ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінки 53–60

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 1–326 · 59 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

Сторінка 53

§ 6. Системи нерівностей з однією змінною

Завдання 1

Розв'язання системи нерівностей

${(z^{2} - 2) \cdot 3 \geq 3 z^{2} - 5, z^{2} + 2 z \leq (z - 1) (z + 1) .$

Розв’язання

Розглянемо першу нерівність: $3 z^{2} - 6 \geq 3 z^{2} - 5$ . Віднімемо $3 z^{2}$ від обох частин, отримаємо $- 6 \geq - 5$ , що є хибною числовою нерівністю. Отже, ця нерівність не має розв'язків.
Оскільки перша нерівність системи не має розв'язків, то і вся система не може мати спільних розв'язків.

Відповідь:

Система розв'язків не має.

Завдання 2

Область визначення виразу з дробом та коренем

Знайти значення $x$ , при яких має зміст вираз $\frac{2}{x + 1} - 5 - x$ .

Розв’язання

Для першого доданка $\frac{2}{x + 1}$ потрібно, щоб $x + 1 > 0$ (оскільки корінь не може бути у знаменнику). Звідси $x > - 1$ .
Для другого доданка $5 - x$ потрібно, щоб $5 - x \geq 0$ , тобто $x \leq 5$ .
Об'єднаємо умови: $- 1 < x \leq 5$ . Це проміжок, на якому обидва вирази мають зміст.

Відповідь:

$(- 1; 5]$ .

Сторінка 54

Завдання 264

Система нерівностей без розв'язків

Яка з систем не має розв'язків?
А ${x > 3, x < 2$ ; Б ${x > 0, x < 5$ ; В ${x > - 3, x < 2$ ; Г ${x \leq 3, x \leq 2$ .

Розв’язання

Проаналізуємо варіант А: $x > 3$ і $x < 2$ . Число не може бути більшим за 3 і одночасно меншим за 2. Перетин цих проміжків порожній.
Перевіримо інші варіанти для впевненості: Б має розв'язок $(0; 5)$ , В має розв'язок $(- 3; 2)$ , Г має розв'язок $(- \infty; 2]$ .

Відповідь:

Завдання 265

Знаходження числа-розв'язку системи

Яке з чисел задовольняє систему ${2 x \geq 0, 3 x < 6$ ?
А 2; Б 3; В 0; Г 6.

Розв’язання

Перша нерівність $2 x \geq 0$ дає $x \geq 0$ .
Друга нерівність $3 x < 6$ ділимо на 3, отримуємо $x < 2$ .
Перетин цих умов — проміжок $[0; 2)$ .
Перевіряємо числа: 2 не підходить (бо $x < 2$ , а не $\leq$ ), 3 не підходить, 6 не підходить. Число 0 належить проміжку $[0; 2)$ .

Відповідь:

Завдання 266

Множина розв'язків системи нерівностей

Який проміжок є множиною розв'язків системи ${x \leq 2, x > - 3$ ?
А $(- \infty; - 3)$ ; Б $(- 3; 2)$ ; В $[2; + \infty)$ ; Г $(- 3; 2]$ .

Розв’язання

Перша нерівність $x \leq 2$ означає, що ми беремо все, що менше або дорівнює 2.
Друга нерівність $x > - 3$ означає, що ми беремо все, що більше -3 (точка -3 не входить).
Перетин цих умов дає проміжок $(- 3; 2]$ .

Відповідь:

Завдання 267

Рівносильність нерівностей та систем

Дано чотири нерівності: а) $∣ x ∣ < 3$ ; б) $∣ x ∣ - 1 < 0, 5$ ; в) $∣ x ∣ > 5$ ; г) $7 - ∣ x ∣ < 0$ . Потрібно визначити, яка з них рівносильна системі відповідних нерівностей (перетин множин), а яка — сукупності (об'єднанню множин).

Розв’язання

Розглянемо а) $∣ x ∣ < 3$ . Це рівносильно системі ${x < 3 x > - 3$ , тобто перетину проміжків $(- 3; 3)$ .
Розглянемо б) $∣ x ∣ - 1 < 0, 5 \Rightarrow ∣ x ∣ < 1, 5$ . Це рівносильно системі ${x < 1, 5 x > - 1, 5$ (перетин).
Розглянемо в) $∣ x ∣ > 5$ . Це рівносильна сукупності ${x > 5 x < - 5$ (об'єднання проміжків $(- \infty; - 5)$ і $(5; + \infty)$ ).
Розглянемо г) $7 - ∣ x ∣ < 0 \Rightarrow ∣ x ∣ > 7$ . Це рівносильна сукупності ${x > 7 x < - 7$ (об'єднання).

Відповідь:

Рівносильна системі — а) та б); рівносильна сукупності — в) та г).

Завдання 268

Перевірка числа на належність розв'язку системи

Чи є число $x = 2$ розв'язком систем нерівностей: а) ${x - 3 < 5 4 x + 2 > 9$ ; б) ${3 x \geq x + 2 12 < 8 x - 5$ ; в) ${0, 5 x \geq 2 x - 3 3 x - 1 > 4$ .

Розв’язання

Система а): Підставимо $x = 2$ . Перша: $2 - 3 = - 1 < 5$ (правда). Друга: $4 \cdot 2 + 2 = 10 > 9$ (правда). Обидві виконуються, отже число є розв'язком.
Система б): Підставимо $x = 2$ . Перша: $3 \cdot 2 = 6 \geq 2 + 2 = 4$ (правда). Друга: $12 < 8 \cdot 2 - 5 = 16 - 5 = 11$ (правда). Обидві виконуються, отже число є розв'язком.
Система в): Підставимо $x = 2$ . Перша: $0, 5 \cdot 2 = 1 \geq 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$ (правда). Друга: $3 \cdot 2 - 1 = 5 > 4$ (правда). Обидві виконуються, отже число є розв'язком.

Відповідь:

а) Так; б) Так; в) Так.

Завдання 269

Вибір чисел-розв'язків системи нерівностей

З числа $- 1, 0, 1, 2, 3$ потрібно знайти ті, що задовольняють системи: а) ${3 - x \geq 0 7 + x > 0$ ; б) ${2 x + 3 > 5 1 - x < 0$ .

Розв’язання

Система а): Розв'язуємо ${x \leq 3 x > - 7$ . Перетин — проміжок $(- 7; 3]$ . З набору чисел до цього проміжку належать $- 1, 0, 1, 2, 3$ .
Система б): Розв'язуємо ${2 x > 2 \Rightarrow x > 1 x < 1$ (друга нерівність: $1 - x < 0 \Rightarrow - x < - 1 \Rightarrow x > 1$ ). Перетин множин $(1; + \infty)$ і $(1; + \infty)$ — це проміжок $(1; + \infty)$ . З набору чисел до цього проміжку належать $2, 3$ .

Відповідь:

а) числа $- 1, 0, 1, 2, 3$ ; б) числа $2, 3$ .

Завдання 270

Розв'язання системи лінійних нерівностей

Знайти множину розв'язків для трьох систем (пункти а, б, в) та навести два цілі числа, що входять до цієї множини.

Розв’язання

Пункт а): Розв'язуємо $2 x + 7 \geq 0$ , звідки $2 x \geq - 7$ або $x \geq - 3, 5$ . Розв'язуємо $3 x + 6 \geq 0$ , звідки $3 x \geq - 6$ або $x \geq - 2$ . Перетин проміжків $[- 3, 5; + \infty)$ і $[- 2; + \infty)$ — це $[- 2; + \infty)$ . Цілі числа: наприклад, $- 1, 0$ .
Пункт б): Розв'язуємо $2 x - 5 < 0$ , звідки $2 x < 5$ або $x < 2, 5$ . Розв'язуємо $3 x + 9 < 0$ , звідки $3 x < - 9$ або $x < - 3$ . Перетин проміжків $(- \infty; 2, 5)$ і $(- \infty; - 3)$ — це $(- \infty; - 3)$ . Цілі числа: наприклад, $- 4, - 5$ .
Пункт в): Розв'язуємо $3 x + 1 < 0$ , звідки $3 x < - 1$ або $x < - \frac{1}{3}$ . Розв'язуємо $2 x + 5 > 0$ , звідки $2 x > - 5$ або $x > - 2, 5$ . Перетин проміжків $(- \infty; - \frac{1}{3})$ і $(- 2, 5; + \infty)$ — це $(- 2, 5; - \frac{1}{3})$ . Цілі числа: єдине ціле число в цьому проміжку — $- 2$ .

Відповідь:

а) $x \in [- 2; + \infty)$ (наприклад, $- 1$ );
б) $x \in (- \infty; - 3)$ (наприклад, $- 4$ );
в) $x \in (- 2, 5; - \frac{1}{3})$ (ціле число $- 2$ ).

Сторінка 55

Завдання 271

Системи нерівностей з однією змінною

а) ${x \leq - 3, x < 5;$
б) ${x \leq - 3, x > 5;$
в) ${x > - 3, x \leq 5.$

Розв’язання

Розглянемо пункт а): перша нерівність дає $x \in (- \infty; - 3]$ , друга — $x \in (- \infty; 5)$ . Перетин цих множин: числа, які менші або дорівнюють $- 3$ і одночасно менші за $5$ . Оскільки всі числа $\leq - 3$ автоматично є $< 5$ , спільна частина — це проміжок $(- \infty; - 3]$ .
Розглянемо пункт б): перша нерівність вимагає $x \leq - 3$ , друга — $x > 5$ . Числа не можуть одночасно бути меншими або рівними $- 3$ і більшими за $5$ . Перетин множин порожній, тому розв'язків немає.
Розглянемо пункт в): перша нерівність дає $x \in (- 3; + \infty)$ , друга — $x \in [- 5; 5]$ . Шукаємо числа, які є більшими за $- 3$ і одночасно меншими або рівними $5$ . Спільна частина: проміжок $(- 3; 5]$ .

Відповідь:

а) $(- \infty; - 3]$
б) система розв'язків немає (порожня множина)
в) $(- 3; 5]$

Завдання 274

Розв'язування систем лінійних нерівностей змінною y

а) ${5 y - 6 < 2 y 3 - 2 y < y$ ;
б) ${4 - 3 y \geq 2 y y - 3 \geq 4$ ;
в) ${5 y - 8 \leq 3 y 1 - 4 y > 5$ .

