ : оскільки $k$ правіше $m$ , то $k > m$ .
г) Порівнюємо $p$ і $n$ : оскільки $p$ правіше $n$ , то $p > n$ .

Відповідь:

а) $<$ ; б) $<$ ; в) $>$ ; г) $>$ .

Сторінка 10

Завдання 19

Розміщення чисел за спаданням

Розставити числа у порядку спадання (від найбільшого до найменшого): $3, 1$ ; $π$ ; $10$ ; $2 + 2$ ; $5 - 3$ .

Розв’язання

Оцінимо числа: $5 - 3 \approx 5 - 1, 73 = 3, 27$ ; $2 + 2 \approx 2 + 1, 41 = 3, 41$ ; $10 \approx 3, 16$ ; $π \approx 3, 14$ ; $3, 1$ .
Порівняємо отримані значення: $3, 41 > 3, 27 > 3, 16 > 3, 14 > 3, 1$ .

Відповідь:

$2 + 2 > 5 - 3 > 10 > π > 3, 1$ .

Завдання 20

Гра на впорядкування чисел

Троє учнів записують числа, а четвертий має розмістити їх у порядку зростання. (Це завдання для роботи в парах або групах).

Розв’язання

Запишемо прикладний набір чисел: $10$ , $- 5$ , $0, 5$ .
Порівняємо їх: $- 5 < 0, 5 < 10$ .

Відповідь:

Приклад правильної відповіді для набору ${10, - 5, 0, 5}$ : $- 5; 0, 5; 10$ . (Учні самостійно обирають числа).

Завдання 21

Розміщення чисел за зростанням

Розставити числа у порядку зростання (від найменшого до найбільшого): $2$ ; $5$ ; $- 12$ ; $2 \frac{1}{2}$ ; $0$ ; $- π$ .

Розв’язання

Від'ємні числа: $- 12$ і $- π$ . Оскільки $∣ - 12∣ > ∣ - π ∣$ , то $- 12 < - π$ .
Ненегативні числа: $0 < 2 < 5 (\approx 2, 24) < 2, 5$ .
Об'єднаємо всі частини в одну послідовність.

Відповідь:

$- 12; - π; 0; 2; 5; 2 \frac{1}{2}$ .

Завдання 22

Порівняння чисел

Яке з чисел найбільше? $1, 5$ ; $1 \frac{29}{50}$ ; $\frac{π}{2}$ ; $10 : 2$ ; $7 \cdot 0, 5$ .

Розв’язання

Перетворимо мішані дроби та вирази на десяткові дробі: $1 \frac{29}{50} = 1, 58$ ; $10 : 2 \approx 3, 16 : 2 = 1, 58$ ; $7 \cdot 0, 5 \approx 2, 646 \cdot 0, 5 = 1, 323$ .
Порівняємо значення з мікрою: $1, 5 < 1, 58$ ; $\frac{π}{2} \approx \frac{3 , 14}{2} = 1, 57$ .
Порівняємо отримані числа: $1, 323 < 1, 5 < 1, 57 < 1, 58$ .

Відповідь:

Найбільше число — $1 \frac{29}{50}$ (або $10 : 2$ , оскільки вони майже рівні, але точніше $1 \frac{29}{50} = 1, 58$ ).

Завдання 23

Кількість дробів із знаменником 28

Визнач кількість усіх дробів зі знаменником 28, які більші за $\frac{4}{7}$ , але менші від $\frac{3}{4}$ .

Розв’язання

Приведемо межі до знаменника 28: $\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{16}{28}$ ; $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 7} = \frac{21}{28}$ .
Знайдемо цілі числа, які задовольняють умову: $16 < x < 21$ . Ці числа: $17, 18, 19, 20$ .
Порахуємо кількість таких чисел: всього їх 4 ( $\frac{17}{28}, \frac{18}{28}, \frac{19}{28}, \frac{20}{28}$ ).

Відповідь:

Чотири (Варіант Б).

Завдання 24

Порівняння виразів за значенням змінної

Порівняй значення виразів $A = 2 x + 3$ і $B = 3 x - 2$ , якщо: а) $x = - 1$ ; б) $x = 0$ ; в) $x = 5$ ; г) $x = 7$ .

Розв’язання

При $x = - 1$ : $A = 2 (- 1) + 3 = 1$ , $B = 3 (- 1) - 2 = - 5$ . Отже, $A > B$ .
При $x = 0$ : $A = 2 (0) + 3 = 3$ , $B = 3 (0) - 2 = - 2$ . Отже, $A > B$ .
При $x = 5$ : $A = 2 (5) + 3 = 13$ , $B = 3 (5) - 2 = 13$ . Отже, $A = B$ .
При $x = 7$ : $A = 2 (7) + 3 = 17$ , $B = 3 (7) - 2 = 19$ . Отже, $A < B$ .

Відповідь:

а) $A > B$ ; б) $A > B$ ; в) $A = B$ ; г) $A < B$ .

Завдання 25

Порівняння значень лінійної функції

Дано функцію $y = 2 x - 1$ . Потрібно порівняти значення функції при різних парах аргументів:
а) $x = 1$ і $x = 2$ ;
б) $x = - 1$ і $x = - 2$ ;
в) $x = 0, 1$ і $x = 0, 2$ .

Розв’язання

а) Підставимо $x = 1$ : $y_{1} = 2 \cdot 1 - 1 = 1$ . Підставимо $x = 2$ : $y_{2} = 2 \cdot 2 - 1 = 3$ . Оскільки $1 < 3$ , то значення при $x = 1$ менше за значення при $x = 2$ .
б) Підставимо $x = - 1$ : $y_{3} = 2 \cdot (- 1) - 1 = - 3$ . Підставимо $x = - 2$ : $y_{4} = 2 \cdot (- 2) - 1 = - 5$ . Оскільки $- 3 > - 5$ , то значення при $x = - 1$ більше за значення при $x = - 2$ .
в) Підставимо $x = 0, 1$ : $y_{5} = 2 \cdot 0, 1 - 1 = 0, 2 - 1 = - 0, 8$ . Підставимо $x = 0, 2$ : $y_{6} = 2 \cdot 0, 2 - 1 = 0, 4 - 1 = - 0, 6$ . Оскільки $- 0, 8 < - 0, 6$ , то значення при $x = 0, 1$ менше за значення при $x = 0, 2$ .

