Сторінки 45–50

Розв’язання

1. Розглянемо переріз $\cap$. Проміжок $(-6;8)$ містить числа від $-6$ до $8$, а проміжок $(5;+\infty )$ — від $5$ до нескінченності. Їхня спільна частина починається з точки $5$ (відкрита, оскільки дужка кругла) і закінчується в точці $8$ (відкрита). Отже, переріз: $(5;8)$.

2. Розглянемо об'єднання $\cup$. Це множина всіх чисел, що належать хоча б одному з проміжків. Початок ділянки — точка $-6$ (відкрита), кінець — нескінченність. Отже, об'єднання: $(-6;+\infty )$.

Розв’язання

1. Перетворимо нерівність $|5x-3|\ge 2$ на сукупність: $\{\begin{array}{l}5x-3\ge 2\\ 5x-3\le -2\end{array}$.

2. Розв'яжемо першу нерівність: $5x\ge 5\Rightarrow x\ge 1$. Це проміжок $[1;+\infty )$.

3. Розв'яжемо другу нерівність: $5x\le 1\Rightarrow x\le 0,2$. Це проміжок $(-\infty ;0,2]$.

4. Об'єднаємо розв'язки знаком $\cup$: $(-\infty ;0,2]\cup [1;+\infty )$.

Розв’язання

1. а) Знайдемо спільні елементи для $A$ і $B$: це $0$ та $2$. Отже, переріз $A\cap B=\{0,2\}$. Об'єднаємо всі числа з обох множин без повторень: $\{-6,-4,0,2,4,6,8\}$.

2. б) Шукаємо спільні літери в словах «ШКОЛА» та «ДІОКЛА» (або просто у списках): це О, Ш, К, А. Отже, переріз $A\cap B=\{\text{О},\text{Ш},\text{К},\text{А}\}$. Об'єднаємо всі літери: $\{\text{Д},\text{О},\text{Л},\text{Ш},\text{К},\text{А}\}$.

Розв’язання

1. Перевіримо варіант А: $(0;1)\cup (1;2)$. Точка $1$ не належить ні одному з проміжків, тому вона не входить до об'єднання. Результат буде $(0;1)\cup (1;2)$, що відрізняється від $(0;2)$. Це хибне твердження.

2. Перевіримо варіант Б: $(0;1)\cup [1;2)$. Точка $1$ належить другому проміжку, тому вона входить до об'єднання. Результат: $(0;2)$. Це правильне твердження.

3. Перевіримо варіант В: $(0;1]\cup [1;2)$. Точка $1$ належить обома проміжками. Результат: $(0;2)$. Це правильне твердження.

4. Перевіримо варіант Г: $(0;1]\cup (1;2)$. Точка $1$ належить першому проміжку. Результат: $(0;2)$. Це правильне твердження.

Розв’язання

1. Варіант А: $(-1;3)\cap (3;5)$. Точка $3$ не належить ні одному з проміжків (обидві дужки круглі). Перерізу немає (порожня множина).

2. Варіант Б: $(-1;3)\cap [3;5)$. Точка $3$ не належить першому проміжку. Перерізу немає.

3. Варіант В: $(-1;3]\cap [3;5)$. Точка $3$ належить першому проміжку (квадратна дужка справа) і другому проміжку (квадратна дужка зліва). Переріз — це одна точка $\{3\}$.

4. Варіант Г: $(-1;3]\cap (3;5)$. Точка $3$ не належить другому проміжку. Перерізу немає.

Розв’язання

1. Проаналізуємо кожний підпункт окремо:
   а) Проміжок $(1;8)$ відкритий з обох боків, тому цілі числа починаються з $2$ і закінчуються на $7$. Відповідь: $2,3,4,5,6,7$.
   б) Проміжок $[1;8]$ закритий з обох боків, тому включає межі. Відповідь: $1,2,3,4,5,6,7,8$.
   в) Проміжок $[-3;4]$ закритий, включає $-3$ і $4$. Відповідь: $-3,-2,-1,0,1,2,3,4$.
   г) Проміжок $(-3;4)$ відкритий, не включає $-3$ і $4$. Відповідь: $-2,-1,0,1,2,3$.
   ґ) Проміжок $(-3;4]$ відкритий зліва ($-3$ не входить), закритий справа ($4$ входить). Відповідь: $-2,-1,0,1,2,3,4$.
   д) Проміжок $[-3;4)$ закритий зліва ($-3$ входить), відкритий справа ($4$ не входить). Відповідь: $-3,-2,-1,0,1,2,3$.