Розв’язання

а) Розв'язуємо першу нерівність: $5 y - 2 y < 6 \Rightarrow 3 y < 6 \Rightarrow y < 2$ .
Друга нерівність: $- 2 y - y < - 3 \Rightarrow - 3 y < - 3 \Rightarrow y > 1$ . Перетин проміжків $(1; 2)$ .
б) Перша нерівність: $4 - 2 y \geq 2 y \Rightarrow 4 \geq 4 y \Rightarrow 1 \geq y$ (або $y \leq 1$ ). Друга: $y \geq 7$ . Перетин порожній, оскільки число не може бути і $\leq 1$ , і $\geq 7$ одночасно.
в) Перша нерівність: $5 y - 3 y \leq 8 \Rightarrow 2 y \leq 8 \Rightarrow y \leq 4$ . Друга: $- 4 y > 4 \Rightarrow y < - 1$ . Перетин проміжків $(- \infty; - 1)$ .

Відповідь:

а) $(1; 2)$ ; б) система розв'язків не має; в) $(- \infty; - 1)$ .

Завдання 275

Розв'язування систем нерівностей з дужками та від'ємними коефіцієнтами

а) ${15 - 3 x < 9 x - 12 8 x - 7 > 5 x + 4$ ;
б) ${12 - z < 8 z - 15 7 z - 6 > 6 z + 4$ ;
в) ${2 (x - 3) \leq 5 x + 7 3 + 4 x > 3 (x - 5)$ ;
г) ${5 (x + 2) \geq 2 x - 4 3 (x + 3) < 7 - 8 x$ .

Розв’язання

а) Перша: $15 + 12 < 9 x + 3 x \Rightarrow 27 < 12 x \Rightarrow x > 2, 25$ . Друга: $8 x - 5 x > 4 + 7 \Rightarrow 3 x > 11 \Rightarrow x > 3 \frac{2}{3}$ . Спільна частина: $(3 \frac{2}{3}; + \infty)$ .
б) Перша: $12 + 15 < 8 z + z \Rightarrow 27 < 9 z \Rightarrow z > 3$ . Друга: $7 z - 6 z > 4 + 6 \Rightarrow z > 10$ . Спільна частина: $(10; + \infty)$ .
в) Перша: $2 x - 6 \leq 5 x + 7 \Rightarrow - 13 \leq 3 x \Rightarrow x \geq - 4 \frac{1}{3}$ . Друга: $3 + 4 x > 3 x - 15 \Rightarrow x > - 18$ . Спільна частина: $[- 4 \frac{1}{3}; + \infty)$ .
г) Перша: $5 x + 10 \geq 2 x - 4 \Rightarrow 3 x \geq - 14 \Rightarrow x \geq - 4 \frac{2}{3}$ . Друга: $3 x + 9 < 7 - 8 x \Rightarrow 11 x < - 2 \Rightarrow x < - \frac{2}{11}$ . Спільна частина: $[- 4 \frac{2}{3}; - \frac{2}{11})$ .

Відповідь:

а) $(3 \frac{2}{3}; + \infty)$ ; б) $(10; + \infty)$ ; в) $[- 4 \frac{1}{3}; + \infty)$ ; г) $[- 4 \frac{2}{3}; - \frac{2}{11})$ .

Завдання 276

Розв'язування систем нерівностей з дужками та від'ємними коефіцієнтами при змінній

а) ${3 - 2 (x - 1) < 0 5 - 3 (x - 4) > 0$ ;
б) ${- 4 (2 x - 1) < 3 - 5 (x - 3) \geq 4$ ;
в) ${x \leq 2 - 3 x + 1 5 x \geq 3 + (x - 4)$ ;
г) ${8 (1 + x) > 3 (2 x - 1) 5 < 3 x - 2 (8 x - 3)$ .

Розв’язання

а) Перша: $3 - 2 x + 2 < 0 \Rightarrow 5 < 2 x \Rightarrow x > 2, 5$ . Друга: $5 - 3 x + 12 > 0 \Rightarrow 17 > 3 x \Rightarrow x < 5 \frac{2}{3}$ . Перетин: $(2, 5; 5 \frac{2}{3})$ .
б) Перша: $- 8 x + 4 < 3 \Rightarrow - 8 x < - 1 \Rightarrow x > 0, 125$ . Друга: $- 5 x + 15 \geq 4 \Rightarrow - 5 x \geq - 11 \Rightarrow x \leq 2, 2$ . Перетин: $(0, 125; 2, 2]$ .
в) Перша: $x \leq 3 - 3 x \Rightarrow 4 x \leq 3 \Rightarrow x \leq 0, 75$ . Друга: $5 x \geq 3 + x - 4 \Rightarrow 4 x \geq - 1 \Rightarrow x \geq - 0, 25$ . Перетин: $[- 0, 25; 0, 75]$ .
г) Перша: $8 + 8 x > 6 x - 3 \Rightarrow 2 x > - 11 \Rightarrow x > - 5, 5$ . Друга: $5 < 3 x - 16 x + 6 \Rightarrow 5 < - 13 x + 6 \Rightarrow - 1 < - 13 x \Rightarrow x < \frac{1}{13}$ . Перетин: $(- 5, 5; \frac{1}{13})$ .

Відповідь:

а) $(2, 5; 5 \frac{2}{3})$ ; б) $(0, 125; 2, 2]$ ; в) $[- 0, 25; 0, 75]$ ; г) $(- 5, 5; \frac{1}{13})$ .

Завдання 277

Розв'язання систем лінійних нерівностей з дробами та десятковими числами

а) ${2 x - 0, 2 (x - 2) > 4 \frac{x}{2} - 6 \leq \frac{x}{8}$ ;
б) ${4 - \frac{x - 1}{3} \geq x 7 x - 1 \geq 48$ ;
в) ${0, 5 x + 3 \leq 2, 5 - 3 x 5 - 0, 2 x \leq 0, 2 - 5 x$ ;
г) ${0, 4 z + 2 \geq 3, 5 - 2 z 7 - 1, 3 z \geq 0, 3 - 5 z$ .

Розв’язання

Підпункт а):
Розв'язуємо першу нерівність: $2 x - 0, 2 x + 0, 4 > 4 \Rightarrow 1, 8 x > 3, 6 \Rightarrow x > 2$ .
Розв'язуємо другу нерівність: помножимо на 8 $\Rightarrow 4 x - 48 \leq x \Rightarrow 3 x \leq 48 \Rightarrow x \leq 16$ .
Перетин проміжків $(2; + \infty)$ і $(- \infty; 16]$ — це інтервал $(2; 16]$ .
Підпункт б):
Розв'язуємо першу нерівність: помножимо на 3 $\Rightarrow 12 - (x - 1) \geq 3 x \Rightarrow 13 \geq 4 x \Rightarrow x \leq 3, 25$ .
Розв'язуємо другу нерівність: $7 x \geq 49 \Rightarrow x \geq 7$ .
Перетин проміжків $(- \infty; 3, 25]$ і $[7; + \infty)$ — порожня множина.
Підпункт в):
Розв'язуємо першу нерівність: $0, 5 x + 3 x \leq 2, 5 - 3 \Rightarrow 3, 5 x \leq - 0, 5 \Rightarrow x \leq - \frac{1}{7}$ .
Розв'язуємо другу нерівність: $- 0, 2 x + 5 x \leq 0, 2 - 5 \Rightarrow 4, 8 x \leq - 4, 8 \Rightarrow x \leq - 1$ .
Оскільки $- \frac{1}{7} \approx - 0, 14$ , то проміжок $(- \infty; - 1]$ міститься в $(- \infty; - \frac{1}{7}]$ . Перетин: $(- \infty; - 1]$ .
Підпункт г):
Розв'язуємо першу нерівність: $0, 4 z + 2 z \geq 3, 5 - 2 \Rightarrow 2, 4 z \geq 1, 5 \Rightarrow z \geq \frac{1 , 5}{2 , 4} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} = 0, 625$ .
Розв'язуємо другу нерівність: $- 1, 3 z + 5 z \geq 0, 3 - 7 \Rightarrow 3, 7 z \geq - 6, 7 \Rightarrow z \geq - \frac{6 , 7}{3 , 7} = - \frac{67}{37} \approx - 1, 81$ .
Оскільки $0, 625 > - 1, 81$ , то перетин: $[0, 625; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $(2; 16]$ ; б) розв'язків немає; в) $(- \infty; - 1]$ ; г) $[\frac{5}{8}; + \infty)$ .

Завдання 278

Встановлення відповідності між системами нерівностей та їх розв'язками

Потрібно знайти правильну пару для кожної з трьох систем (1, 2, 3) і вибрати відповідний варіант (А, Б, В, Г, Д).

Розв’язання

Система 1: ${0, 8 x - 3 \geq 4 - 0, 6 x 0, 8 x + 1 \geq 9 + x$
Перша нерівність: $0, 8 x + 0, 6 x \geq 7 \Rightarrow 1, 4 x \geq 7 \Rightarrow x \geq 5$ .
Друга нерівність: $0, 8 x - x \geq 8 \Rightarrow - 0, 2 x \geq 8 \Rightarrow x \leq - 40$ .
Перетин проміжків $[5; + \infty)$ і $(- \infty; - 40]$ — порожня множина. Відповідає варіанту Д.
Система 2: ${1 - 1, 5 x < x - 4 1 + 1, 8 x < 16 - 1, 2 x$
Перша нерівність: $- 1, 5 x - x < - 5 \Rightarrow - 2, 5 x < - 5 \Rightarrow x > 2$ .
Друга нерівність: $1, 8 x + 1, 2 x < 15 \Rightarrow 3 x < 15 \Rightarrow x < 5$ .
Перетин проміжків $(2; + \infty)$ і $(- \infty; 5)$ — це інтервал $(2; 5)$ . Відповідає варіанту Б.
Система 3: ${\frac{x - 1}{2} < \frac{x - 2}{3} 2 x - 3 \leq 0$
Перша нерівність: помножимо на 6 $\Rightarrow 3 (x - 1) < 2 (x - 2) \Rightarrow 3 x - 3 < 2 x - 4 \Rightarrow x < - 1$ .
Друга нерівність: $2 x \leq 3 \Rightarrow x \leq 1, 5$ .
Перетин проміжків $(- \infty; - 1)$ і $(- \infty; 1, 5]$ — це інтервал $(- \infty; - 1)$ . Відповідає варіанту Г.