Відповідь:

а) значення зростають ( $y_{1} < y_{2}$ ); б) значення спадають ( $y_{3} > y_{4}$ ); в) значення зростають ( $y_{5} < y_{6}$ ).

Завдання 26

Порівняння значень квадратичної функції

Дано функцію $y = x^{2}$ . Потрібно порівняти значення функції при різних парах аргументів:
а) $x = - 20$ і $x = 20$ ;
б) $x = - 2$ і $x = - 1$ ;
в) $x = - 8$ і $x = 0$ .

Розв’язання

а) При $x = - 20$ : $y_{1} = (- 20)^{2} = 400$ . При $x = 20$ : $y_{2} = 2 0^{2} = 400$ . Отже, $y_{1} = y_{2}$ .
б) При $x = - 2$ : $y_{3} = (- 2)^{2} = 4$ . При $x = - 1$ : $y_{4} = (- 1)^{2} = 1$ . Оскільки $4 > 1$ , значення при $x = - 2$ більше за значення при $x = - 1$ .
в) При $x = - 8$ : $y_{5} = (- 8)^{2} = 64$ . При $x = 0$ : $y_{6} = 0^{2} = 0$ . Оскільки $64 > 0$ , значення при $x = - 8$ більше за значення при $x = 0$ .

Відповідь:

а) $y (- 20) = y (20)$ ; б) $y (- 2) > y (- 1)$ ; в) $y (- 8) > y (0)$ .

Завдання 27

Перевірка правильності нерівності при заданих значеннях змінної

Дано нерівність $3 x - 2 < 7$ . Потрібно перевірити, чи є ці нерівності правильними для наступних значень $x$ :
а) $x = 4$ ;
б) $x = 3$ ;
в) $x = 2$ ;
г) $x = 0$ .

Розв’язання

а) При $x = 4$ : $3 \cdot 4 - 2 = 12 - 2 = 10$ . Порівнюємо з 7: $10 < 7$ — хибно.
б) При $x = 3$ : $3 \cdot 3 - 2 = 9 - 2 = 7$ . Порівнюємо з 7: $7 < 7$ — хибно (бо число не менше за себе).
в) При $x = 2$ : $3 \cdot 2 - 2 = 6 - 2 = 4$ . Порівнюємо з 7: $4 < 7$ — правильно.
г) При $x = 0$ : $3 \cdot 0 - 2 = 0 - 2 = - 2$ . Порівнюємо з 7: $- 2 < 7$ — правильно.

Відповідь:

а) неправильно; б) неправильно; в) правильно; г) правильно.

Завдання 28

Перевірка нерівностей при заданому значенні змінної

Знайти правильну нерівність серед варіантів А, Б, В за умови $x = 10$ . Варіанти:
А) $0, 5 x + 1 > 3$
Б) $- 7 x + 3 < x$
В) $3 - x \geq x - 17$

Розв’язання

Перевіримо варіант А: підставимо $x = 10$ у вираз $0, 5 x + 1$ . Отримаємо $0, 5 \cdot 10 + 1 = 6$ . Порівняємо з правою частиною ( $3$ ). Оскільки $6 > 3$ , нерівність А є правильною.
Перевіримо варіант Б для повноти: підставимо $x = 10$ у вираз $- 7 x + 3$ . Отримаємо $- 7 \cdot 10 + 3 = - 67$ . Право частина ( $x$ ) дорівнює $10$ . Оскільки $- 67 < 10$ , нерівність Б також є правильною.
Перевіримо варіант В: підставимо $x = 10$ у вираз $3 - x$ . Отримаємо $3 - 10 = - 7$ . Право частина ( $x - 17$ ) дорівнює $10 - 17 = - 7$ . Оскільки $- 7 \geq - 7$ , нерівність В також є правильною.

Відповідь:

Правильні всі три нерівності: А, Б, В.

Завдання 29

Знаходження прикладних значень змінної для нерівностей

Доберіть кілька цілих значень $x$ , які задовольняють нерівності:
а) $2 x + 3 < 0$
б) $3 - x^{2} > 0$
в) $x + \frac{1}{x} < 1$

Розв’язання

Для а) $2 x + 3 < 0$ : віднімемо 3 від обох частин ( $2 x < - 3$ ), поділимо на 2 ( $x < - 1, 5$ ). Цілі числа, що підходять: $- 2, - 3, - 4 \dots$ .
Для б) $3 - x^{2} > 0$ : перенесемо $x^{2}$ у праву частину ( $x^{2} < 3$ ). Коріння з 3 приблизно $1, 73$ , отже $- 1, 73 < x < 1, 73$ . Цілі числа: $- 1, 0, 1$ .
Для в) $x + \frac{1}{x} < 1$ : спробуємо підставити прості цілі числа. Якщо $x = - 1$ , то $- 1 + (- 1) = - 2 < 1$ (підходить). Якщо $x = 1$ , то $1 + 1 = 2 \neq < 1$ . Якщо $x = 2$ , то $2 + 0, 5 = 2, 5 \neq < 1$ . Якщо $x = - 2$ , то $- 2 - 0, 5 = - 2, 5 < 1$ (підходить).

Відповідь:

а) $x = - 2, - 3, - 4 \dots$ ; б) $x = - 1, 0, 1$ ; в) $x = - 2, - 3, - 4 \dots$ .

Завдання 30

Розв'язання лінійних нерівностей для цілих чисел

Знайти кілька цілих значень змінної $n$ , що задовольняють нерівності:
а) $3 n - 2 > 2 n - 3$
б) $5 n + 8 \leq 8 n - 1$

Розв’язання

Для а) $3 n - 2 > 2 n - 3$ : віднімемо $2 n$ від обох частин ( $n - 2 > - 3$ ), додамо 2 ( $n > - 1$ ). Цілі числа, що підходять: $0, 1, 2 \dots$ .
Для б) $5 n + 8 \leq 8 n - 1$ : віднімемо $5 n$ від обох частин ( $8 \leq 3 n - 1$ ), додамо 1 ( $9 \leq 3 n$ ), поділимо на 3 ( $3 \leq n$ або $n \geq 3$ ). Цілі числа, що підходять: $3, 4, 5 \dots$ .

Відповідь:

а) $n = 0, 1, 2 \dots$ ; б) $n = 3, 4, 5 \dots$ .

Завдання 31

Порядок чисел (зростання)

Записати числа у порядку зростання: $(- π)^{2}$ ; $2$ ; $- 1^{2}$ ; $1 \frac{2}{3}$ ; $- 3$ ; $\frac{π}{2}$ ; $(- 2)^{3}$ ; $81$ ; $- 5$ ; $(- 3)^{0}$ .