Розв’язання

1. Найменше ціле число, що більше за $-2,07$, це $-2$ (оскільки $-3<-2,07<-2$).

2. Найбільше ціле число, що менше за $15,9$, це $15$ (оскільки $15<15,9<16$).

3. Перелічимо цілі числа: від $-2$ до $15$ включно. Кількість таких чисел обчислимо як $(15-(-2))+1=17+1=18$.

Розв’язання

1. Оцінимо корінь: оскільки $25<27<36$, то $\sqrt{25}<\sqrt{27}<\sqrt{36}$, отже $5<\sqrt{27}<6$.

2. Додамо $-1$ до нерівності: $4<-1+\sqrt{27}<5$.

3. Поділимо всі частини на $2$: $2<\frac{-1+\sqrt{27}}{2}<2,5$.

4. Отже, значення виразу лежить у проміжку $(2;2,5)$. Цей проміжок повністю міститься в інтервалі $[2;3)$.

Розв’язання

1. Переріз ($\cap$) складається з елементів, що є спільними для обох множин. Оскільки перша множина не містить чисел рівних $a$ та $b$, а друга — точно так само, то спільних елементів немає.

2. Об'єднання ($\cup$) складається з усіх елементів, що належать хоча б одній із множин. Це всі числа від $a$ до $b$, крім випадку рівності кінцевих точок, які в обох випадках виключені.

Розв’язання

1. Для відрізка обираємо точки $1$ і $5$, включаючи їх: $[1;5]$.

2. Для інтервалу обираємо ті самі точки, але виключаємо їх: $(1;5)$.

Розв’язання

1. Беремо число $-2$ як ліву межу.

2. Правий кінець — це нескінченність.

3. Оскільки ми беремо всі числа більше за $-2$, але не включаємо саму точку $-2$, використовуємо круглі дужки.

Розв’язання

1. Перевіримо спільні елементи (переріз): у множині $A$ є квадрат $\square$ та мінус у колі $\ominus$. У множині $B$ теж є $\square$ та $\ominus$. Отже, спільними є саме ці два символи.

2. Зберемо всі унікальні елементи для об'єднання: це всі символи з обох списків разом без повторень ($\odot ,\square ,\oplus ,\ominus ,⊞,⊠,\boxminus$).

Розв’язання

1. Придумай або запиши два переліки предметів/чисел (наприклад, фрукти та овочі).

2. Спільними елементами (переріз) будуть ті предмети, які є і в першому, і в другому списку (наприклад, якщо у першому «яблуко», а у другому «яблуко» і «груша», то спільне — лише «яблуко»).

3. Об'єднанням буде список всіх предметів з обох списків разом, дублікати прибираємо.

Розв’язання

1. Для пункту а) $(2;+\infty )$: знайди точку $2$, постав кружечок (відкритий кінець) і проведи стрілку вправо до нескінченності.

2. Для пункту б) $(-\infty ;0)$: знайди точку $0$, постав кружечок і проведи стрілку вліво до нескінченності.

3. Для пункту в) $[-3;+\infty )$: знайди точку $-3$, постав закрашену точку (включена межа) і проведи стрілку вправо.

4. Для пункту г) $(-\infty ;-4]$: знайди точку $-4$, постав закрашену точку і проведи стрілку вліво.

Розв’язання

1. а) Оскільки $x<3$, число 3 не входить до множини. Малюємо проміжок, що йде вліво від точки 3 з «оком» у точці 3.

2. б) Оскільки $x\ge -2$, число -2 входить до множини. Малюємо відрізок або проміжок, що йде вправо від точки -2 з точкою в точці -2.

3. в) Оскільки $x\le 0$, число 0 входить до множини. Малюємо відрізок або проміжок, що йде вліво від точки 0 з точкою в точці 0.

4. г) Оскільки $x>7$, число 7 не входить до множини. Малюємо проміжок, що йде вправо від точки 7 з «оком» у точці 7.

Розв’язання

1. Ліва межа — число -1. Точка закрашена, отже знак $\ge$. Проміжок починається з $-1$.

2. Права межа — число 5. Точка «око», отже знак $<$. Проміжок закінчується на 5.

3. Об'єднуємо межі: проміжок від -1 (включно) до 5 (не включно).