Відповідь:

1 — Д; 2 — Б; 3 — Г.

Сторінка 56

Завдання 279

Розв'язання системи лінійних нерівностей

Знайти множину значень $x$ , що задовольняють обидві нерівності одночасно:
1) $3 x - 2 \geq 5 x - 6$
2) $7 x + 1 \leq 4 x - 5$

Розв’язання

Розв'яжемо першу нерівність: $3 x - 2 \geq 5 x - 6$ . Перенесемо $5 x$ у ліву частину ( $3 x - 5 x$ ), а $- 2$ — у праву ( $- (- 6)$ ): $- 2 x \geq - 4$ . Поділимо на $- 2$ , пам'ятаючи, що знак нерівності змінюється: $x \leq 2$ .
Розв'яжемо другу нерівність: $7 x + 1 \leq 4 x - 5$ . Перенесемо $4 x$ у ліву частину ( $7 x - 4 x$ ), а $1$ — у праву ( $- (- 5)$ ): $3 x \leq - 6$ . Поділимо на $3$ : $x \leq - 2$ .
Знайдемо спільну частину розв'язків: $x \leq 2$ і $x \leq - 2$ . Оскільки будь-яке число, менше за $- 2$ , також є меншим за $2$ , то спільним розв'язком буде $x \leq - 2$ .

Відповідь:

$(- \infty; - 2]$

Завдання 280

Кількість цілих розв'язків системи нерівностей

Система нерівностей:
1) $\frac{x}{2} - 1 > \frac{x}{3}$
2) $x - 1 < 7$
Потрібно знайти кількість цілих чисел, що задовольняють цю систему.

Розв’язання

Розв'яжемо першу нерівність: $\frac{x}{2} - 1 > \frac{x}{3}$ . Помножимо всі частини на 6 (найменше спільне кратне знаменників): $3 x - 6 > 2 x$ . Перенесемо $2 x$ у ліву частину, а $- 6$ — у праву: $x > 6$ .
Розв'яжемо другу нерівність: $x - 1 < 7$ . Додамо 1 до обох частин: $x < 8$ .
Знайдемо спільний розв'язок: $x > 6$ і $x < 8$ . Це інтервал $(6; 8)$ . Єдине ціле число, яке лежить між 6 і 8 (не включаючи їх), це 7.

Відповідь:

Завдання 281

Цілі розв'язки системи нерівностей з параметром

n

Система нерівностей:
1) $2 n + 3 < 4 (3 n - 5)$
2) $8 - 4 n < 7 - 2 (4 n - 13)$
Потрібно знайти всі цілі значення $n$ , що задовольняють цю систему.

Розв’язання

Розв'яжемо першу нерівність: $2 n + 3 < 12 n - 20$ . Перенесемо $12 n$ у ліву частину ( $2 n - 12 n$ ), а $3$ — у праву ( $- (- 20)$ ): $- 10 n < - 23$ . Поділимо на $- 10$ , змінюючи знак нерівності: $n > 2, 3$ .
Розв'яжемо другу нерівність: $8 - 4 n < 7 - 8 n + 26$ . Спростимо праву частину: $8 - 4 n < 33 - 8 n$ . Перенесемо $- 8 n$ у ліву частину ( $- 4 n + 8 n$ ), а $8$ — у праву ( $- 33$ ): $4 n < 25$ . Поділимо на 4: $n < 6, 25$ .
Знайдемо спільний розв'язок: $2, 3 < n < 6, 25$ . Цілі числа в цьому проміжку: $3, 4, 5, 6$ .

Відповідь:

$3; 4; 5; 6$

Завдання 282

Знайдення найменшого розв'язку системи

Знайти найменший розв'язок системи нерівностей:
1) $2 x - 6 > 4 (x + 3) - 5$
2) $3 (x + 5) \geq - x - 13$

Розв’язання

Розв'яжемо першу нерівність: $2 x - 6 > 4 x + 12 - 5 \Rightarrow 2 x - 6 > 4 x + 7 \Rightarrow - 13 > 2 x \Rightarrow x < - 6, 5$ .
Розв'яжемо другу нерівність: $3 x + 15 \geq - x - 13 \Rightarrow 4 x \geq - 28 \Rightarrow x \geq - 7$ .
Знайдемо спільну частину розв'язків: $- 7 \leq x < - 6, 5$ .

Відповідь:

Найменший розв'язок дорівнює $- 7$ .

Завдання 283

Знайдення найбільшого розв'язку системи

Знайти найбільший розв'язок системи нерівностей:
1) $n (n + 1) > (n + 2) (n - 2)$
2) $(n - 3)^{2} \geq 3 - n (2 - n)$

Розв’язання

Перша нерівність: $n^{2} + n > n^{2} - 4 \Rightarrow n > - 4$ .
Друга нерівність: $n^{2} - 6 n + 9 \geq 3 - 2 n + n^{2} \Rightarrow - 4 n \geq - 6 \Rightarrow n \leq 1, 5$ .
Спільний розв'язок системи: $- 4 < n \leq 1, 5$ .

Відповідь:

Найбільший розв'язок дорівнює $1, 5$ .

Завдання 284

Сума цілих розв'язків системи

Знайти суму цілих розв'язків системи нерівностей:
1) $2 x + 6 \geq - 7 (x + 1) - 8$
2) $3 x + 6 > 5 x + 2 (x - 1)$

Розв’язання

Перша нерівність: $2 x + 6 \geq - 7 x - 7 - 8 \Rightarrow 9 x \geq - 21 \Rightarrow x \geq - \frac{7}{3} \approx - 2, 33$ .
Друга нерівність: $3 x + 6 > 5 x + 2 x - 2 \Rightarrow 3 x + 6 > 7 x - 2 \Rightarrow 8 > 4 x \Rightarrow x < 2$ .
Множина розв'язків системи: $- \frac{7}{3} \leq x < 2$ . Цілі числа в цьому проміжку: $- 2, - 1, 0, 1$ .

Відповідь:

Сума цілих розв'язків дорівнює $(- 2) + (- 1) + 0 + 1 = - 2$ .

Завдання 285

Гра з подвійними нерівностями

Один учень записує подвійну нерівність, інший — відповідну систему. Потім ролі міняються. Розв'яжіть подвійну нерівність (пункти 286, 287).

Розв’язання

Розв'язуємо нерівність $- 2 < 3 x - 4 < 5$ : додаємо 4 до всіх членів ( $2 < 3 x < 9$ ), ділимо на 3 ( $\frac{2}{3} < x < 3$ ).
Розв'язуємо нерівність $3 < 2 - x < 5$ : віднімаємо 2 ( $1 < - x < 3$ ), множимо на -1 і змінюємо знаки нерівності ( $- 3 < x < - 1$ ).
Розв'язуємо нерівність $0, 4 \leq 2 x + 1 \leq 0, 6$ : віднімаємо 1 ( $- 0, 6 \leq 2 x \leq - 0, 4$ ), ділимо на 2 ( $- 0, 3 \leq x \leq - 0, 2$ ).

Відповідь:

а) $\frac{2}{3} < x < 3$ ; б) $- 3 < x < - 1$ ; в) $- 0, 3 \leq x \leq - 0, 2$ .

Завдання 286

Розв'язання подвійних нерівностей (перші три пункти)

а) $- 2 < 3 x - 4 < 5$ ; б) $3 < 2 - x < 5$ ; в) $0, 4 \leq 2 x + 1 \leq 0, 6$ .

Розв’язання

Пункт а): $- 2 < 3 x - 4 < 5 \Rightarrow - 2 + 4 < 3 x < 5 + 4 \Rightarrow 2 < 3 x < 9 \Rightarrow \frac{2}{3} < x < 3$ .
Пункт б): $3 < 2 - x < 5 \Rightarrow 3 - 2 < - x < 5 - 2 \Rightarrow 1 < - x < 3 \Rightarrow - 1 > x > - 3$ (або $- 3 < x < - 1$ ).
Пункт в): $0, 4 \leq 2 x + 1 \leq 0, 6 \Rightarrow 0, 4 - 1 \leq 2 x \leq 0, 6 - 1 \Rightarrow - 0, 6 \leq 2 x \leq - 0, 4 \Rightarrow - 0, 3 \leq x \leq - 0, 2$ .

Відповідь:

а) $\frac{2}{3} < x < 3$ ; б) $- 3 < x < - 1$ ; в) $- 0, 3 \leq x \leq - 0, 2$ .

Завдання 287

Розв'язання подвійних нерівностей (останні три пункти)

а) $7 \leq 3 + 2 x \leq 12$ ; б) $- 4 \leq 2 - 3 z < - 1$ ; в) $- 2, 5 < 7, 5 + 5 x \leq 1, 5$ .

Розв’язання

Пункт а): $7 \leq 3 + 2 x \leq 12 \Rightarrow 4 \leq 2 x \leq 9 \Rightarrow 2 \leq x \leq 4, 5$ .
Пункт б): $- 4 \leq 2 - 3 z < - 1 \Rightarrow - 6 \leq - 3 z < - 3 \Rightarrow 2 \geq z > 1$ (або $1 < z \leq 2$ ).
Пункт в): $- 2, 5 < 7, 5 + 5 x \leq 1, 5 \Rightarrow - 10 < 5 x \leq - 6 \Rightarrow - 2 < x \leq - 1, 2$ .

Відповідь:

а) $2 \leq x \leq 4, 5$ ; б) $1 < z \leq 2$ ; в) $- 2 < x \leq - 1, 2$ .