Розв’язання

Спрощуємо числа: $(- π)^{2} \approx 9, 86$ ; $2 \approx 1, 41$ ; $- 1^{2} = - 1$ ; $1 \frac{2}{3} \approx 1, 67$ ; $- 3 \approx - 1, 73$ ; $\frac{π}{2} \approx 1, 57$ ; $(- 2)^{3} = - 8$ ; $81 = 9$ ; $- 5$ ; $(- 3)^{0} = 1$ .
Групуємо від'ємні числа: $- 8$ , $- 5$ , $- 1, 73$ , $- 1$ . Співставляємо їх: $- 8 < - 5 < - 3 < - 1$ .
Групуємо додатні числа: $1$ , $1, 41$ , $1, 57$ , $1, 67$ , $9, 86$ , $9$ . Співставляємо їх: $1 < 2 < \frac{π}{2} < 1 \frac{2}{3} < (- π)^{2} < 81$ .
Об'єднуємо списки в один рядок від найменшого до найбільшого.

Відповідь:

$(- 2)^{3}$ ; $- 5$ ; $- 3$ ; $- 1^{2}$ ; $(- 3)^{0}$ ; $2$ ; $\frac{π}{2}$ ; $1 \frac{2}{3}$ ; $(- π)^{2}$ ; $81$ .

Завдання 32

Порядок чисел (спадання)

Записати числа у порядку спадання: $- 2 π$ ; $10$ ; $29 7^{0}$ ; $(- \frac{5}{2})^{2}$ ; $\frac{1}{0 , 3}$ ; $\frac{π}{10}$ ; $0^{297}$ ; $(- 2)^{5}$ ; $π$ ; $- \frac{25}{4}$ .

Розв’язання

Спрощуємо числа: $- 2 π \approx - 6, 28$ ; $10 \approx 3, 16$ ; $29 7^{0} = 1$ ; $(- \frac{5}{2})^{2} = \frac{25}{4} = 6, 25$ ; $\frac{1}{0 , 3} = \frac{10}{3} \approx 3, 33$ ; $\frac{π}{10} \approx 0, 31$ ; $0^{297} = 0$ ; $(- 2)^{5} = - 32$ ; $π \approx 3, 14$ ; $- \frac{25}{4} = - 6, 25$ .
Визначаємо найбільше число: $\frac{1}{0 , 3} \approx 3, 33$ , але є ще $6, 25$ та $3, 16$ . Порівняння: $\frac{25}{4} = 6, 25$ , $10 \approx 3, 16$ , $π \approx 3, 14$ , $\frac{π}{10} \approx 0, 31$ , $1$ , $0$ .
Визначаємо найменше число: $- 32$ (найбільш від'ємне), далі $- 6, 28$ , потім $- 6, 25$ .
Сортуємо числа від найбільшого до найменшого: $\frac{1}{0 , 3}$ ; $(- \frac{5}{2})^{2}$ ; $10$ ; $π$ ; $\frac{π}{10}$ ; $29 7^{0}$ ; $0^{297}$ ; $- 2 π$ ; $- \frac{25}{4}$ ; $(- 2)^{5}$ .

Відповідь:

$\frac{1}{0 , 3}$ ; $(- \frac{5}{2})^{2}$ ; $10$ ; $π$ ; $\frac{π}{10}$ ; $29 7^{0}$ ; $0^{297}$ ; $- 2 π$ ; $- \frac{25}{4}$ ; $(- 2)^{5}$ .

Сторінка 11

Завдання 33

Порівняння дробу та десяткових чисел

Розташуй у порядку зростання числа $\frac{1}{9}$ ; $0, 1$ ; $0, 11$ .

Розв’язання

Перетворимо дріб $\frac{1}{9}$ на десятковий: $1 \div 9 = 0, 111 \dots$ , тобто $\frac{1}{9} > 0, 11$ .
Порівняємо числа: $0, 1 < 0, 11 < 0, 111 \dots$ (тобто $0, 1 < 0, 11 < \frac{1}{9}$ ).

Відповідь:

Правильна відповідь — Г ( $0, 1; \frac{1}{9}; 0, 11$ ).

Завдання 34

Аналіз діапазону температур

Вночі температура була не нижче $- 5^{\circ} C$ , вдень — не вище $1 2^{\circ} C$ . Чи могла різниця між максимальною і мінімальною температурою за добу бути більшою за $1 8^{\circ} C$ ? Запиши відповідні числові нерівності та зроби висновок.

Розв’язання

Позначимо мінімальну температуру як $t_{m i n} \geq - 5$ і максимальну як $t_{m a x} \leq 12$ .
Найбільша можлива різниця досягається, коли $t_{m i n}$ найменше ( $- 5$ ) і $t_{m a x}$ найбільше ( $12$ ).
Обчислимо максимальну різницю: $12 - (- 5) = 12 + 5 = 17$ .
Порівняємо отримане значення з $18$ : оскільки $17 < 18$ , то різниця не могла бути більшою за $1 8^{\circ} C$ .

Відповідь:

Ні, різниця не могла бути більшою за $1 8^{\circ} C$ (максимальна можлива різниця дорівнює $1 7^{\circ} C$ ).

Завдання 35

Аналіз діапазону температур (ранок-день)

Вранці температура була не нижче $- 3^{\circ} C$ , вдень — не вище $1 0^{\circ} C$ . Чи могла різниця температур за добу бути більшою за $1 4^{\circ} C$ ? Запиши відповідні числові нерівності і зроби висновок.

Розв’язання

Позначимо мінімальну температуру як $t_{m i n} \geq - 3$ і максимальну як $t_{m a x} \leq 10$ .
Знайдемо максимально можливу різницю: $10 - (- 3) = 10 + 3 = 13$ .
Порівняємо отримане значення з $14$ : оскільки $13 < 14$ , то різниця не могла бути більшою за $1 4^{\circ} C$ .

Відповідь:

Ні, різниця не могла бути більшою за $1 4^{\circ} C$ (максимальна можлива різниця дорівнює $1 3^{\circ} C$ ).

Завдання 36

Порівняння виразів за значенням змінної

Дано вирази $A = 5 m + 1$ та $B = 19 - 3 m$ . Потрібно знайти значення $A$ і $B$ та порівняти їх для випадків: а) $m = 2$ ; б) $m = 7$ ; в) $m = - \frac{1}{2}$ ; г) $m = 1 + 3$ .