Розв’язання

1. Для варіанту а) проміжок $(3;+\infty )$ починається з 3 і не включає його, отже це $x>3$.

2. Для варіанту б) проміжок $(-2;+\infty )$ починається з -2 і не включає його, отже це $x>-2$.

3. Для варіанту в) проміжок $(-\infty ;7]$ закінчується на 7 і включає його, отже це $x\le 7$.

4. Для варіанту г) проміжок $[-3;+\infty )$ починається з -3 і включає його, отже це $x\ge -3$.

Розв’язання

1. Мал. 5.17 показує проміжок від -4 до -1, де обидві точки не включені (кружечки), отже це $-4<x<-1$.

2. Мал. 5.18 показує проміжок від -2 до 3, де обидві точки не включені (кружечки), отже це $-2<x<3$.

Розв’язання

1. а) Об'єднання: від 2 до 5 (включаючи 3), тобто $[2;5]$. Переріз: спільна частина — точка 3, але оскільки в одній дужці кругла, а в іншій квадратна, і точки збігаються, переріз $\{3\}$ або порожній, якщо розглядати як відкриті. Тут $[2;3]\cap [3;5]=\{3\}$.

2. б) Об'єднання: від -5 до 0, тобто $[-5;0]$. Переріз: спільна частина $[-3;0]$.

3. в) Об'єднання: від -7 до 7, тобто $[-7;7)$. Переріз: спільна частина $[-5;5)$.

4. г) Об'єднання: від -2 до 2, тобто $(-2;2)$. Переріз: порожній набір $\varnothing$, оскільки проміжки не перетинаються (межа 1 в одному відкрита).

5. д) Об'єднання: від -3 до -1, тобто $[-3;-1]$. Переріз: спільна частина $(-2;-1)$, оскільки $-2$ не входить у перший проміжок.

6. е) Об'єднання: від -2 до 2, тобто $[-2;2)$. Переріз: порожній набір $\varnothing$, оскільки проміжки не перетинаються (межа 2 в одному відкрита).

Розв’язання

1. а) Об'єднання: від $0$ до $5$, точки не включені $\to (0;5)$. Переріз: спільна частина від $0$ до $3$, точки не включені $\to (0;3)$.

2. б) Об'єднання: від $-3$ до $0$, точки не включені $\to (-3;0)$. Переріз: спільна частина від $-2$ до $0$, точки не включені $\to (-2;0)$.

3. в) Об'єднання: від $-\infty$ до $2$, точки не включені $\to (-\infty ;2)$. Переріз: проміжки не перетинаються (один закінчується на $1$, інший починається на $0$, але границі відкриті), спільної частки немає, якщо розглядати як суцільні лінії, але формально $(\varnothing )$ або порожня множина. Перевіримо: $(-\infty ;1)\cap (0;2)=(0;1)$.

4. г) Об'єднання: від $-2$ до $+\infty$, точки не включені $\to (-2;+\infty )$. Переріз: спільна частина від $0$ до $+\infty \to (0;+\infty )$.

Розв’язання

1. а) Розв'язуємо першу: $5x>15\Rightarrow x>3$. Другу: $3x\ge 6\Rightarrow x\ge 2$. Переріз проміжків $(3;+\infty )$ і $[2;+\infty )$ — це $(3;+\infty )$.

2. б) Розв'язуємо першу: $0,5x>0,4\Rightarrow x>0,8$. Другу: $2x<6\Rightarrow x<3$. Переріз проміжків $(0,8;+\infty )$ і $(-\infty ;3)$ — це $(0,8;3)$.

3. в) Розв'язуємо першу: $-3x<-3\Rightarrow x>1$. Другу: $-1,3x\le 13\Rightarrow x\ge -10$. Переріз проміжків $(1;+\infty )$ і $[-10;+\infty )$ — це $(1;+\infty )$.

Розв’язання

1. а) Перша: $5x\le 1\Rightarrow x\le 0,2$. Друга: $-5<5x\Rightarrow x>-1$. Переріз проміжків $(-1;+\infty )$ і $(-\infty ;0,2]$ — це $(-1;0,2]$.

2. б) Перша: $4x>-2\Rightarrow x>-0,5$. Друга: $-2x+5x>9\Rightarrow 3x>9\Rightarrow x>3$. Переріз проміжків $(-0,5;+\infty )$ і $(3;+\infty )$ — це $(3;+\infty )$.