Завдання 288

Система нерівностей з параметром

a

Знайти декілька значень $a$ , щоб кожна з систем мала розв'язок або не мала розв'язків.
1) ${x > a, x < 3;$
2) ${- x < a, x < - 3;$
3) ${x ⩾ a, - x ⩾ 2.$

Розв’язання

Для системи 1): ${x > a x < 3$ має розв'язок, якщо $a < 3$ . Наприклад, $a = 2$ (тоді $2 < x < 3$ ). Не має розв'язків, якщо $a ⩾ 3$ .
Для системи 2): ${- x < a x < - 3$ перетворюється на ${x > - a x < - 3$ . Має розв'язок, якщо $- a < - 3$ , тобто $a > 3$ . Не має розв'язків, якщо $a ⩽ 3$ .
Для системи 3): ${x ⩾ a x ⩽ - 2$ (друга нерівність: $- x ⩾ 2 \Rightarrow x ⩽ - 2$ ). Має розв'язок, якщо $a ⩽ - 2$ . Не має розв'язків, якщо $a > - 2$ .

Відповідь:

1) Мала розв'язок: $a < 3$ (напр., $0, 1, 2$ ). Не мала розв'язків: $a ⩾ 3$ .
2) Мала розв'язок: $a > 3$ (напр., $4, 5, 6$ ). Не мала розв'язків: $a ⩽ 3$ .
3) Мала розв'язок: $a ⩽ - 2$ (напр., $- 3, - 4, - 5$ ). Не мала розв'язків: $a > - 2$ .

Завдання 289

Системи нерівностей з квадратними виразами

Розв'язати системи:
а) ${c^{2} - 3 < (c + 3)^{2}, 2 c + c^{2} > (c - 2)^{2};$
б) ${5 - (x + 3)^{2} > (x - 2) (1 - x), x (x + 7) < (x + 7)^{2} - 7;$

Розв’язання

Система а):
Перша нерівність: $c^{2} - 3 < c^{2} + 6 c + 9 \Rightarrow - 3 < 6 c + 9 \Rightarrow - 12 < 6 c \Rightarrow c > - 2$ .
Друга нерівність: $2 c + c^{2} > c^{2} - 4 c + 4 \Rightarrow 2 c > - 4 c + 4 \Rightarrow 6 c > 4 \Rightarrow c > \frac{2}{3}$ .
Перетин проміжків: $c > \frac{2}{3}$ .
Система б):
Перша нерівність: $5 - (x^{2} + 6 x + 9) > x - x^{2} - 2 \Rightarrow 5 - x^{2} - 6 x - 9 > x - x^{2} - 2 \Rightarrow - 4 - 6 x > x - 2 \Rightarrow - 7 x > 2 \Rightarrow x < - \frac{2}{7}$ .
Друга нерівність: $x^{2} + 7 x < x^{2} + 14 x + 49 - 7 \Rightarrow x^{2} + 7 x < x^{2} + 14 x + 42 \Rightarrow 7 x < 14 x + 42 \Rightarrow - 7 x < 42 \Rightarrow x > - 6$ .
Перетин проміжків: $- 6 < x < - \frac{2}{7}$ .

Відповідь:

а) $c \in (\frac{2}{3}; + \infty)$
б) $x \in (- 6; - \frac{2}{7})$

Сторінка 57

Завдання 293

Область визначення виразів із коренями

Знайти множину значень $x$ , при яких мають зміст:
а) $5 - x + x - 3$ ;
б) $2 x - 1 - 3 x + 2$ ;
в) $x + 3 + \frac{1}{x - 3}$ .

Розв’язання

а) Запишемо систему: $5 - x \geq 0$ і $x - 3 \geq 0$ . Розв'яжемо: $x \leq 5$ та $x \geq 3$ . Перетин цих проміжків: $[3; 5]$ .
б) Запишемо систему: $2 x - 1 \geq 0$ і $3 x + 2 \geq 0$ . Розв'яжемо: $x \geq 0, 5$ та $x \geq - \frac{2}{3}$ . Оскільки $0, 5 > - \frac{2}{3}$ , то умова виконується при $x \geq 0, 5$ . Відповідь: $[0, 5; + \infty)$ .
в) Запишемо умови для кореня та знаменника окремо: $x + 3 \geq 0$ і $x - 3 > 0$ . Розв'язуємо: $x \geq - 3$ і $x > 3$ . Перетин множин: $x > 3$ . Відповідь: $(3; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $[3; 5]$ ; б) $[0, 5; + \infty)$ ; в) $(3; + \infty)$ .

Завдання 294

Область визначення виразів із коренями

Знайти множину значень $x$ , при яких мають зміст:
а) $x - 6 - x + 8$ ;
б) $2 x - 9 + 18 - 3 x$ ;
в) $\frac{2 x + 3}{5} + \frac{5}{3 x + 2}$ .

Розв’язання

а) Система: $x - 6 \geq 0$ і $x + 8 \geq 0$ . Розв'язуємо: $x \geq 6$ та $x \geq - 8$ . Перетин: $x \geq 6$ . Відповідь: $[6; + \infty)$ .
б) Система: $2 x - 9 \geq 0$ і $18 - 3 x \geq 0$ . Розв'язуємо: $x \geq 4, 5$ та $x \leq 6$ . Перетин проміжків: $[4, 5; 6]$ .
в) Система: $2 x + 3 \geq 0$ і $3 x + 2 > 0$ (знаменник не нуль). Розв'язуємо: $x \geq - 1, 5$ та $x > - \frac{2}{3}$ . Оскільки $- \frac{2}{3} > - 1, 5$ , то умова виконується при $x > - \frac{2}{3}$ . Відповідь: $(- \frac{2}{3}; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $[6; + \infty)$ ; б) $[4, 5; 6]$ ; в) $(- \frac{2}{3}; + \infty)$ .

Завдання 295

Область визначення функцій із коренями та дробами

Знайти множину значень $x$ , при яких визначені функції:
а) $x + 4 - \frac{6 x - 2}{3 - 5 x}$ ;
б) $\frac{2}{3 x - 9} + \frac{2 x}{11 - 2 x}$ ;
в) $15 - 5 x + \frac{0 , 5 x + 7}{x}$ .

Розв’язання

а) Умови: $x + 4 \geq 0$ , $3 - 5 x > 0$ . Розв'язуємо: $x \geq - 4$ та $x < 0, 6$ . Перетин: $[- 4; 0, 6)$ .
б) Умови: $3 x - 9 > 0$ , $11 - 2 x > 0$ . Розв'язуємо: $x > 3$ та $x < 5, 5$ . Перетин проміжків: $(3; 5, 5)$ .
в) Умови: $15 - 5 x \geq 0$ , $0, 5 x + 7 > 0$ (під коренем у знаменнику), $x \neq = 0$ . Розв'язуємо: $x \leq 3$ , $x > - 14$ , $x \neq = 0$ . Перетин множин: $[- 3; 0) \cup (0; 3]$ .

Відповідь:

а) $[- 4; 0, 6)$ ; б) $(3; 5, 5)$ ; в) $[- 3; 0) \cup (0; 3]$ .

Завдання 296

Область визначення виразів з коренями

Знайти значення $x$ , при яких мають зміст вирази:
а) $x - 3 + \frac{2}{20 - 3 x}$ ;
б) $\frac{x}{6 x - 12} + \frac{2 - x}{13 + 2 x}$ ;
в) $6 x - 39 + \frac{8 - 0 , 5 x}{x + 5}$ .

Розв’язання

Пункт а):
- Перший доданок $x - 3$ існує при $x - 3 \geq 0$ , тобто $x \geq 3$ .
- Другий доданок $\frac{2}{20 - 3 x}$ має корінь у знаменнику, тому $20 - 3 x > 0$ , звідки $3 x < 20$ або $x < \frac{20}{3}$ .
- Об'єднуємо умови: $3 \leq x < \frac{20}{3}$ .
Пункт б):
- У першому доданку корінь у знаменнику: $6 x - 12 > 0 \Rightarrow 6 x > 12 \Rightarrow x > 2$ .
- У другому доданку корінь у знаменнику: $13 + 2 x > 0 \Rightarrow 2 x > - 13 \Rightarrow x > - 6, 5$ .
- Об'єднуємо умови ( $x$ має задовольняти обидві): $x > 2$ .
Пункт в):
- Перший корінь: $6 x - 39 \geq 0 \Rightarrow 6 x \geq 39 \Rightarrow x \geq 6, 5$ .
- Другий корінь у чисельнику: $8 - 0, 5 x \geq 0 \Rightarrow 0, 5 x \leq 8 \Rightarrow x \leq 16$ .
- Знаменник дробу не може бути нулем: $x + 5 \neq = 0 \Rightarrow x \neq = - 5$ .
- Перетин умов: $6, 5 \leq x \leq 16$ (умова $x \neq = - 5$ виконується автоматично).

Відповідь:

а) $3 \leq x < \frac{20}{3}$ ; б) $x > 2$ ; в) $6, 5 \leq x \leq 16$ .

Завдання 297

Нерівності для виразу з лінійною функцією

Знайти значення $x$ , при яких $4 x - 1$ належить проміжку:
а) $(1; 2)$ ;
б) $[- 2; 0]$ ;
в) $(- \infty; 0)$ ;
г) $[3; 7]$ .

Розв’язання

Пункт а):
- Нерівність: $1 < 4 x - 1 < 2$ .
- Додамо 1 до всіх частин: $2 < 4 x < 3$ .
- Поділимо на 4: $\frac{2}{4} < x < \frac{3}{4}$ , тобто $0, 5 < x < 0, 75$ .
Пункт б):
- Нерівність: $- 2 \leq 4 x - 1 \leq 0$ .
- Додамо 1: $- 1 \leq 4 x \leq 1$ .
- Поділимо на 4: $- \frac{1}{4} \leq x \leq \frac{1}{4}$ , тобто $- 0, 25 \leq x \leq 0, 25$ .
Пункт в):
- Нерівність: $4 x - 1 < 0$ .
- Додамо 1: $4 x < 1$ .
- Поділимо на 4: $x < 0, 25$ .
Пункт г):
- Нерівність: $3 \leq 4 x - 1 \leq 7$ .
- Додамо 1: $4 \leq 4 x \leq 8$ .
- Поділимо на 4: $1 \leq x \leq 2$ .

Відповідь:

а) $0, 5 < x < 0, 75$ ; б) $- 0, 25 \leq x \leq 0, 25$ ; в) $x < 0, 25$ ; г) $1 \leq x \leq 2$ .