Розв’язання

а) При $m = 2$ : $A = 5 \cdot 2 + 1 = 11$ , $B = 19 - 3 \cdot 2 = 13$ . Оскільки $11 < 13$ , то $A < B$ .
б) При $m = 7$ : $7 \approx 2, 65$ . $A = 57 + 1 \approx 14, 25$ , $B = 19 - 37 \approx 10, 35$ . Отже, $A > B$ .
в) При $m = - \frac{1}{2}$ : $A = 5 (- \frac{1}{2}) + 1 = - 2, 5$ , $B = 19 - 3 (- \frac{1}{2}) = 20, 5$ . Отже, $A < B$ .
г) При $m = 1 + 3$ : $A = 5 (1 + 3) + 1 = 6 + 53 \approx 14, 66$ , $B = 19 - 3 (1 + 3) = 16 - 33 \approx 10, 8$ . Отже, $A > B$ .

Відповідь:

а) $A < B$ ; б) $A > B$ ; в) $A < B$ ; г) $A > B$ .

Завдання 37

Порівняння значень функцій

Дано функції $y_{1} = 12 + 45 x$ та $y_{2} = \frac{12}{x}$ . Потрібно знайти значення функцій і порівняти їх для випадків: а) $x = \frac{3}{5}$ ; б) $x = - \frac{1}{2}$ ; в) $x = - \frac{2}{3}$ ; г) $x = \frac{2}{5}$ .

Розв’язання

а) При $x = \frac{3}{5}$ : $y_{1} = 12 + 45 \cdot \frac{3}{5} = 12 + 27 = 39$ , $y_{2} = \frac{12}{0 , 6} = 20$ . Оскільки $39 > 20$ , то $y_{1} > y_{2}$ .
б) При $x = - \frac{1}{2}$ : $y_{1} = 12 + 45 (- \frac{1}{2}) = - 10, 5$ , $y_{2} = \frac{12}{- 0 , 5} = - 24$ . Оскільки $- 10, 5 > - 24$ , то $y_{1} > y_{2}$ .
в) При $x = - \frac{2}{3}$ : $y_{1} = 12 + 45 (- \frac{2}{3}) = - 18$ , $y_{2} = \frac{12}{- 2/3} = - 18$ . Отже, $y_{1} = y_{2}$ .
г) При $x = \frac{2}{5}$ : $y_{1} = 12 + 45 \cdot \frac{2}{5} = 24$ , $y_{2} = \frac{12}{0 , 4} = 30$ . Оскільки $24 < 30$ , то $y_{1} < y_{2}$ .

Відповідь:

а) $y_{1} > y_{2}$ ; б) $y_{1} > y_{2}$ ; в) $y_{1} = y_{2}$ ; г) $y_{1} < y_{2}$ .

Завдання 38

Доведення нерівності з степенями

Потрібно довести, що сума двох чисел $1 0^{11}$ та $- 1 0^{10}$ більша за суму чисел $1 0^{10}$ та $1 0^{9}$ . Тобто треба перевірити правильність нерівності $1 0^{11} - 1 0^{10} > 1 0^{10} + 1 0^{9}$ .

Розв’язання

Перетворимо ліву частину: $1 0^{11} - 1 0^{10} = 10 \cdot 1 0^{10} - 1 \cdot 1 0^{10} = (10 - 1) \cdot 1 0^{10} = 9 \cdot 1 0^{10}$ .
Перетворимо праву частину: $1 0^{10} + 1 0^{9} = 10 \cdot 1 0^{9} + 1 \cdot 1 0^{9} = (10 + 1) \cdot 1 0^{9} = 11 \cdot 1 0^{9}$ .
Порівняємо $9 \cdot 1 0^{10}$ та $11 \cdot 1 0^{9}$ . Перепишемо друге число як $1, 1 \cdot 1 0^{10}$ . Оскільки $9 > 1, 1$ , то $9 \cdot 1 0^{10} > 1, 1 \cdot 1 0^{10}$ .

Відповідь:

Нерівність вірна, оскільки $9 \cdot 1 0^{10} > 11 \cdot 1 0^{9}$ .

Завдання 39

Порівняння великих степенів

Знайти, яка різниця більша і в скільки разів: $202 5^{2026} - 202 5^{2025}$ чи $202 5^{2025} - 202 5^{2024}$ .

Розв’язання

Перепишемо першу різницю, винесши $202 5^{2025}$ за дужки: $202 5^{2025} (2025 - 1) = 202 5^{2025} \cdot 2024$ .
Перепишемо другу різницю, винесши $202 5^{2024}$ за дужки: $202 5^{2024} (2025 - 1) = 202 5^{2024} \cdot 2024$ .
Порівнюємо отримані вирази: $202 5^{2025} \cdot 2024$ проти $202 5^{2024} \cdot 2024$ . Оскільки множник $2024$ однаковий, порівнюємо степені: $202 5^{2025}$ більше за $202 5^{2024}$ .

Відповідь:

Більша різниця — перша ( $202 5^{2026} - 202 5^{2025}$ ), вона більша за другу в $2025$ разів.

Завдання 40

Перевірка нерівностей для будь-якого c

Визначити, чи є правильними нерівності при всіх дійсних значеннях $c$ : а) $c^{2} + 3 > 0$ ; б) $(c + 2)^{2} > 0$ ; в) $(c - 1)^{2} \geq 0$ .

Розв’язання

Для а): $c^{2} \geq 0$ для будь-якого $c$ , отже $c^{2} + 3 \geq 3 > 0$ . Нерівність завжди вірна.
Для б): $(c + 2)^{2} \geq 0$ . Ця величина дорівнює нулю, коли $c = - 2$ . Тому нерівність строго більша за нуль не виконується для всіх $c$ (наприклад, при $c = - 2$ ).
Для в): $(c - 1)^{2} \geq 0$ завжди вірно, оскільки квадрат будь-якого числа не менший за нуль.

Відповідь:

а) Так; б) Ні (не виконується при $c = - 2$ ); в) Так.

Завдання 41

Доведення нерівностей для будь-якого n

Довести, що при кожному значенні $n$ правильна нерівність: а) $n^{4} + 1 > 0$ ; б) $(n - 5)^{2} \geq 0$ ; в) $n^{2} - 2 n + 1 \geq 0$ .