Розв’язання

1. Запишемо умову визначеності функції: $x-1\ne 0$.

2. Розв'яжемо рівняння $x-1=0$, щоб знайти заборонене значення: $x=1$.

3. Отже, функція визначена для всіх $x$, крім $1$. Область визначення — це об'єднання двох проміжків: від мінус нескінченності до $0$ і від $0$ до плюс нескінченності (або просто всі числа, крім $1$).

Розв’язання

1. Для пункту а) розв'яжи $x+6\ge 0$ ($x\ge -6$) та $x-2\ne 0$ ($x\ne 2$). Область визначення: $[-6;2)\cup (2;+\infty )$.

2. Для пункту б) розв'яжи $12-4x\ge 0$ ($x\le 3$) та $x^2-1\ne 0$ ($x\ne \pm 1$). Область визначення: $(-\infty ;-1)\cup (-1;1)\cup (1;3]$.

3. Для пункту в) розв'яжи $|x|-4\ne 0$ ($x\ne \pm 4$) та $\sqrt{3x+21}$ ($3x+21\ge 0$, що справджується для всіх $x\ge -7$, а оскільки ми шукаємо перетин з умовою знаменника, то проміжок $[-7;+\infty )$ без точок $\pm 4$). Область визначення: $[-7;-4)\cup (-4;4)\cup (4;+\infty )$.

Розв’язання

1. а) Умова для кореня: $2x-8\ge 0$. Умова для знаменника дробу: $x-7\ne 0$. Розв'яжи нерівності та виключ з відповіді точку, де знаменник дорівнює нулю.

2. б) Умова для кореня: $3x+15\ge 0$. Умова для знаменника: $x^2-9\ne 0$. Знайди корені квадратного тричлена та виключ їх з проміжку.

3. в) Умова для кореня у знаменнику: $-5x+20>0$. Умова для знаменника другого дробу: $|x|-2\ne 0$. Розв'яжи нерівність з модулем, щоб знайти виключні точки.

Розв’язання

1. а) Склади систему $-0,2<1,3+0,3x$ та $1,3+0,3x<2,5$. Розв'яжи кожну нерівність окремо і знайди перетин розв'язків.

2. б) Склади систему $1\le 1,3+0,3x$ та $1,3+0,3x<4$. Знайди спільну частину розв'язків.

3. в) і г) Аналогічно складі системи нерівностей з відповідними дужками (використовуючи знаки $\le$ або $<$ залежно від типу проміжку).

Розв’язання

1. а) Розв'яжи систему $-1\le 3x+2\le 5$. Віднім 2 від усіх частин і поділи на 3.

2. б) Розв'яжи систему $1<3x+2<17$. Тут знаки будуть суто нерівностями ($<$).

3. в) і г) Пройди аналогічно, звертаючи увагу на те, чи включає проміжок кінцеві точки (знак $\le$ чи $<$).

Розв’язання

1. Розв'язуємо систему а):
   $\frac{5x-1}{4}+\frac{x+1}{2}<0\Rightarrow 5x-1+2(x+1)<0\Rightarrow 7x+1<0\Rightarrow x<-\frac{1}{7}$;
   $\frac{x-3}{5}+\frac{x-1}{10}\ge 2\Rightarrow 2(x-3)+(x-1)\ge 20\Rightarrow 3x-7\ge 20\Rightarrow 3x\ge 27\Rightarrow x\ge 9$.
   Перетин множин $(-\infty ;-\frac{1}{7})$ і $[9;+\infty )$ — порожня множина.

2. Розв'язуємо систему б):
   $\frac{3+x}{2}+\frac{2-x}{3}\ge 0\Rightarrow 3(3+x)+2(2-x)\ge 0\Rightarrow 9+3x+4-2x\ge 0\Rightarrow x\ge -13$;
   $\frac{4x+3}{7}+\frac{x+1}{2}<2\Rightarrow 2(4x+3)+7(x+1)<28\Rightarrow 8x+6+7x+7<28\Rightarrow 15x<15\Rightarrow x<1$.
   Перетин $[-13;+\infty )$ і $(-\infty ;1)$ — проміжок $[-13;1)$.

3. Розв'язуємо систему в):
   $5(x+2)+3(x-3)<3(x-1)+4(x+3)\Rightarrow 5x+10+3x-9<3x-3+4x+12\Rightarrow 8x+1<7x+9\Rightarrow x<8$;
   $3(2x-1)+3(x-1)\ge 5(x+2)+2(2x+3)\Rightarrow 6x-3+3x-3\ge 5x+10+4x+6\Rightarrow 9x-6\ge 9x+16\Rightarrow -6\ge 16$ (неправда).
   Перетин порожній.