Завдання 298

Нерівності для виразу з лінійною функцією (англійською)

Знайти значення $c$ , при яких $\frac{2 - 3 c}{4}$ належить проміжку:
а) $(- \infty; 0)$ ;
б) $[0; + \infty)$ ;
в) $(- 1; 1)$ ;
г) $[1; 8]$ .

Розв’язання

Пункт а):
- Нерівність: $\frac{2 - 3 c}{4} < 0$ .
- Помножимо на 4 (знак не змінюється): $2 - 3 c < 0$ .
- Перенесемо 2: $- 3 c < - 2$ .
- Поділимо на -3 і змінимо знак нерівності на протилежний: $c > \frac{2}{3}$ .
Пункт б):
- Нерівність: $\frac{2 - 3 c}{4} \geq 0$ .
- Помножимо на 4: $2 - 3 c \geq 0$ .
- Перенесемо 2: $- 3 c \geq - 2$ .
- Поділимо на -3 і змінимо знак: $c \leq \frac{2}{3}$ .
Пункт в):
- Нерівність: $- 1 < \frac{2 - 3 c}{4} < 1$ .
- Помножимо на 4: $- 4 < 2 - 3 c < 4$ .
- Віднімемо 2 від усіх частин: $- 6 < - 3 c < 2$ .
- Поділимо на -3 і змінимо знаки нерівностей: $2 > c > - \frac{2}{3}$ . Записуємо як $- \frac{2}{3} < c < 2$ .
Пункт г):
- Нерівність: $1 \leq \frac{2 - 3 c}{4} \leq 8$ .
- Помножимо на 4: $4 \leq 2 - 3 c \leq 32$ .
- Віднімемо 2: $2 \leq - 3 c \leq 30$ .
- Поділимо на -3 і змінимо знаки: $- \frac{2}{3} \geq c \geq - 10$ . Записуємо як $- 10 \leq c \leq - \frac{2}{3}$ .

Відповідь:

а) $c > \frac{2}{3}$ ; б) $c \leq \frac{2}{3}$ ; в) $- \frac{2}{3} < c < 2$ ; г) $- 10 \leq c \leq - \frac{2}{3}$ .

Сторінка 58

Завдання 299

Нерівність з лінійним виразом

Знайти всі значення $x$ , при яких $2 - 5 x \in (- 3; 6)$ .

Розв’язання

Розв'яжемо першу нерівність: $- 3 < 2 - 5 x \Rightarrow - 5 < - 5 x \Rightarrow x < 1$ .
Розв'яжемо другу нерівність: $2 - 5 x < 6 \Rightarrow - 5 x < 4 \Rightarrow x > - 0, 8$ .
Перетин цих проміжків дає розв'язок системи: $- 0, 8 < x < 1$ .

Відповідь:

Завдання 300

Розв'язування нерівностей з дужками

а) $(x + 2) (x - 7) < 0$ ;
б) $(x - 3) (2 x - 5) > 0$ ;
в) $(3 - 2 z) (1 + z) \geq 0$ ;
г) $(2 y + 8) (7 - 4 y) \leq 0$ ;
ґ) $0, 5 x (x + 3) < 0$ ;
д) $(x^{2} + 1) (5 - x) \leq 0$ .

Розв’язання

а) Корені: $- 2; 7$ . Знак від'ємний між коренями: $x \in (- 2; 7)$ .
б) Корені: $3; 2, 5$ . Знак додатний зовні коренів: $x \in (- \infty; 2, 5) \cup (3; + \infty)$ .
в) Корені: $- 1; 1, 5$ . Знак невід'ємний всередині коренів: $z \in [- 1; 1, 5]$ .
г) Корені: $- 4; 1, 75$ . Знак від'ємний зовні коренів: $y \in (- \infty; - 4) \cup (1, 75; + \infty)$ .
ґ) Корені: $0; - 3$ . Знак від'ємний між коренями: $x \in (- 3; 0)$ .
д) Перший множник $(x^{2} + 1)$ завжди додатний, тому розв'язок залежить від другого множника: $5 - x \leq 0 \Rightarrow x \geq 5$ .

Відповідь:

а) $(- 2; 7)$ ; б) $(- \infty; 2, 5) \cup (3; + \infty)$ ; в) $[- 1; 1, 5]$ ; г) $(- \infty; - 4) \cup (1, 75; + \infty)$ ; ґ) $(- 3; 0)$ ; д) $[5; + \infty)$ .

Завдання 301

Розв'язування складених нерівностей

а) $(2 x + 1) (10 x - 7) \geq 0$ ;
б) $(5 - 2 x) (1 - 3 x) \leq 0$ ;
в) $(x^{2} + 5) (x + 5) > 0$ ;
г) $2 x (x - 6) < 0$ .

Розв’язання

а) Корені: $- 0, 5; 0, 7$ . Знак невід'ємний зовні коренів (включаючи корені): $x \in (- \infty; - 0, 5] \cup [0, 7; + \infty)$ .
б) Корені: $2, 5; 1/3$ . Знак невід'ємний зовні коренів: $x \in (- \infty; 1/3] \cup [2, 5; + \infty)$ .
в) Перший множник $(x^{2} + 5)$ завжди додатний, тому розв'язок залежить від другого: $x + 5 > 0 \Rightarrow x > - 5$ .
г) Корені: $0; 6$ . Знак від'ємний між коренями: $x \in (0; 6)$ .

Відповідь:

а) $(- \infty; - 0, 5] \cup [0, 7; + \infty)$ ; б) $(- \infty; 1/3] \cup [2, 5; + \infty)$ ; в) $(- 5; + \infty)$ ; г) $(0; 6)$ .

Завдання 302

Нерівності з квадратом змінної

а) $x^{2} \leq 25$ ; б) $x^{2} > 16$ ; в) $x^{2} < 2$ .

Розв’язання

а) Корені рівняння $x^{2} = 25$ : $x_{1} = - 5$ , $x_{2} = 5$ . Оскільки знак $\leq$ , розв'язок — проміжок між коренями включно: $[- 5; 5]$ .
б) Корені рівняння $x^{2} = 16$ : $x_{1} = - 4$ , $x_{2} = 4$ . Оскільки знак $>$ , розв'язок — об'єднання проміжків за коренями: $(- \infty; - 4) \cup (4; + \infty)$ .
в) Корені рівняння $x^{2} = 2$ : $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 2$ . Оскільки знак $<$ , розв'язок — проміжок між коренями: $(- 2; 2)$ .

Відповідь:

а) $- 5 \leq x \leq 5$ ; б) $x < - 4$ або $x > 4$ ; в) $- 2 < x < 2$ .

Завдання 303

Розв'язання раціональних нерівностей

а) $\frac{x + 3}{x - 7} > 0$ ; б) $\frac{5 - 2 x}{2 x - 7} \geq 0$ ; в) $\frac{3 - x}{2 x - 1} < 0$ .

Розв’язання

а) Нулі: $x + 3 = 0 \Rightarrow x = - 3$ ; $x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7$ . Дріб додатний при $x < - 3$ (від'ємний/від'ємний) або $x > 7$ (додатний/додатний). Відповідь: $(- \infty; - 3) \cup (7; + \infty)$ .
б) Нулі: $5 - 2 x = 0 \Rightarrow x = 2, 5$ ; $2 x - 7 = 0 \Rightarrow x = 3, 5$ . Дріб невід'ємний між коренями, але треба виключити точку, де знаменник дорівнює нулю ( $x = 3, 5$ ). Відповідь: $[2, 5; 3, 5)$ .
в) Нулі: $3 - x = 0 \Rightarrow x = 3$ ; $2 x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0, 5$ . Дріб від'ємний при $x < 0, 5$ (від'ємний/додатний — ні) або $x > 3$ (додатний/від'ємний — ні). Перевіримо: при $x = 1$ дріб $\frac{2}{1} > 0$ , при $x = 4$ дріб $\frac{- 1}{7} < 0$ . Отже, розв'язок $x > 3$ . Відповідь: $(3; + \infty)$ .

Відповідь:

а) $x < - 3$ або $x > 7$ ; б) $2, 5 \leq x < 3, 5$ ; в) $x > 3$ .

Завдання 304

Розв'язання нерівностей з дробами

а) $\frac{3 x - 1}{x + 5} \leq 0$ ; б) $\frac{5 - 2 x}{2 + 5 x} > 0$ ; в) $\frac{6 + 3 x}{7 x - 14} \leq 0$ .

Розв’язання

а) Корені: $3 x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$ ; $x + 5 = 0 \Rightarrow x = - 5$ . Дріб $\leq 0$ між коренями, але треба виключити $x = - 5$ . Відповідь: $(- 5; \frac{1}{3}]$ .
б) Корені: $5 - 2 x = 0 \Rightarrow x = 2, 5$ ; $2 + 5 x = 0 \Rightarrow x = - 0, 4$ . Дріб $> 0$ між коренями, виключаючи кінці проміжку. Відповідь: $(- 0, 4; 2, 5)$ .
в) Корені: $6 + 3 x = 0 \Rightarrow x = - 2$ ; $7 x - 14 = 0 \Rightarrow x = 2$ . Дріб $\leq 0$ між коренями, виключаючи $x = 2$ . Відповідь: $[- 2; 2)$ .

Відповідь:

а) $- 5 < x \leq \frac{1}{3}$ ; б) $- 0, 4 < x < 2, 5$ ; в) $- 2 \leq x < 2$ .

Завдання 305

Нерівності з параметром n

а) $\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n - 1} > \frac{1}{( n + 1 ) ( n - 1 )}$ ;
б) $\frac{3}{n - 4} + \frac{3}{3 - n} < \frac{3}{( n - 4 ) ( 3 - n )}$ .