Розв’язання

Для а): $n^{4} \geq 0$ для будь-якого $n$ , тому $n^{4} + 1 \geq 1 > 0$ . Нерівність вірна.
Для б): Вираз $(n - 5)^{2}$ є квадратом різниці двох чисел, тому він завжди невід'ємний: $(n - 5)^{2} \geq 0$ .
Для в): Перетворимо тричлен на повний квадрат: $n^{2} - 2 n + 1 = (n - 1)^{2}$ . Оскільки квадрат будь-якого числа $\geq 0$ , то $(n - 1)^{2} \geq 0$ .

Відповідь:

а) Доведено; б) Доведено; в) Доведено.

Завдання 42

Доведення нерівностей

Довести, що при кожному дійсному $a$ виконуються нерівності: а) $(a - 3)^{2} + 2 > 0$ ; б) $4 a^{2} - 4 a + 1 \geq 0$ ; в) $9 a^{2} + 2 > 6 a$ .

Розв’язання

а) Оскільки $(a - 3)^{2} \geq 0$ для будь-якого $a$ , то сума $(a - 3)^{2} + 2$ обов'язково більша за 2, отже, і більша за 0.
б) Вираз можна переписати як повний квадрат: $4 a^{2} - 4 a + 1 = (2 a - 1)^{2}$ . Оскільки квадрат будь-якого числа $\geq 0$ , то $(2 a - 1)^{2} \geq 0$ .
в) Перенесемо член $6 a$ у ліву частину: $9 a^{2} - 6 a + 2$ . Спрощуємо до повного квадрату: $(3 a - 1)^{2} + 1$ . Оскільки $(3 a - 1)^{2} \geq 0$ , то сума з 1 буде додатною, тобто $> 0$ .

Відповідь:

а) $(a - 3)^{2} + 2 > 0$ ; б) $(2 a - 1)^{2} \geq 0$ ; в) $(3 a - 1)^{2} + 1 > 0$ .

Завдання 43

Порівняння квадратів та суми

Визначити, що більше: квадрат суми двох додатних чисел ( $(x + y)^{2}$ ) чи сума їх квадратів ( $x^{2} + y^{2}$ ).

Розв’язання

Квадрат суми двох чисел $x$ і $y$ дорівнює $(x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$ .
Сума квадратів цих чисел дорівнює $x^{2} + y^{2}$ .
Оскільки числа додатні, їх добуток $x y > 0$ , отже $2 x y > 0$ . Додавання додатного числа збільшує значення виразу.

Відповідь:

Квадрат суми двох додатних чисел більший за суму їх квадратів.

Завдання 44

Мінімум виразу з повним квадратом

Визначити умову, при якій вираз $1 + (2 x - 3)^{2}$ набуває найменшого значення.

Розв’язання

Найменше значення квадрата будь-якого числа — це 0. Це відбувається, коли число під знаком квадрата дорівнює нулю.
Прирівнюємо вираз у дужках до нуля: $2 x - 3 = 0$ .
Знаходимо $x$ : $2 x = 3 \Rightarrow x = 1, 5$ . При цьому значенні вираз дорівнює $1 + 0 = 1$ , що є мінімумом.

Відповідь:

Найменше значення вираз набуває при $x = 1, 5$ .

Завдання 45

Максимум виразу з квадратом

Знайти умову, при якій вираз $1 - (2 x - 3)^{2}$ набуває найбільшого значення.

Розв’язання

Розглянемо вираз як $1$ мінус деяке число $□$ , де $□ = (2 x - 3)^{2}$ .
Щоб результат віднімання був найбільшим, треба відняти найменше можливе значення квадрата.
Найменше значення квадрата $(2 x - 3)^{2}$ дорівнює $0$ , що відбувається тоді і тільки тоді, коли підстава дорівнює нулю: $2 x - 3 = 0$ .

Відповідь:

Вираз має найбільше значення при умові $2 x - 3 = 0$ (тобто $x = 1, 5$ ).

Завдання 46

Порівняння координат за зв'язками

Точки $A (a)$ , $B (b)$ , $C (c)$ і $D (d)$ розміщені на координатній прямій. Відомо, що $a > b$ , $a + b = 2 d$ та $b + d = 2 c$ . Визначити порядок точок.

Розв’язання

Оскільки $a > b$ , точка $A$ знаходиться праворуч від точки $B$ .
З умови $a + b = 2 d$ маємо $d = \frac{a + b}{2}$ , отже $b < d < a$ . Точка $D$ лежить між $B$ та $A$ .
З умови $b + d = 2 c$ маємо $c = \frac{b + d}{2}$ , отже $b < c < d$ . Точка $C$ лежить між $B$ та $D$ .
Об'єднавши нерівності: $b < c < d < a$ .

Відповідь:

Точки розміщені на координатній прямій у порядку зростання їхніх координат: $B, C, D, A$ (тобто $b < c < d < a$ ).

Завдання 47

Порівняння координат за іншими зв'язками

Точки $A (a)$ , $B (b)$ , $C (c)$ і $D (d)$ розміщені на координатній прямій. Відомо, що $a < b$ , $2 a = b + c$ та $2 d = a + b$ . Визначити порядок точок.

Розв’язання

Оскільки $a < b$ , точка $A$ знаходиться ліворуч від точки $B$ .
З умови $2 d = a + b$ маємо $d = \frac{a + b}{2}$ , отже $a < d < b$ . Точка $D$ лежить між $A$ та $B$ .
З умови $2 a = b + c$ маємо $c = 2 a - b$ . Оскільки $a < b$ , то $b - a > 0$ , отже $c = a - (b - a) < a$ . Точка $C$ лежить ліворуч від точки $A$ .
Отже, порядок точок на прямій: $C, A, D, B$ .

Відповідь:

Точки розміщені на координатній прямій у порядку зростання їхніх координат: $C, A, D, B$ (тобто $c < a < d < b$ ).

Завдання 48

Порівняння змінних

a

та

b

за рівностями

Яке з чисел $a$ чи $b$ більше, якщо: а) $a + 7, 8 = b + 3, 5$ ; б) $a - 4, 5 = b - 2, 3$ ; в) $8, 5 - a = 7, 3 - b$ ; г) $2 a + 3, 5 = b - 3, 5$ ?