4. Розв'язуємо систему г):
   $\frac{3-2x}{2}-\frac{x-1}{3}>\frac{5-3x}{4}-\frac{4x+3}{6}\Rightarrow 6(3-2x)-4(x-1)>3(5-3x)-2(4x+3)\Rightarrow 18-12x-4x+4>15-9x-8x-6\Rightarrow -16x+22>-17x+9\Rightarrow x>-13$;
   $\frac{6x-5}{3}-\frac{11+7x}{5}<\frac{4x+3}{5}-\frac{2x+3}{10}\Rightarrow 10(6x-5)-2(11+7x)<2(4x+3)-(2x+3)\Rightarrow 60x-50-22-14x<8x+6-2x-3\Rightarrow 46x-72<6x+3\Rightarrow 40x<75\Rightarrow x<\frac{15}{8}$.
   Перетин $(-13;+\infty )$ і $(-\infty ;\frac{15}{8})$ — проміжок $(-13;\frac{15}{8})$.

Розв’язання

1. Розв'язуємо систему а):
   $3x-\frac{2x-1}{4}<0\Rightarrow 12x-(2x-1)<0\Rightarrow 10x+1<0\Rightarrow x<-\frac{1}{10}$;
   $\frac{x+1}{2}-\frac{x+3}{4}\ge 2\Rightarrow 2(x+1)-(x+3)\ge 8\Rightarrow 2x+2-x-3\ge 8\Rightarrow x-1\ge 8\Rightarrow x\ge 9$.
   Перетин $(-\infty ;-0,1)$ і $[9;+\infty )$ — порожня множина.

2. Розв'язуємо систему б):
   $\frac{3-x}{15}-\frac{x-3}{3}>0\Rightarrow (3-x)-5(x-3)>0\Rightarrow 3-x-5x+15>0\Rightarrow -6x+18>0\Rightarrow x<3$;
   $\frac{3x-2}{4}-\frac{5x+1}{3}>1\Rightarrow 3(3x-2)-4(5x+1)>12\Rightarrow 9x-6-20x-4>12\Rightarrow -11x-10>12\Rightarrow -11x>22\Rightarrow x<-2$.
   Перетин $(-\infty ;3)$ і $(-\infty ;-2)$ — проміжок $(-\infty ;-2)$.

3. Розв'язуємо систему в):
   $2(x-3)+5(x-2)>3(2-x)-2(3-x)\Rightarrow 2x-6+5x-10>6-3x-6+2x\Rightarrow 7x-16>-x+6\Rightarrow 8x>22\Rightarrow x>\frac{11}{4}$;
   $9(x-2)-2(3x-2)\le 5(x-2)-2(x+5)\Rightarrow 9x-18-6x+4\le 5x-10-2x-10\Rightarrow 3x-14\le 3x-20\Rightarrow -14\le -20$ (неправда).
   Перетин порожній.

4. Розв'язуємо систему г):
   $\frac{x-2}{2}-\frac{2x-3}{3}<\frac{x-4}{6}-\frac{x+1}{3}\Rightarrow 3(x-2)-2(2x-3)<(x-4)-2(x+1)\Rightarrow 3x-6-4x+6<x-4-2x-2\Rightarrow -x<-x-6\Rightarrow 0<-6$ (неправда).
   Друга нерівність: $\frac{x-2}{2}+\frac{1-7x}{4}-\frac{x+11}{3}\ge \frac{5+2x}{4}\Rightarrow 6(x-2)+3(1-7x)-4(x+11)\ge 3(5+2x)\Rightarrow 6x-12+3-21x-4x-44\ge 15+6x\Rightarrow -19x-53\ge 6x+15\Rightarrow -25x\ge 68\Rightarrow x\le -\frac{68}{25}$.
   Оскільки перша нерівність не має розв'язків, об'єднання порожнє.

Розв’язання

1. а) $|x|>1\Rightarrow x>1$ або $x<-1$. Відповідь: $(-\infty ;-1)\cup (1;+\infty )$.

2. б) $|x+2|>5\Rightarrow x+2>5$ або $x+2<-5\Rightarrow x>3$ або $x<-7$. Відповідь: $(-\infty ;-7)\cup (3;+\infty )$.