Розв’язання

а) Знайдемо спільний знаменник для лівої частини: $\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n - 1} = \frac{( n - 1 ) - ( n + 1 )}{( n + 1 ) ( n - 1 )} = \frac{- 2}{( n + 1 ) ( n - 1 )}$ .
Порівняємо з правою частиною: $\frac{- 2}{( n + 1 ) ( n - 1 )} > \frac{1}{( n + 1 ) ( n - 1 )}$ . Оскільки знаменники однакові, порівнюємо чисельники: $- 2 > 1$ — це хибна нерівність. Отже, розв'язків немає.
б) Спростимо ліву частину: $\frac{3}{n - 4} + \frac{3}{- ( n - 3 )} = \frac{3}{n - 4} - \frac{3}{n - 3} = \frac{3 ( n - 3 ) - 3 ( n - 4 )}{( n - 4 ) ( n - 3 )} = \frac{3 n - 9 - 3 n + 12}{( n - 4 ) ( n - 3 )} = \frac{3}{( n - 4 ) ( n - 3 )}$ .
Порівняємо з правою частиною: $\frac{3}{( n - 4 ) ( n - 3 )} < \frac{3}{( n - 4 ) ( n - 3 )}$ . Це означає $3 < 3$ , що також є хибним твердженням.

Відповідь:

а) розв'язків немає; б) розв'язків немає.

Завдання 306

Система трьох нерівностей

а) $⎩ ⎨ ⎧ 2 x - 1 > 5 4 x - 3 < 37 3 x - 5 > 7$ ;
б) $⎩ ⎨ ⎧ 3 x - 2 ⩽ 5 x - 8 2 x - 1 ⩽ 4 (2 - x) 2 x - 7 < 3 (1 - x)$ .

Розв’язання

а) Розв'язуємо першу: $2 x > 6 \Rightarrow x > 3$ . Другу: $4 x < 40 \Rightarrow x < 10$ . Третю: $3 x > 12 \Rightarrow x > 4$ .
Перетин проміжків $(3; + \infty)$ , $(- \infty; 10)$ і $(4; + \infty)$ — це інтервал $(4; 10)$ .
б) Розв'язуємо першу: $3 x - 2 ⩽ 5 x - 8 \Rightarrow - 2 x ⩽ - 6 \Rightarrow x ⩾ 3$ . Другу: $2 x - 1 ⩽ 8 - 4 x \Rightarrow 6 x ⩽ 9 \Rightarrow x ⩽ 1, 5$ . Третю: $2 x - 7 < 3 - 3 x \Rightarrow 5 x < 10 \Rightarrow x < 2$ .
Шукаємо спільну частину для $x ⩾ 3$ , $x ⩽ 1, 5$ і $x < 2$ . Оскільки $3 > 1, 5$ , перетин порожній.

Відповідь:

а) $4 < x < 10$ ; б) розв'язків немає.

Завдання 307

Система подвійних нерівностей

а) ${0 < 1 - 2 x < 1 3 < 3 x + 4 < 5$ ;
б) ${1 < 5 - 3 x < 3 - 3 < 3 - 2 x < 1$ .

Розв’язання

а) Перший рядок: $0 < 1 - 2 x \Rightarrow 2 x < 1 \Rightarrow x < 0, 5$ ; $1 - 2 x < 1 \Rightarrow - 2 x < 0 \Rightarrow x > 0$ . Другий рядок: $3 < 3 x + 4 \Rightarrow 3 x > - 1 \Rightarrow x > - \frac{1}{3}$ ; $3 x + 4 < 5 \Rightarrow 3 x < 1 \Rightarrow x < \frac{1}{3}$ .
Перетин усіх умов: $x > 0$ і $x < \frac{1}{3}$ (оскільки $0 > - \frac{1}{3}$ і $\frac{1}{3} < 0, 5$ ). Отже, $0 < x < \frac{1}{3}$ .
б) Перший рядок: $1 < 5 - 3 x \Rightarrow 3 x < 4 \Rightarrow x < \frac{4}{3}$ ; $5 - 3 x < 3 \Rightarrow - 3 x < - 2 \Rightarrow x > \frac{2}{3}$ . Другий рядок: $- 3 < 3 - 2 x \Rightarrow 2 x < 6 \Rightarrow x < 3$ ; $3 - 2 x < 1 \Rightarrow - 2 x < - 2 \Rightarrow x > 1$ .
Перетин усіх умов: $x > \frac{2}{3}$ і $x > 1$ (тобто $x > 1$ ), а також $x < \frac{4}{3}$ і $x < 3$ (тобто $x < \frac{4}{3}$ ). Отже, $1 < x < \frac{4}{3}$ .

Відповідь:

а) $0 < x < \frac{1}{3}$ ; б) $1 < x < \frac{4}{3}$ .

Завдання 308

Розв'язування нерівностей з модулем

а) $∣2 x + 3∣ < 5$ ;
б) $∣3 x - 1∣ \geq 2$ ;
в) $∣6 - x ∣ \leq 4$ .

Розв’язання

а) Запишемо подвійну нерівність: $- 5 < 2 x + 3 < 5$ . Віднімемо 3 від усіх частин: $- 8 < 2 x < 2$ . Поділимо на 2: $- 4 < x < 1$ .
б) Розв'яжемо дві нерівності окремо. Перша: $3 x - 1 \geq 2 \Rightarrow 3 x \geq 3 \Rightarrow x \geq 1$ . Друга: $3 x - 1 \leq - 2 \Rightarrow 3 x \leq - 1 \Rightarrow x \leq - \frac{1}{3}$ .
в) Запишемо подвійну нерівність: $- 4 \leq 6 - x \leq 4$ . Віднімемо 6 від усіх частин: $- 10 \leq - x \leq - 2$ . Помножимо на $- 1$ і змінимо знаки нерівностей: $2 \leq x \leq 10$ .

Відповідь:

а) $(- 4; 1)$ ; б) $(- \infty; - \frac{1}{3}] \cup [1; + \infty)$ ; в) $[2; 10]$ .

Завдання 309

Розв'язування нерівностей з модулем (продовження)

а) $∣3 x - 4∣ < 2$ ;
б) $∣2 x + 5∣ > 3$ ;
в) $∣5 - x ∣ \geq 2$ .

Розв’язання

а) $- 2 < 3 x - 4 < 2$ . Додамо 4: $2 < 3 x < 6$ . Поділимо на 3: $\frac{2}{3} < x < 2$ .
б) Розв'яжемо дві нерівності. Перша: $2 x + 5 > 3 \Rightarrow 2 x > - 2 \Rightarrow x > - 1$ . Друга: $2 x + 5 < - 3 \Rightarrow 2 x < - 8 \Rightarrow x < - 4$ .
в) Розв'яжемо як подвійну нерівність: $- 2 \leq 5 - x \leq 2$ . Віднімемо 5: $- 7 \leq - x \leq - 3$ . Помножимо на $- 1$ : $3 \geq x \geq 7$ , що неможливо, оскільки $3 < 7$ . Перевіримо знаки: $- 2 \leq 5 - x \Rightarrow x \leq 7$ ; $5 - x \leq 2 \Rightarrow - x \leq - 3 \Rightarrow x \geq 3$ . Отже, $[3; 7]$ .

Відповідь:

а) $(\frac{2}{3}; 2)$ ; б) $(- \infty; - 4) \cup (- 1; + \infty)$ ; в) $[3; 7]$ .

Завдання 310

Порівняння нерівностей з квадратом та модулем

Чи правильно, якщо число $a$ додатне, що:
а) $x^{2} < a^{2}$ рівносильна $∣ x ∣ < a$ ;
б) $x^{2} > a^{2}$ рівносильна $∣ x ∣ > a$ .

Розв’язання

а) Якщо $x^{2} < a^{2}$ , то беремо квадратний корінь: $x^{2} < a^{2}$ . Оскільки $y^{2} = ∣ y ∣$ , отримуємо $∣ x ∣ < a$ . Це рівносильність.
б) Якщо $x^{2} > a^{2}$ , то беремо квадратний корінь: $x^{2} > a^{2}$ , що дає $∣ x ∣ > a$ . Це також рівносильність.

Відповідь:

а) Так, рівносильна; б) Так, рівносильна.

Завдання 311

Розв'язування нерівностей з квадратом

а) $(x + 2)^{2} > 16$ ;
б) $(x - 1)^{2} < 4$ ;
в) $(2 x + 1)^{2} < 9$ .

Розв’язання

а) Знайди корені рівняння $(x + 2)^{2} = 16$ . Корені: $- 2$ та $4$ . Оскільки знак нерівності «більше», розв'язок — це об'єднання проміжків за межами коренів: $x < - 6$ або $x > 2$ .
б) Знайди корені рівняння $(x - 1)^{2} = 4$ . Корені: $- 1$ та $3$ . Оскільки знак «менше», розв'язок — це проміжок між коренями: $- 1 < x < 3$ .
в) Знайди корені рівняння $(2 x + 1)^{2} = 9$ . Корені: $- 2$ та $4$ . Оскільки знак «менше», розв'язок — проміжок між коренями: $- 2 < x < 4$ .

Відповідь:

а) $(- \infty; - 6) \cup (2; + \infty)$ ; б) $(- 1; 3)$ ; в) $(- 2; 4)$ .

Сторінка 59

Завдання 312

Нерівності з квадратом виразу

а) $(x - 8)^{2} < 1$ ;
б) $(x - 2)^{2} \geq 25$ ;
в) $(5 x - 3)^{2} > 49$ .

Розв’язання

а) Нерівність $(x - 8)^{2} < 1$ еквівалентна $- 1 < x - 8 < 1$ . Додамо 8 до всіх частин: $7 < x < 9$ .
б) Нерівність $(x - 2)^{2} \geq 25$ означає, що відстань від $x$ до 2 більша або дорівнює 5. Корені рівняння $(x - 2)^{2} = 25$ : $x_{1} = - 3$ , $x_{2} = 7$ . Оскільки знак $\geq$ , розв'язок — обидва проміжки за межі коренів: $x \leq - 3$ або $x \geq 7$ .
в) Нерівність $(5 x - 3)^{2} > 49$ еквівалентна $∣5 x - 3∣ > 7$ . Це означає дві нерівності: $5 x - 3 > 7$ або $5 x - 3 < - 7$ .
Розв'язуємо першу: $5 x > 10 \Rightarrow x > 2$ .
Розв'язуємо другу: $5 x < - 4 \Rightarrow x < - 0, 8$ .

Відповідь:

а) $(7; 9)$ ;
б) $(- \infty; - 3] \cup [7; + \infty)$ ;
в) $(- \infty; - 0, 8) \cup (2; + \infty)$ .