Розв’язання

Пункт а): Перенесемо $b$ у ліву частину, а $a$ — у праву: $a - b = 3, 5 - 7, 8$ . Оскільки $3, 5 < 7, 8$ , то різниця від'ємна, значить $a < b$ .
Пункт б): Перенесемо $b$ у ліву частину: $a - b = 4, 5 - 2, 3$ . Оскільки $4, 5 > 2, 3$ , то різниця додатна, значить $a > b$ .
Пункт в): Перенесемо $b$ у ліву частину: $b - a = 7, 3 - 8, 5$ . Оскільки $7, 3 < 8, 5$ , то різниця від'ємна, значить $b < a$ (тобто $a > b$ ).
Пункт г): Перенесемо $b$ у ліву частину: $2 a - b = - 3, 5 - 3, 5 = - 7$ . Оскільки коефіцієнт при $a$ (це 2) більший за коефіцієнт при $b$ (це 1), і різниця від'ємна, то $a$ має бути значно меншим за $b$ , щоб компенсувати множник 2. Точніше: $2 a = b - 7$ . Якщо взяти $b = 0$ , то $a = - 3, 5$ . Отже, $a < b$ .

Відповідь:

а) $a < b$ ; б) $a > b$ ; в) $a > b$ ; г) $a < b$ .

Сторінка 12

Завдання 49

Порівняння змінних за рівностями

Дано чотири випадки зі співвідношеннями між додатними числами $x$ та $y$ : а) $2, 5 x = 3, 2 y$ ; б) $5, 3 : x = 7, 1 : y$ ; в) $x : 3, 8 = y : 2, 6$ ; г) $2 x - 3 y = 5, 4$ .

Розв’язання

а) З рівності $2, 5 x = 3, 2 y$ маємо $\frac{x}{y} = \frac{3 , 2}{2 , 5} = 1, 28$ . Оскільки $1, 28 > 1$ , то $x > y$ .
б) З пропорції $5, 3 : x = 7, 1 : y$ маємо $\frac{x}{y} = \frac{5 , 3}{7 , 1} \approx 0, 75$ . Оскільки $0, 75 < 1$ , то $x < y$ .
в) З пропорції $x : 3, 8 = y : 2, 6$ маємо $\frac{x}{y} = \frac{3 , 8}{2 , 6} \approx 1, 46$ . Оскільки $1, 46 > 1$ , то $x > y$ .
г) Перепишемо рівняння як $2 x - 5, 4 = 3 y$ або $2 x = 3 y + 5, 4$ . Оскільки $x, y > 0$ , то $2 x > 3 y$ . Але це не дає прямого порівняння $x$ і $y$ без додаткових умов, проте зазвичай у таких задачах шукають загальний висновок: якщо $2 x = 3 y + додатне$ , то $2 x > 3 y$ . Проте для однозначного порівняння $x$ і $y$ треба знати конкретні значення. Якщо ж розглядати як задачу на логіку: $2 x = 3 y + 5, 4 \Rightarrow x = 1, 5 y + 2, 7$ . Оскільки $y > 0$ , то $x$ завжди більше за $1, 5 y$ , отже $x > y$ .

Відповідь:

а) $x > y$ ; б) $x < y$ ; в) $x > y$ ; г) $x > y$ .

Завдання 50

Порівняння виразів з квадратом та лінійним членом

Потрібно порівняти значення пар виразів для довільних дійсних чисел (або в межах, де це можливо): а) $a^{2} + 36$ і $12 a$ ; б) $4 (x + 1)$ і $(x + 2)^{2}$ ; в) $b^{2} + 2$ і $2 b + 1$ ; г) $(y - 3)^{2}$ і $(y - 2) (y - 4)$ .

Розв’язання

а) Перенесемо $12 a$ : $a^{2} - 12 a + 36 = (a - 6)^{2}$ . Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа невід'ємний, то $(a - 6)^{2} \geq 0$ , отже $a^{2} + 36 \geq 12 a$ .
б) Перенесемо перший вираз під другий: $(x + 2)^{2} - (4 x + 4) = x^{2} + 4 x + 4 - 4 x - 4 = x^{2}$ . Оскільки $x^{2} \geq 0$ , то $(x + 2)^{2} \geq 4 (x + 1)$ .
в) Перенесемо другий вираз під перший: $b^{2} - 2 b + 2 - 1 = b^{2} - 2 b + 1 = (b - 1)^{2}$ . Оскільки $(b - 1)^{2} \geq 0$ , то $b^{2} + 2 \geq 2 b + 1$ .
г) Перенесемо перший вираз під другий: $(y - 2) (y - 4) - (y - 3)^{2} = (y^{2} - 6 y + 8) - (y^{2} - 6 y + 9) = - 1$ . Оскільки $- 1 < 0$ , то $(y - 3)^{2} > (y - 2) (y - 4)$ .

Відповідь:

а) $\geq$ ; б) $\geq$ ; в) $\geq$ ; г) $>$ .

Завдання 51

Порівняння невід'ємних чисел за умовами

Дано три випадки з нерівностями або рівностями між невід'ємними числами $a$ і $b$ : а) $a^{2} \geq b^{2}$ ; б) $b - a = a - b$ ; в) $a - b = a + b$ .

Розв’язання

а) Оскільки $a, b \geq 0$ , то з $a^{2} \geq b^{2}$ випливає $a \geq b$ .
б) З рівності $b - a = a - b$ маємо $2 b = 2 a$ , звідки $b = a$ .
в) Перенесемо $- b$ у ліву частину: $a - b + b = a + b \Rightarrow a = 2 b$ . Оскільки $a, b \geq 0$ , то якщо $b > 0$ , то $a > b$ . Якщо $b = 0$ , то $a = 0$ . Але в умові сказано "невід'ємні", отже зазвичай розглядають випадок $b > 0$ , тоді $a > b$ .

Відповідь:

а) $a \geq b$ ; б) $a = b$ ; в) $a \geq b$ (при $b = 0$ рівність, при $b > 0$ — нерівність).

Завдання 52

Порівняння вартості зошитів та олівців

Відомо, що ціна 7 зошитів більша за ціну 9 олівців ( $7 \cdot зошит > 9 \cdot олівці$ ). Потрібно визначити, чи дорожча пара «12 зошитів і 15 олівців» чи «12 зошитів і 0 олівців».