3. в) $|3x+1|>5\Rightarrow 3x+1>5$ або $3x+1<-5\Rightarrow 3x>4$ або $3x<-6\Rightarrow x>\frac{4}{3}$ або $x<-2$. Відповідь: $(-\infty ;-2)\cup (\frac{4}{3};+\infty )$.

4. г) $|x+5|>-3$. Оскільки модуль завжди додатний, а $-3$ від'ємне, нерівність виконується для всіх $x$. Відповідь: $(-\infty ;+\infty )$.

5. ґ) $|1-3x|<-1$. Модуль не може бути меншим за від'ємне число. Розв'язків немає. Відповідь: $\varnothing$.

6. д) $|2x-1|>1\Rightarrow 2x-1>1$ або $2x-1<-1\Rightarrow 2x>2$ або $2x<0\Rightarrow x>1$ або $x<0$. Відповідь: $(-\infty ;0)\cup (1;+\infty )$.

Розв’язання

1. а) $|5x|>2\Rightarrow 5x>2$ або $5x<-2$. Розв'язуємо кожну нерівність і об'єднуємо розв'язки.

2. б) $|x-1|>3\Rightarrow x-1>3$ або $x-1<-3$. Знаходимо відповідні проміжки та об'єднуємо їх.

3. в) $|5-2x|>3\Rightarrow 5-2x>3$ або $5-2x<-3$. Розв'язуємо кожну нерівність і об'єднуємо розв'язки.

4. г) $|x-1|⩽0$. Оскільки модуль завжди $⩾0$, рівність виконується лише при $x-1=0$.

5. ґ) $|5x+3|⩾-7$. Оскільки модуль будь-якого числа не від'ємний, а $-7$ від'ємне, ця нерівність виконується для всіх дійсних чисел.

6. д) $|8-4x|<-2$. Оскільки модуль завжди $⩾0$, він не може бути меншим за від'ємне число $-2$, тому розв'язків немає.

Розв’язання

1. Розглянь малюнок 5.19. Фігура — це коло, вписане у квадрат (площа якого $1\times 1=1$). Площа кола дорівнює $\pi r^2$, де діаметр кола дорівнює стороні квадрата ($d=1$), тобто радіус $r=0,5$.

2. Обчисли площу кола: $S=\pi \cdot (0,5{)}^2=0,25\pi \approx 0,785$. Це менше за $1$, тому варіанти А, Б, В, Г не підходять, якщо брати саме цей малюнок.

3. Перевірмо умову ще раз: «площа одного квадрата за 1». На малюнку зображено коло, яке займає значну частину квадрата. Якщо взяти квадрат $2\times 2$ (площа $4$), то коло займатиме площу $\pi \approx 3,14$.

4. Оскільки на малюнку показано коло у квадраті, а площа квадрата взята за одиницю, але фігура займає менше половини квадрата (якщо це $1\times 1$), то площа $\approx 0,785$. Однак, якщо розглядати масштаб малюнка як частину більшої сітки, де кожен квадрат має площу $1$, то коло займає приблизно $3,14$ одиниці площі (якщо вписане у квадрат $2\times 2$).

5. Але за умовою «площа одного квадрата за 1», ймовірно, мається на увазі, що фігура зображена на сітці, де кожна клітинка — це одиниця площі. Коло займає приблизно $3,14$ клітинок (якщо вписане у квадрат $2\times 2$).

Розв’язання

1. Розглянемо пункт а). Оскільки об'єднання дає $R$, проміжки мають бути суміжними або перетинатися так, щоб не залишити дірки. Оскільки це відкриті проміжки, точка $a$ має бути більшою за точку $c$, щоб вони "зашити" проміжок між собою: $(-\infty ;a)\cup (c;+\infty )=R\Rightarrow a>c$.

2. Розглянемо пункт б). Переріз $(a;x)$ і $(x;c)$ порожній, якщо ці проміжки не мають спільних точок. Це відбувається, коли правий кінець першого менший за лівий кінець другого: $x\le a$. Але оскільки проміжки відкриті, то $a<x$. Отже, умова порожнечі виконується, якщо $a<x<c$ неможливо. Насправді, якщо $a<x$, то перший проміжок закінчується до початку другого. Точніше: $(a;x)\cap (x;c)=\varnothing$ завжди вірно для будь-яких $a<x<c$. Але якщо $x\le a$, то перший проміжок порожній або лежить ліворуч. Умова задачі — це рівність, а не нерівність. Переріз двох непорожніх відкритих проміжків порожній, якщо вони розділені точкою $x$. Тобто $a<x<c$ дає порожній переріз? Ні, $(a;x)\cap (x;c)=\varnothing$ вірно завжди, якщо $a<x<c$. Але якщо $x\le a$, то $(a;x)=\varnothing$. Припустимо, що проміжки непорожні. Тоді $a<x<c$.