Завдання 313

Параметричні системи без розв'язків

а) ${3 x > 2 x + 5 x < a$
б) ${3 (x + 8) \geq 2 (3 + 2 x) x + 2 \geq a$

Розв’язання

а) Розв'язуємо першу нерівність: $3 x > 2 x + 5 \Rightarrow x > 5$ . Друга: $x < a$ . Система не має розв'язків, якщо верхня межа менша або дорівнює нижній: $a \leq 5$ .
б) Розкриваємо дужки в першій нерівності: $3 x + 24 \geq 6 + 4 x \Rightarrow - x \geq - 18 \Rightarrow x \leq 18$ . Друга нерівність: $x \geq a - 2$ . Система не має розв'язків, якщо $a - 2 > 18$ , тобто $a > 20$ .

Відповідь:

а) $a \leq 5$ ;
б) $a > 20$ .

Завдання 314

Розв'язання параметричних систем нерівностей

а) ${5 x - 4 > x + 8 x < a$
б) ${2 (x - 1) \geq x + 3 x \geq a$

Розв’язання

а) Перша нерівність: $5 x - x > 8 + 4 \Rightarrow 4 x > 12 \Rightarrow x > 3$ . Друга: $x < a$ . Розв'язок існує, якщо $a > 3$ , тоді $x \in (3; a)$ . Якщо $a \leq 3$ , розв'язку немає.
б) Перша нерівність: $2 x - 2 \geq x + 3 \Rightarrow x \geq 5$ . Друга: $x \geq a$ . Розв'язок — це більша з двох меж: $x \geq max (5; a)$ .

Відповідь:

а) Якщо $a > 3$ , то $(3; a)$ ; якщо $a \leq 3$ , розв'язків немає.
б) $x \geq max (5; a)$ (тобто, якщо $a < 5$ , то $x \geq 5$ ; якщо $a \geq 5$ , то $x \geq a$ ).

Завдання 315

Розв'язування системи нерівностей з параметром

а) ${3 - x < 6 - 2 x, x > a;$
б) ${5 x + 13 \leq 2 (1 + 2 x), x - 3 \leq a .$

Розв’язання

Розв'язуємо першу нерівність у пункті а): $3 - x < 6 - 2 x \Rightarrow - x + 2 x < 6 - 3 \Rightarrow x < 3$ . Друга нерівність $x > a$ вже виражена через параметр. Отже, розв'язок системи: $a < x < 3$ .
Розв'язуємо першу нерівність у пункті б): $5 x + 13 \leq 2 + 4 x \Rightarrow 5 x - 4 x \leq 2 - 13 \Rightarrow x \leq - 11$ . Друга нерівність $x - 3 \leq a \Rightarrow x \leq a + 3$ . Отже, розв'язок системи: $x \leq min (- 11; a + 3)$ .

Відповідь:

а) $a < x < 3$ ;
б) $x \leq - 11$ , якщо $a + 3 > - 11$ (тобто $a > - 14$ ); $x \leq a + 3$ , якщо $a + 3 \leq - 11$ (тобто $a \leq - 14$ ).

Завдання 316

Знаходження параметра за умовою найменшого цілого розв'язку

За яких значень параметра $a$ найменший цілий розв'язок системи ${5 x - 17 < 2 (x - 4), x \geq a$ дорівнює 1?

Розв’язання

Розв'язуємо першу нерівність: $5 x - 17 < 2 x - 8 \Rightarrow 5 x - 2 x < 17 - 8 \Rightarrow 3 x < 9 \Rightarrow x < 3$ .
Друга нерівність системи: $x \geq a$ . Розв'язок системи — це перетин проміжків $(- \infty; 3)$ і $[a; + \infty)$ . Це проміжок $[a; 3)$ .
Найменшим цілим числом у цьому проміжку має бути 1. Це означає, що число 1 має входити в проміжок (тобто $1 \geq a$ ), а число 0 не повинно входити (тобто $0 < a$ , інакше найменшим цілим буде 0).
Отже, $0 < a \leq 1$ .

Відповідь:

$a \in (0; 1]$ .

Завдання 317

Знаходження параметра за умовою найбільшого цілого розв'язку

За яких значень параметра $a$ найбільший цілий розв'язок системи ${4 x - 7 < 5 (x - 1), x \leq a$ дорівнює 3?

Розв’язання

Розв'язуємо першу нерівність: $4 x - 7 < 5 x - 5 \Rightarrow - x < - 5 + 7 \Rightarrow - x < 2 \Rightarrow x > - 2$ .
Друга нерівність системи: $x \leq a$ . Розв'язок системи — це перетин проміжків $(- 2; + \infty)$ і $(- \infty; a]$ . Це проміжок $(- 2; a]$ .
Найбільшим цілим числом у цьому проміжку має бути 3. Це означає, що число 3 має входити в проміжок (тобто $3 \leq a$ ), а число 4 не повинно входити (тобто $a < 4$ , інакше найбільшим цілим буде 4).
Отже, $3 \leq a < 4$ .

Відповідь:

$a \in [3; 4)$ .

Завдання 318

Параметр і додатні корені

Знайти всі цілі значення параметра $a$ , при яких обидва корені рівняння $x^{2} - (3 a + 5) x + 2 a^{2} + 8 a + 6 = 0$ є додатними.

Розв’язання

Запишемо умови для додатності коренів рівняння $x^{2} - (3 a + 5) x + 2 a^{2} + 8 a + 6 = 0$ :
$Δ \geq 0$ , $x_{1} + x_{2} = 3 a + 5 > 0$ , $x_{1} x_{2} = 2 a^{2} + 8 a + 6 > 0$ .
Розглянемо умову на добуток коренів: $2 a^{2} + 8 a + 6 > 0$ . Ділимо на 2: $a^{2} + 4 a + 3 > 0$ . Корені цього тричлена $- 1$ і $- 3$ . Тричлен додатний при $a < - 3$ або $a > - 1$ .
Розглянемо умову на суму коренів: $3 a + 5 > 0 \Rightarrow a > - \frac{5}{3}$ . Оскільки $- \frac{5}{3} \approx - 1, 67$ , це сузить діапазон до $a > - 1, 67$ . Перетин з попередньою умовою дає $a > - 1$ .
Розглянемо дискримінант: $Δ = (3 a + 5)^{2} - 4 (2 a^{2} + 8 a + 6) = 9 a^{2} + 30 a + 25 - 8 a^{2} - 32 a - 24 = a^{2} - 2 a + 1 = (a - 1)^{2}$ . Оскільки квадрат будь-якого числа невід'ємний, умова $Δ \geq 0$ виконується завжди.
Об'єднаємо умови: $a > - 1$ . Знайдемо цілі значення параметра $a$ , що задовольняють цю нерівність.

Відповідь:

$a \in {0, 1, 2, \dots}$

Завдання 320

Кількість цілих значень параметра

Визначити кількість цілих значень параметра $a$ , за яких рівняння $(9 - a) x + 20 - 3 a - 2 a^{2} = 0$ має лише додатні корені.

Розв’язання

Визначимо коефіцієнт при $x$ : $A = 9 - a$ .
Випадок 1: $A \neq = 0$ , тобто $a \neq = 9$ . Рівняння лінійне, має один корінь $x = - \frac{20 - 3 a - 2 a ^{2}}{9 - a}$ .
Для того щоб корінь був додатним ( $x > 0$ ), чисельник і знаменник мають мати однаковий знак.
Розкладемо чисельник на множники: $- (2 a^{2} + 3 a - 20) = - (2 a - 5) (a + 4)$ .
Отже, $x = \frac{- ( 2 a - 5 ) ( a + 4 )}{9 - a}$ .
Потрібно $\frac{- ( 2 a - 5 ) ( a + 4 )}{9 - a} > 0$ . Розв'яжемо цю нерівність методом інтервалів. Корені чисельника: $2, 5$ і $- 4$ . Критична точка знаменника: $9$ .
Знаки змінюються в точках $- 4$ , $2, 5$ , $9$ . Перевіряючи знаки, отримуємо розв'язок $a \in (- \infty; - 4) \cup (2, 5; 9)$ .
Випадок 2: $A = 0$ , тобто $a = 9$ . Рівняння перетворюється на $0 x + 20 - 27 - 18 = 0 \Rightarrow - 25 = 0$ (суперечність). Розв'язків немає.
Об'єднаємо розв'язки: $a \in (- \infty; - 4) \cup (2, 5; 9)$ .
Знайдемо цілі значення $a$ в цьому проміжку:
Для $(- \infty; - 4)$ : $\dots, - 6, - 5$ . (2 числа).
Для $(2, 5; 9)$ : $3, 4, 5, 6, 7, 8$ . (6 чисел).

Відповідь:

Завдання 321

Параметр у квадратному рівнянні з умовою на корені

Знайти кількість цілих значень параметра $a$ , за яких корені $x_{1}$ і $x_{2}$ рівняння $x^{2} - 4 a x + 4 a^{2} - 25 = 0$ задовольняють умову $x_{1} < 1 < x_{2}$ .

Розв’язання

Запишемо умову розташування коренів через функцію $f (x) = x^{2} - 4 a x + 4 a^{2} - 25$ . Оскільки парабола відкрита вгору ( $k = 1 > 0$ ), то для того щоб $x_{1} < 1 < x_{2}$ , має виконуватися $f (1) < 0$ .
Підставимо $x = 1$ у вираз: $1^{2} - 4 a \cdot 1 + 4 a^{2} - 25 < 0$ , що спрощується до $4 a^{2} - 4 a - 24 < 0$ .
Поділимо нерівність на 4: $a^{2} - a - 6 < 0$ . Розкладемо на множники: $(a - 3) (a + 2) < 0$ . Розв'язок цієї нерівності: $- 2 < a < 3$ .
Знайдемо цілі числа в проміжку $(- 2; 3)$ : це $- 1, 0, 1, 2$ . Кількість таких чисел — 4.

Відповідь:

Завдання 322

Розв'язання нерівностей з коренями

а) $(x - 3) x - 2 \leq 0$ ; б) $(2 x - 4) 3 x - 2 \geq 0$ ; в) $(5 - 2 x) x^{2} + 3 \geq 0$ .