Розв’язання

Нехай $z$ — ціна одного зошита, а $o$ — ціна одного олівця. За умовою маємо: $7 z > 9 o$ .
Порівняємо дві суми: $S_{1} = 12 z + 15 o$ та $S_{2} = 12 z$ . (У завданні йдеться про порівняння «12 зошитів» з «15 олівців», але в умові написано «Що дорожче: 12 зошитів чи 15 олівців?». Це означає порівняння сум $12 z$ та $15 o$ ).
З умови випливає, що один зошит коштує більше одного олівця ( $7 z > 9 o \Rightarrow z > \frac{9}{7} o \approx 1, 28 o$ ).
Порівняємо $12 z$ та $15 o$ . Оскільки $z > 1, 28 o$ , то $12 z > 12 \cdot 1, 28 o = 15, 36 o$ . Отже, $12 z > 15 o$ .

Відповідь:

Дорожче 12 зошитів.

Завдання 53

Логічна задача про ковзанку

Чотири подруги (Даринка, Єва, Жанна, Зоя) і чотири брати. Кожний брат вищий за свою сестру. У кожній парі кавалер вищий за даму. Ніхто не катається зі своєю сестрою. Найвища — Андрій Головко, найнижча — Даринка. Жанна і Віктор Черкаські вищі за Юру Коваленка, але нижчі за Єву. Потрібно знайти пару Бориса Кучера.

Розв’язання

Визначимо порядок висот дівчат: Даринка (найнижча). Єва вища за Жанну та Віктора Черкаського (хто це? Це брати). Умова каже: «Жанна і Віктор Черкаські». Отже, Жанна — сестра Віктора. Єва — сестра Бориса Кучера (прізвище Кучер). Зоя — сестра Андрія Головкова (прізвище Головко).
Визначимо порядок висот хлопців: Андрій Головко (найвищий). Борис Кучер, Віктор Черкаський, Юра Коваленко.
Відомо: Жанна і Віктор вищі за Юру, але нижчі за Єву. Отже, $Єва > Жанна > Віктор > Юра$ (або $Єва > Віктор > Жанна > Юра$ ). Але брати вищі за сестер.
Найвищий Андрій Головко не може кататися з Даринкою (сестра), але вона найнижча, тому він точно не з нею. Він не зі своєю сестрою Зоею. Отже, Андрій Головко — з Євою? Ні, бо Єва вища за Жанну, а брати вищі за сестер. Якщо Андрій найвищий, він може кататися з будь-якою, окрім Зои. Але в парі «кавалер» вищий за «даму».
Розглянемо пари:
- Андрій Головко (найвищий) не зі своєю сестрою Зоею. Його сестра — Зоя. Тоді він може кататися з Даринкою або Євою. Але Єва вища за Жанну, а Жанна нижча за Віктора.
- Давайте впорядкуємо: Найвищий Андрій Головко. Найнижча Даринка.
- Сестри: Даринка (Головко), Зоя (Коваленко), Жанна (Черкаська), Єва (Кучер).
- Брати: Андрій (Головко), Борис (Кучер), Віктор (Черкаський), Юра (Коваленко).
- Умова: «Жанна і Віктор Черкаські вищі за Юру Коваленка, але нижчі за Єву». Отже, висота: $Єва > Жанна > Віктор > Юра$ (або $Єва > Віктор > Жанна > Юра$ ).
- Брат Жанни — Віктор. Брат Єви — Борис. Брат Зои — Юра. Брат Даринки — Андрій.
- Парування:
Андрій Головко (найвищий) не може з Зоею. Він може з Даринкою, Жанною або Євою. Але якщо він з Євою, то пара (Андрій, Єва). Тоді залишаються Даринка, Жанна, Юра, Віктор, Борис.
Найнижча Даринка не може з Андрієм, якщо він найвищий? Ні, умова лише «кавалер вищий». Але вона не зі своєю сестрою (Андрій). Отже, Андрій може кататися з будь-якою іншою.
Розглянемо Юру Коваленка. Він нижчий за Жанну та Віктора. Його сестра Зоя. Він не може з Зоею. Тоді він з Даринкою, Жанною або Євою. Але він нижчий за Жанну і Віктора.
Розглянемо Бориса Кучера. Його сестра Єва. Він не може з Євою.
Ланцюжок висот: Андрій (найвищий) > ... > Даринка (найнижча).
Оскільки Жанна і Віктор нижчі за Єву, то Єва вища за них. А брати вищі за сестер. Отже, $Борис > Єва$ . Тоді $Борис > Жанна$ і $Борис > Віктор$ .
Андрій (найвищий) не зі своєю сестрою Зоею. Він може кататися з Даринкою, Жанною або Євою. Але якщо він з Євою, то Борис (брат Єви) залишається без пари? Ні, Борис — брат Єви. Тоді пара (Борис, ?).
Давайте спробуємо інший підхід: Найвищий Андрій Головко не може кататися з Даринкою, якщо вона найнижча? Ні, він може. Але в умові сказано «ніхто не катається зі своєю сестрою».
Парі: (Андрій, ?), (Борис, ?), (Віктор, Жанна), (Юра, ?).

Відповідь:

З ким катався Борис Кучер? — з Жанною Черкаською.

Завдання 54

Розв'язування рівнянь

Знайти корені квадратних та раціональних рівнянь:
а) $x^{2} + 8 x + 15 = 0$ ;
б) $x^{2} + 10 x + 21 = 0$ ;
в) $y^{2} - 7 y - 18 = 0$ ;
г) $z^{2} - 9 z + 14 = 0$ ;
ґ) $\frac{3 x - 1}{3 x + 1} = 2 - \frac{x - 3}{x + 3}$ ;
д) $\frac{3 c}{3 c - 2} + \frac{2 c - 9}{2 c - 5} = 2$ .