3. Розглянемо пункт в). Переріз $(y;a)$ і $(c;y)$ порожній. Аналогічно до пункту б), це можливо, якщо $c\le y<a$. Якщо проміжки непорожні, то $c<y<a$.

4. Розглянемо пункт г). Об'єднання $(a;+\infty )$ і $(-\infty ;c)$ дає $R$. Це можливо лише якщо ці проміжки перетинаються або є суміжними, але оскільки це відкриті проміжки, щоб отримати всю вісь без дірок, вони мають перетинатися. Тобто $c>a$.

Розв’язання

1. Розглянемо пункт а). Щоб об'єднання дорівнювало $(a;b)$, множина $(m;n)$ має бути підмножиною $(a;b)$. Це означає, що ліва границя $m$ має бути більшою або рівною $a$, а права границя $n$ — меншою або рівною $b$: $a\le m<n\le b$.

2. Розглянемо пункт б). Щоб переріз дорівнював $(a;b)$, множина $(a;b)$ має бути підмножиною $(m;n)$. Це означає, що ліва границя $m$ має бути меншою або рівною $a$, а права границя $n$ — більшою або рівною $b$: $m\le a<b\le n$.

Розв’язання

1. Розглянемо пункт а). Оскільки $(a;c)\cap (x;y)=(a;c)$, то $(a;c)$ є підмножиною $(x;y)$. Це означає, що $x\le a<c\le y$.

2. Розглянемо пункт б). Оскільки $(a;c)\cap (x;y)=(x;y)$, то $(x;y)$ є підмножиною $(a;c)$. Це означає, що $a\le x<y\le c$.

3. Розглянемо пункт в). Оскільки $(a;c)\cup (x;y)=(a;c)$, то $(x;y)$ є підмножиною $(a;c)$. Це означає, що $a\le x<y\le c$.

4. Розглянемо пункт г). Об'єднання $(a;c)\cup (x;y)=(a;y)$. Оскільки об'єднання збільшує множину, то $(a;y)$ має бути більшим за $(a;c)$, отже $y>c$. Також проміжок $(x;y)$ має "доповнити" $(a;c)$ до $(a;y)$. Це можливо, якщо $x\le a$ і $c<y$. Тобто $(x;y)=(x;c)\cup (c;y)$, але оскільки це один проміжок, то $x\le a$ і $y>c$.

Розв’язання

1. Для випадку а) проміжок $(a;y)$ є спільною частиною $(a;+\infty )$ та $(x;y)$, отже $a<x$ і $y<+\infty$, що дає $a<x<y$.

2. Для випадку б) об'єднання дорівнює $(a;+\infty )$, тому перший проміжок має охоплювати другий або бути більшим справа, тобто $x\le a$ і $y>a$.

3. Для випадку в) об'єднання дорівнює $(-\infty ;y)$, отже $a<x$ і $y>a$, що дає $a<x<y$.

4. Для випадку г) переріз дорівнює $(-\infty ;a)$, тому другий проміжок має бути більшим зліва, тобто $x\le a$ і $y>a$.

Розв’язання

1. Вартість економії на одному паунку товару: $15-11=4$ грошових одиниці.

2. Заробіток за годину черги становить $10$ грошових одиниць.

3. Оскільки виграш від економії ($4$) менший за заробіток за час черги ($10$), вигідно купувати товар у магазині, якщо він є одним. Якщо ж їх кілька, то загальна економія має перевищити $10$.

Розв’язання

1. Порахуємо кількість кубиків $n$ по шарах (від верхнього до нижнього): Верхній шар має $2$ куби, другий — $6$, третій — $10$, четвертий — $14$. Сума: $2+6+10+14=32$.

2. Обчислимо загальну кількість кубиків у прямокутному паралелепіпеді розміром $4\times 4\times 5$: $V=4\cdot 4\cdot 5=80$ кубиків.

3. Знайдемо кількість додаткових кубиків $t$: $t=80-32=48$.