Розв’язання

а) ОДЗ: $x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$ . Нерівність $(x - 3) x - 2 \leq 0$ виконується, якщо $x - 3 \leq 0$ (оскільки $x - 2 \geq 0$ ). Отже, $x \leq 3$ . Перетин умов: $2 \leq x \leq 3$ .
б) ОДЗ: $3 x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{2}{3}$ . Нерівність $(2 x - 4) 3 x - 2 \geq 0$ виконується, якщо $2 x - 4 \geq 0$ , тобто $x \geq 2$ . Перетин з ОДЗ дає $x \geq 2$ .
в) ОДЗ: $x^{2} + 3 \geq 0$ — виконується для всіх дійсних $x$ . Нерівність $(5 - 2 x) x^{2} + 3 \geq 0$ виконується, якщо $5 - 2 x \geq 0$ , тобто $x \leq 2, 5$ .

Відповідь:

а) $[2; 3]$ ; б) $[2; + \infty)$ ; в) $(- \infty; 2, 5]$

Завдання 323

Знаходження найбільшого цілого розв'язку нерівності

а) $\frac{3 x - 1}{2 x + 4} \geq 2$ ; б) $\frac{2 x + 3}{2 - x} \geq 5$ .

Розв’язання

а) Перенесемо 2 вліво: $\frac{3 x - 1}{2 x + 4} - 2 \geq 0 \Rightarrow \frac{3 x - 1 - 2 ( 2 x + 4 )}{2 x + 4} \geq 0 \Rightarrow \frac{3 x - 1 - 4 x - 8}{2 x + 4} \geq 0 \Rightarrow \frac{- x - 9}{2 ( x + 2 )} \geq 0$ . Знаменник не може бути нулем: $x \neq = - 2$ . Критичні точки: $x = - 9$ (чисельник), $x = - 2$ (знаменник). Перевіряємо знаки: при $x > - 2$ вираз від'ємний, при $- 9 < x < - 2$ вираз додатний. Розв'язок: $(- 9; - 2)$ . Найбільше ціле число в цьому проміжку не існує (бо проміжок відкритий зправа). Перевіримо ще раз знак: $\frac{- ( x + 9 )}{2 ( x + 2 )} \geq 0$ . Знаменник $2 (x + 2)$ має той самий знак, що й $- (x + 9)$ . Якщо $x > - 2$ , знаменник додатний, чисельник від'ємний — дріб від'ємний. Якщо $x < - 9$ , обидва множники від'ємні (чисельник), дріб додатний. Розв'язок: $(- \infty; - 9]$ . Найбільше ціле число: $- 9$ .
б) Перенесемо 5 вліво: $\frac{2 x + 3}{2 - x} - 5 \geq 0 \Rightarrow \frac{2 x + 3 - 5 ( 2 - x )}{2 - x} \geq 0 \Rightarrow \frac{2 x + 3 - 10 + 5 x}{2 - x} \geq 0 \Rightarrow \frac{7 x - 7}{2 - x} \geq 0$ . Знаменник не може бути нулем: $x \neq = 2$ . Критичні точки: $x = 1$ (чисельник), $x = 2$ (знаменник). Розглянемо знаки: при $x > 2$ знаменник від'ємний, чисельник додатний — дріб від'ємний. При $1 < x < 2$ знаменник додатний, чисельник додатний — дріб додатний. При $x < 1$ обидва від'ємні — дріб додатний. Розв'язок: $(- \infty; 1] \cup (1; 2)$ . Найбільше ціле число в цьому розв'язку — це $1$ .

Відповідь:

а) $- 9$ ; б) $1$

Сторінка 60

Завдання 324

Розклад квадратних тричленів на множники

а) $x^{2} - 10 x + 21$ ; б) $a^{2} + 2 a - 15$ ; в) $2 x^{2} + 5 x - 3$ ; г) $c^{2} - 11 c - 26$ ; ґ) $9 a^{2} + 3 a - 2$ ; д) $4 c^{2} + 25 c + 25$ .

Розв’язання

Для $x^{2} - 10 x + 21$ шукаємо числа, сума яких $- 10$ , а добуток $21$ . Це $- 3$ і $- 7$ . Отже, $(x - 3) (x - 7)$ .
Для $a^{2} + 2 a - 15$ шукаємо числа, сума яких $2$ , а добуток $- 15$ . Це $6$ і $- 5$ . Отже, $(a + 6) (a - 5)$ .
Для $2 x^{2} + 5 x - 3$ знаходимо корені рівняння $2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$ : $D = 25 - 4 \cdot 2 \cdot (- 3) = 49$ , $x_{1} = \frac{- 5 - 7}{4} = - 3$ , $x_{2} = \frac{- 5 + 7}{4} = 0, 5$ . За формулою $(x - x_{1}) (x - x_{2})$ множник на $a$ треба взяти до уваги: $2 (x + 3) (x - 0, 5) = (x + 3) (2 x - 1)$ .
Для $c^{2} - 11 c - 26$ шукаємо числа, сума яких $- 11$ , а добуток $- 26$ . Це $- 13$ і $2$ . Отже, $(c - 13) (c + 2)$ .
Для $9 a^{2} + 3 a - 2$ знаходимо корені: $D = 9 - 4 \cdot 9 \cdot (- 2) = 81$ , $x_{1} = \frac{- 3 - 9}{18} = - 0, 66...$ , $x_{2} = \frac{- 3 + 9}{18} = 0, 33...$ . Краще групувати: $(3 a - 1) (3 a + 2)$ .
Для $4 c^{2} + 25 c + 25$ шукаємо корені або множники виду $(2 c + m) (2 c + n)$ : сума $mn = 25$ , $2 (m + n) = 25$ . Це складніше, знайдемо корені рівняння $4 c^{2} + 25 c + 25 = 0$ : $D = 625 - 400 = 225$ , $D = 15$ . Корені: $c_{1} = \frac{- 25 - 15}{8} = - 5$ , $c_{2} = \frac{- 25 + 15}{8} = - 1, 25 = - \frac{5}{4}$ . Отже, $(c + 5) (4 c + 5)$ .

Відповідь:

а) $(x - 3) (x - 7)$ ; б) $(a + 6) (a - 5)$ ; в) $(x + 3) (2 x - 1)$ ; г) $(c - 13) (c + 2)$ ; ґ) $(3 a - 1) (3 a + 2)$ ; д) $(c + 5) (4 c + 5)$ .

Завдання 325

Доведення подільності виразу на 18

Довести, що значення виразу $1 7^{10} + 3 \cdot 7^{10} - 3 \cdot 7^{9} + 1 7^{9}$ ділиться націло на 18.

Розв’язання

Запишемо вираз у зручному вигляді: $A = 1 7^{10} + 1 7^{9} + 3 (7^{10} - 7^{9})$ .
Перевіримо подільність на 2: $17$ — непарне число, отже $1 7^{10}$ і $1 7^{9}$ — непарні. Сума двох непарних чисел ( $1 7^{10} + 1 7^{9}$ ) є парною. Число $3 \cdot 7^{10}$ — непарне, $3 \cdot 7^{9}$ — непарне, їх різниця парна. Отже, вся сума $A$ — парна, тобто ділиться на 2.
Перевіримо подільність на 9: $17 = 18 - 1 \equiv - 1 (mod 9)$ , отже $1 7^{k} \equiv (- 1)^{k} (mod 9)$ . Тоді $1 7^{10} + 1 7^{9} \equiv (- 1)^{10} + (- 1)^{9} = 1 - 1 = 0 (mod 9)$ .
Для другої частини: $7 = 8 + 9 \equiv 8 \equiv - 1 (mod 9)$ , отже $7^{k} \equiv (- 1)^{k} (mod 9)$ . Тоді $7^{10} - 7^{9} \equiv (- 1)^{10} - (- 1)^{9} = 1 - (- 1) = 2 (mod 9)$ . Помножимо на 3: $3 \cdot 2 = 6 \neq \equiv 0 (mod 9)$ . Тут помилка в логіці, перевіримо ще раз.
Правильний підхід: $1 7^{10} + 1 7^{9} = 1 7^{9} (17 + 1) = 1 7^{9} \cdot 18$ , що ділиться на 18. Друга частина: $3 \cdot 7^{9} (7 - 1) = 3 \cdot 7^{9} \cdot 6 = 18 \cdot 7^{9}$ .

Відповідь:

Вираз ділиться націло на 18, оскільки він можна подати як $18 (1 7^{9} + 7^{9})$ .

Завдання 326

Запис чисел у стандартному вигляді

а) $47000000$ ; б) $308000000$ ; в) $0, 000000039$ ; г) $0, 00000407$ ; ґ) $803 \cdot 1 0^{9}$ ; д) $0, 42 \cdot 1 0^{- 7}$ .

Розв’язання

Для $47000000$ : переносимо кому на 7 місць вліво $\to 4, 7 \cdot 1 0^{7}$ .
Для $308000000$ : переносимо кому на 8 місць вліво $\to 3, 08 \cdot 1 0^{8}$ .
Для $0, 000000039$ : переносимо кому на 8 місць вправо $\to 3, 9 \cdot 1 0^{- 8}$ .
Для $0, 00000407$ : переносимо кому на 6 місць вправо $\to 4, 07 \cdot 1 0^{- 6}$ .
Для $803 \cdot 1 0^{9}$ : спочатку записуємо $803 = 8, 03 \cdot 1 0^{2}$ , тоді $8, 03 \cdot 1 0^{2} \cdot 1 0^{9} = 8, 03 \cdot 1 0^{11}$ .
Для $0, 42 \cdot 1 0^{- 7}$ : записуємо $0, 42 = 4, 2 \cdot 1 0^{- 1}$ , тоді $4, 2 \cdot 1 0^{- 1} \cdot 1 0^{- 7} = 4, 2 \cdot 1 0^{- 8}$ .

Відповідь:

а) $4, 7 \cdot 1 0^{7}$ ; б) $3, 08 \cdot 1 0^{8}$ ; в) $3, 9 \cdot 1 0^{- 8}$ ; г) $4, 07 \cdot 1 0^{- 6}$ ; ґ) $8, 03 \cdot 1 0^{11}$ ; д) $4, 2 \cdot 1 0^{- 8}$ .