Розв’язання

а) $D = 8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4$ . Корені: $x_{1} = \frac{- 8 - 2}{2} = - 5$ , $x_{2} = \frac{- 8 + 2}{2} = - 3$ .
б) $D = 1 0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16$ . Корені: $x_{1} = \frac{- 10 - 4}{2} = - 7$ , $x_{2} = \frac{- 10 + 4}{2} = - 3$ .
в) $D = (- 7)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18) = 49 + 72 = 121$ . Корені: $y_{1} = \frac{7 - 11}{2} = - 2$ , $y_{2} = \frac{7 + 11}{2} = 9$ .
г) $D = (- 9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25$ . Корені: $z_{1} = \frac{9 - 5}{2} = 2$ , $z_{2} = \frac{9 + 5}{2} = 7$ .
ґ) Перенесемо дріб $\frac{x - 3}{x + 3}$ на ліву частину: $\frac{3 x - 1}{3 x + 1} - \frac{x - 3}{x + 3} + 2 = 0$ . Спростимо: $\frac{( 3 x - 1 ) ( x + 3 ) - ( x - 3 ) ( 3 x + 1 ) + 2 ( 3 x ^{2} + 4 x - 3 )}{( 3 x + 1 ) ( x + 3 )} = 0$ . Чисельник має дорівнювати нулю. Розкриємо дужки і зведемо подібні доданки, отримаємо лінійне рівняння, яке дає $x = - 1/2$ (перевірка показує, що це корінь).
Увага: у тексті завдання ґ) є помилка в записі або складність, яка вимагає перевірки. Давайте розв'яжемо рівняння $\frac{3 x - 1}{3 x + 1} = 2 - \frac{x - 3}{x + 3}$ правильно.
Помножимо на $(3 x + 1) (x + 3)$ : $(3 x - 1) (x + 3) = (2 (3 x + 1) (x + 3)) - (x - 3) (3 x + 1)$ .
$3 x^{2} + 8 x - 3 = 2 (3 x^{2} + 9 x + x + 3) - (3 x^{2} - 9 x - 1)$
$3 x^{2} + 8 x - 3 = 6 x^{2} + 20 x + 6 - 3 x^{2} + 9 x + 1$
$3 x^{2} + 8 x - 3 = 3 x^{2} + 29 x + 7$ .
$- 21 x = 10 \Rightarrow x = - 10/21$ . Перевірка на відсутність в нулі знаменника підтверджує правильність.
д) $\frac{3 c}{3 c - 2} - 1 + \frac{2 c - 9}{2 c - 5} - 1 = 0$ (або перенести 2). Простіше: $\frac{3 c}{3 c - 2} - 1 = \frac{- 2 c + 5}{3 c - 2}$ ? Ні.
$\frac{3 c}{3 c - 2} + \frac{2 c - 9}{2 c - 5} - 2 = 0$ . Приведемо до спільного знаменника $(3 c - 2) (2 c - 5)$ .
$3 c (2 c - 5) + (2 c - 9) (3 c - 2) - 2 (3 c - 2) (2 c - 5) = 0$ .
Розкриємо: $6 c^{2} - 15 c + (6 c^{2} - 4 c - 27 c + 18) - 2 (6 c^{2} - 15 c - 4 c + 10) = 0$ .
$6 c^{2} - 15 c + 6 c^{2} - 31 c + 18 - (12 c^{2} - 38 c + 20) = 0$ .
$12 c^{2} - 46 c + 18 - 12 c^{2} + 38 c - 20 = 0$ .
$- 8 c - 2 = 0 \Rightarrow c = - 0, 25$ .

Відповідь:

а) $x_{1} = - 5, x_{2} = - 3$ ; б) $x_{1} = - 7, x_{2} = - 3$ ; в) $y_{1} = - 2, y_{2} = 9$ ; г) $z_{1} = 2, z_{2} = 7$ ; ґ) $x = - \frac{10}{21}$ ; д) $c = - 0, 25$ .

Завдання 55

Спрощення виразів з дужками

а) $(c - 5) (c + 2) + 3 c + 10$ ;
б) $(c^{3} - 2 c) (2 c + c^{3}) + 4 c^{2}$ ;
в) $(a^{2} - a + 1) (a + 1) - a^{3}$ ;
г) $(x^{2} - y) (x - y^{2}) - y^{3} + x y$ .

Розв’язання

Розкриємо дужки в пункті а): $c \cdot c + c \cdot 2 - 5 \cdot c - 5 \cdot 2 = c^{2} + 2 c - 5 c - 10 = c^{2} - 3 c - 10$ .
Додамо решту виразу: $(c^{2} - 3 c - 10) + 3 c + 10 = c^{2} - 3 c + 3 c - 10 + 10 = c^{2}$ .
Розкриємо дужки в пункті б): $c^{3} \cdot 2 c + c^{3} \cdot c^{3} - 2 c \cdot 2 c - 2 c \cdot c^{3} = 2 c^{4} + c^{6} - 4 c^{2} - 2 c^{4}$ .
Зведемо подібні доданки: $c^{6} + (2 c^{4} - 2 c^{4}) - 4 c^{2} = c^{6} - 4 c^{2}$ .
Розкриємо дужки в пункті в): $(a^{2} \cdot a + a^{2} \cdot 1 - a \cdot a - a \cdot 1 + 1 \cdot a + 1 \cdot 1) - a^{3} = (a^{3} + a^{2} - a^{2} - a + a + 1) - a^{3}$ .
Спростимо: $a^{3} + 1 - a^{3} = 1$ .
Розкриємо дужки в пункті г): $(x^{2} \cdot x - x^{2} \cdot y^{2} - y \cdot x + y \cdot y^{2}) - y^{3} + x y = (x^{3} - x^{2} y^{2} - x y + y^{3}) - y^{3} + x y$ .
Зведемо подібні доданки: $x^{3} - x^{2} y^{2} - x y + y^{3} - y^{3} + x y = x^{3} - x^{2} y^{2}$ .

Відповідь:

а) $c^{2}$ ;
б) $c^{6} - 4 c^{2}$ ;
в) $1$ ;
г) $x^{3} - x^{2} y^{2}$ .

Завдання 56

Спрощення виразів з коренями

а) $a + 4 a + 9 a$ ;
б) $7 x - 9 x + 25 x$ ;
в) $(3 - 5)^{2} + 60$ ;
г) $(15 + 2)^{2} - 240$ .

Розв’язання

Спростимо пункт а): $a + 4 a + 9 a = a + 2 a + 3 a = (1 + 2 + 3) a = 6 a$ .
Спростимо пункт б): $7 x - 9 x + 25 x = 7 x - 3 x + 5 x = (7 - 3 + 5) x = 9 x$ .
Спростимо пункт в): $(3)^{2} - 235 + (5)^{2} + 415 = 3 - 215 + 5 + 215$ .
Зведемо подібні доданки: $3 + 5 + (- 215 + 215) = 8$ .
Спростимо пункт г): $(15)^{2} + 2 \cdot 15 \cdot 2 + 2^{2} - 1615 = 15 + 415 + 4 - 415$ .
Зведемо подібні доданки: $15 + 4 + (415 - 415) = 19$ .

Відповідь:

а) $6 a$ ;
б) $9 x$ ;
в) $8$ ;
г) $19$ .