Розв’язання

1. Використовуємо формулу $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}$ для кожного варіанта.

2. Для а) $\sqrt{5\cdot 18\cdot 40}=\sqrt{3600}=60$.

3. Для б) $\sqrt{6\cdot 48\cdot 50}=\sqrt{14400}=120$.

4. Для в) $\sqrt{42\cdot 7\cdot 27\cdot 18}=\sqrt{1323\cdot 486}$ — спрощуємо крок за кроком: $42=6\cdot 7$, $27=9\cdot 3$, $18=9\cdot 2$, $7=7$. Добуток: $(6\cdot 7)\cdot 7\cdot (9\cdot 3)\cdot (9\cdot 2)=6\cdot 7^2\cdot 9^2\cdot 3\cdot 2=(6\cdot 7\cdot 9{)}^2\cdot 6$. Спрощення: $\sqrt{42}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{294}$, $\sqrt{27}\cdot \sqrt{18}=\sqrt{486}$. Краще перемножити всі під коренем: $42\cdot 7=294$, $27\cdot 18=486$. $294\cdot 486=(2\cdot 3\cdot 7^2)\cdot (2\cdot 3^5)=2^2\cdot 3^6\cdot 7^2$. Корінь: $2\cdot 3^3\cdot 7=918$? Перевіримо ще раз. $\sqrt{42}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{294}$, $\sqrt{27}\cdot \sqrt{18}=\sqrt{486}$. $294\cdot 486=142884$. $\sqrt{142884}=378$.

5. Для г) $\sqrt{15\cdot 72\cdot 6\cdot 45}$. Перемножуємо: $15\cdot 72\cdot 6\cdot 45=(3\cdot 5)\cdot (8\cdot 9)\cdot (2\cdot 3)\cdot (9\cdot 5)=2^3\cdot 3^6\cdot 5^2$. Корінь: $2^{1.5}$? Ні, треба повні квадрати. $15=3\cdot 5$, $72=8\cdot 9$, $6=2\cdot 3$, $45=9\cdot 5$. Добуток: $(3\cdot 5)\cdot (8\cdot 9)\cdot (2\cdot 3)\cdot (9\cdot 5)=2^3\cdot 3^6\cdot 5^2$. Тут є нечетна степінь двійки. Перерахуємо: $15\cdot 72\cdot 6\cdot 45=280800$? Ні, $\sqrt{15}\cdot \sqrt{72}\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{45}=\sqrt{15\cdot 72\cdot 6\cdot 45}$. $15\cdot 45=675$, $72\cdot 6=432$. $675\cdot 432=291600$. $\sqrt{291600}=540$.

Розв’язання

1. а) $5\sqrt{x}=0\Rightarrow \sqrt{x}=0\Rightarrow x=0$.

2. б) $10\sqrt{x}=4\Rightarrow \sqrt{x}=0,4\Rightarrow x=0,16$.

3. в) $6\sqrt{x}-48=0\Rightarrow 6\sqrt{x}=48\Rightarrow \sqrt{x}=8\Rightarrow x=64$.

4. г) $3\sqrt{x}+20=0\Rightarrow 3\sqrt{x}=-20\Rightarrow \sqrt{x}=-20/3$. Оскільки $\sqrt{x}\ge 0$, розв'язків немає.

5. ґ) $4\sqrt{x}+9=11\Rightarrow 4\sqrt{x}=2\Rightarrow \sqrt{x}=0,5\Rightarrow x=0,25$.

6. д) $7-2\sqrt{x}=12\Rightarrow -2\sqrt{x}=5\Rightarrow \sqrt{x}=-2,5$. Оскільки $\sqrt{x}\ge 0$, розв'язків немає.

Розв’язання

1. Нехай висота прямокутника дорівнює $h$, а основа — $a=2h$.

2. Площа $S=a\cdot h=(2h)\cdot h=2h^2$. Периметр $P=2(a+h)=2(2h+h)=6h$.

3. За умовою $S=P$, отже, $2h^2=6h$.

4. Розв'язуємо рівняння: $2h^2-6h=0\Rightarrow 2h(h-3)=0$. Корені: $h_1=0$ (не підходить, бо це не прямокутник), $h_2=3$.

5. Знаходимо основу: $a=2\cdot 3=6$. Площа $S=6\cdot 3=18$. Перевірка периметру: $P=2(6+3)=18$. Умова виконується.